0 < x < π/2 olmak üzere, ot x = 0,4 olduğuna göre, os² x + tan x toplamı kaçtır?

Question Answer
1

0 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere, ot x = 0,4 olduğuna göre, os^2 x + \tan x toplamı kaçtır?

0 x π/2 olmak üzere, ot x = 0,4 olduğuna göre, os² x + tan x toplamı kaçtır?
0 x π/2 olmak üzere, ot x = 0,4 olduğuna göre, os² x + tan x toplamı kaçtır?589×1024 65.7 KB

2

Trigonometrik Oranlar ve Değer Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \cot x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}
  • \tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
  • \cos x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
  • Pisagor Bağıntısı: a^2 + b^2 = c^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Kotanjant Değerini Sadeleştirme
Verilen ondalık ifade rasyonel sayıya çevrilip en sade hâline getirilir:

\cot x = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Adım 2 — Dik Üçgen Yardımıyla Hipotenüsü Bulma
0 < x < \frac{\pi}{2} olduğu için x dar açıdır (1. bölge) ve tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Bir dik üçgende:

  • Komşu dik kenar = 2
  • Karşı dik kenar = 5

Pisagor bağıntısı ile hipotenüs (h) bulunur:

h^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \implies h = \sqrt{29}

Adım 3 — \cos^2 x ve \tan x Değerlerini Hesaplama

  • \tan x değeri kotanjantın çarpmaya göre tersidir:
\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{5}{2}
  • \cos x komşu kenarın hipotenüse oranıdır:
\cos x = \frac{2}{\sqrt{29}} \implies \cos^2 x = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)^2 = \frac{4}{29}

Adım 4 — İfadeleri Toplama
Paydalar 58’de eşitlenerek toplama işlemi yapılır:

\cos^2 x + \tan x = \frac{4}{29} + \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 5 \cdot 29}{58} = \frac{8 + 145}{58} = \frac{153}{58}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \dfrac{153}{58} (veya 2\dfrac{37}{58})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Bölge İşareti (1. Bölge): 0 < x < \frac{\pi}{2} aralığında sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin tamamı pozitiftir.
  • Tanjant-Kotanjant İlişkisi: \tan x \cdot \cot x = 1 olduğu için \tan x = \frac{1}{\cot x} pratikliğiyle doğrudan hesaplanabilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 0,4 değerini doğrudan işleme sokup karekök veya payda eşitlemede işlem hatası yapmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Ondalık sayıyı hemen rasyonel kesre (\frac{2}{5}) dönüştürüp dik üçgen kenarları olarak kullanmak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?