0 < x < π/2 aralığında tan4x / cot6x = 1 denkleminin kaç tane kökü vardır?

YKS TYT
1

image
image711×338 21 KB

2

Trigo.14: tan4x / cot6x = 1 denklem kaç tane çözüm içerir?

Önemli Noktalar

  • Denklemin kök sayısını bulmak için trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları ve periyotları analiz edilmeli
  • tan(x) ve cot(x) fonksiyonlarının periyot ve tanım aralıkları kök sayısını etkiler
  • Denklemi sadeleştirerek veya fonksiyonları ortak bir ifadeye dönüştürerek çözüm sayısı bulunabilir

$$0 < x < \frac{\pi}{2}$$ aralığında,
$$\frac{\tan 4x}{\cot 6x} = 1$$

diyerek yola çıkalım.

Çözüm Adımları

  1. Denklemi sadeleştirelim:
    [
    \frac{\tan 4x}{\cot 6x} = 1 \implies \tan 4x = \cot 6x
    ]

  2. Trigonometrik dönüşüm:
    [
    \cot \theta = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)
    ]
    Öyleyse:
    [
    \tan 4x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - 6x\right)
    ]

  3. Eşitlik:
    [
    4x = \frac{\pi}{2} - 6x + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
    ]

  4. Denklemi x için çözelim:
    [
    4x + 6x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 10x = \frac{\pi}{2} + k\pi
    ]
    [
    x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}
    ]

  5. Köklerin aralıkta olma şartı:
    [
    0 < x < \frac{\pi}{2}
    ]
    için k değerlerini bulalım:

    • Alt sınır:
      [
      x > 0 \implies \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10} > 0 \implies k > -\frac{1}{2}
      ]
      Yani ( k \geq 0 )

    • Üst sınır:
      [
      x < \frac{\pi}{2} \implies \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10} < \frac{\pi}{2}
      ]
      [
      \frac{k\pi}{10} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{20} = \frac{10\pi}{20} - \frac{\pi}{20} = \frac{9\pi}{20}
      ]
      [
      k < \frac{9\pi/20}{\pi/10} = \frac{9}{20} \times 10 = 4.5
      ]
      [
      k \leq 4
      ]

  6. k’nın alabileceği değerler:
    [
    k = 0,1,2,3,4
    ]

  7. Çözüm sayısı:
    5 kök vardır.

Sonuç

Denklemin (0 < x < \frac{\pi}{2}) aralığında 5 tane çözümü vardır.

Özet Tablo

Adım Sonuç
Denklem sadeleştirme (\tan 4x = \cot 6x)
Trigonometrik dönüşüm (\tan 4x = \tan(\frac{\pi}{2} - 6x))
Çözüm formülü (x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10})
Uygun k aralığı (k=0,1,2,3,4)
Kök sayısı 5

Sık Sorulan Sorular

1. Trigonometrik denklemlerde kök sayısı nasıl bulunur?
Farklı trigonometrik fonksiyonların periyotları kullanılarak, denklemin aralığı içinde hangi değerlerin sağlandığı bulunur. Genellikle genel kök formülü bulunur, ardından verilen aralıkta kaç kök olduğu sayılır.

2. cot(θ) fonksiyonunun tanım aralığı nedir?
(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}) olarak tanımlanır. (\sin \theta = 0) olduğu noktalar (k(\pi), k \in \mathbb{Z}) dışında tanımlıdır. Periyodu (\pi)'dir.

3. Tanımlama aralığınızda periyotların ele alınması neden önemlidir?
Trigonometrik fonksiyonların tekrar eden değerleri periyotları belirler. Bir periyot içinde kaç kere kesiştikleri, o aralıkta kök sayısını doğrudan etkiler.

Sonraki Adımlar

  • Diğer trigonometrik fonksiyonların kök sayılarını bulmak ister misiniz?
  • Bu yöntemi kullanarak denklemleri nasıl daha hızlı çözebileceğinizi öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

0 < x < π/2 aralığında tan4x / cot6x = 1 denkleminin kaç tane kökü vardır?

Temel Noktalar

  • Denklemi tan4x·tan6x = 1 formuna dönüştürdük.
  • Genel çözüm:
    $$x = \frac{\pi}{20} + k\frac{\pi}{10},\quad k\in\mathbb{Z}$$
  • Aralık koşulunda (k=0,1,2,3,4) için 5 adet çözüm elde edilir.

Denklemin 0 < x < π/2 aralığında 5 kökü vardır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma: tan ve cot
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Orijinal denklem:
    \frac{\tan4x}{\cot6x} = 1
  2. (\cot6x = \tfrac{1}{\tan6x}) olduğundan:
    \tan4x \cdot \tan6x = 1
  3. (\tan A\cdot\tan B=1) için (\tan A=\cot B=\tan(\tfrac{\pi}{2}-B)) genel çözümü:
    4x = \frac{\pi}{2} - 6x + k\pi
  4. Buradan
    10x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{20} + k\frac{\pi}{10},\;k\in\mathbb Z
  5. Aralığı sağlayan (k) değerleri için:
    0 < \frac{\pi}{20} + k\frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; -0{,}5 < k < 4{,}5
    Bu aralıkta (k=0,1,2,3,4) ⇒ 5 kök.

Karşılaştırma: tan ve cot

Özellik tan(4x) cot(6x)
Tanım (\tan(4x)) (\displaystyle\frac{1}{\tan(6x)})
Periyot (\pi/4) (\pi/6)
Sıfır Noktaları (4x = n\pi) (6x = \tfrac{\pi}{2}+n\pi)
Genel Çözüm Bağlantısı (\tan A=\cot B) durumu (\cot B=\tan(\tfrac{\pi}{2}-B))

Özet Tablosu

Adım Formül / Sonuç
Dönüştürme (\tan4x\cdot\tan6x=1)
Genel Çözüm (x = \dfrac{\pi}{20} + k\dfrac{\pi}{10})
Aralık Koşulu (0<x<\tfrac{\pi}{2}) için (-0{,}5<k<4{,}5)
Geçerli (k) değerleri (k=0,1,2,3,4)
Kök Sayısı 5

SSS

S1. Tan ve cot fonksiyonları arasındaki temel fark nedir?
Tanjant, dik üçgende karşı/komşu kenar oranı iken; cotanjant, komşu/karşı kenar oranıdır.

S2. Genel çözümdeki (k) parametresi ne anlama gelir?
Tanjantın periyoduna ((\pi)) bağlı olarak tüm çözümleri kapsayan tam sayı sabitidir.

S3. Neden (\tan4x\cdot\tan6x=1) formuna dönüştürdük?
Bölen fonksiyon (\cot6x)’ı tanjant cinsine çevirmek, çözümü standart tanjant eşitliğine indirgemenizi sağlar.

S4. Aralık incelenirken (k) değerlerini nasıl belirledik?
İlgili x ifadesinin 0 ile (\pi/2) arasında kalması koşulunu sağlayan tam sayıları seçtik.

Çözümde takıldığınız bir adım var mı veya bu tip denklemler için 3 adet ek alıştırma ister misiniz?
@Abdurrahman2134