Trigonometrik Denklemin Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilen denklemde trigonometrik ifadeler sin, cos, cot fonksiyonları içerir
- Açılar ve işlem aralıkları radyan cinsindendir (0 ≤ x ≤ 180 derece değil, radyanı da olabilir - sorunun bağlamına dikkat edilmeli)
- Trigonometrik toplam formülleri ve kimlikler kullanılarak çözüm yöntemi seçilmeli
- Amaç, x açısının trigonometrik denklemi sağlayan değerini bulmaktır
Verilen denklem:
[
\sin(x + 30^\circ) \cdot \cos(x - 30^\circ) = \cot x + \frac{\sqrt{3}}{4}
]
Burada işlemi önce yukarıdaki ifadenin sol tarafını basitleştirerek başlıyoruz.
İçindekiler
- Trigonometrik İfadelerin Basitleştirilmesi
- Denklemin Sağ Tarafının İncelenmesi
- Çözüm Adımları ve Sonuç
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Trigonometrik İfadelerin Basitleştirilmesi
Adım 1: Kullanılan formüller:
[
\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
]
Uygulayalım:
[
\sin(x + 30^\circ) \cos(x - 30^\circ) = \frac{1}{2}[\sin((x+30^\circ)+(x-30^\circ)) + \sin((x+30^\circ)-(x-30^\circ))]
]
[
= \frac{1}{2}[\sin(2x) + \sin(60^\circ)]
]
[
= \frac{1}{2}[\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{4}
]
2. Denklemin Sağ Tarafının İncelenmesi
Verilen denklem:
[
\sin(x + 30^\circ)\cos(x - 30^\circ) = \cot x + \frac{\sqrt{3}}{4}
]
Sol tarafı yerine koyarsak:
[
\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{4} = \cot x + \frac{\sqrt{3}}{4}
]
Her iki taraftan (\frac{\sqrt{3}}{4}) çıkarılırsa:
[
\frac{1}{2} \sin 2x = \cot x
]
[
\cot x = \frac{1}{2} \sin 2x
]
3. Çözüm Adımları ve Sonuç
Adım 2: (\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}), (\sin 2x = 2 \sin x \cos x) olduğu için ifadeyi açalım:
[
\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{2} \times 2 \sin x \cos x = \sin x \cos x
]
Yani denklem:
[
\frac{\cos x}{\sin x} = \sin x \cos x
]
Her iki tarafı (\cos x) sıfır değilse bölelim (çünkü (\cos x = 0) ise ayrı incelenecek):
[
\frac{1}{\sin x} = \sin x
]
Adım 3: Buradan:
[
\sin^2 x = 1
]
[
\sin x = \pm 1
]
Adım 4: (0 \leq x \leq 180^\circ) aralığında, (\sin x = 1) için çözüm:
[
x = 90^\circ
]
(\sin x = -1) aralıkta yoktur.
Adım 5: (\cos x = 0) durumu, yani (\cot x) tanımsızsa, (x=90^\circ) zaten buraya dahil.
Sonuç:
[
x = 90^\circ = \frac{\pi}{2}
]
Doğru seçenek: A) (\frac{\pi}{2})
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | (\sin A \cos B) formülü | (\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{4}) |
| 2 | Denklem sadeleşmesi | (\frac{1}{2}\sin 2x = \cot x) |
| 3 | Trigonometrik kimlikler | (\sin^2 x = 1) |
| 4 | Çözüm aralığında uygun (x) değeri | (x = 90^\circ) |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden (\sin A \cos B) toplama formülü kullanıldı?
Trigonometrik ifadeleri toplama ve çıkarma formüllerine dönüştürmek, denklemi sadeleştirip çözmeyi kolaylaştırır.
2. (\cot x) neden (\frac{\cos x}{\sin x}) olarak yazıldı?
Trigonometrik fonksiyonların temel oranları olarak tanımlanır ve işlemi açmak, denklemdeki ifadeyi basitleştirir.
3. Sonuç neden sadece (x=90^\circ) oldu?
Çarpanlara ayırma ve aralık kontrolü sonucu sadece bu açı denklemi sağlar.
Sonraki Adımlar
İsterseniz trigonometrik kimliklerin nasıl türetildiğini veya farklı trigonometrik denklemlerin çözüm yöntemlerini adım adım anlatabilirim. Siz hangisini tercih edersiniz?
0° ≤ x ≤ 180° iken (\sin(x+30°)\cos(x-30°)=\cot x + \tfrac{\sqrt{3}}{4}) ise (x) kaç derecedir?
- Çarpım–toplam formülü ile (\sin(x+30°)\cos(x-30°))’ün (\tfrac{\sin2x}{2}+\tfrac{\sqrt3}{4}) biçimine dönüştürülmesi
- Eşitliğin (\displaystyle \frac{\sin2x}{2}=\cot x) hâline gelmesi
- (\sin^2 x=1) denklemiyle yalnızca (x=90°) sonucuna ulaşılması
x=90° (yani (\frac{\pi}{2}) rad)
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Ürün–toplam formülü:\sin(x+30°)\cos(x-30°) =\tfrac12\bigl[\sin\bigl((x+30°)+(x-30°)\bigr)+\sin\bigl((x+30°)-(x-30°)\bigr)\bigr] =\tfrac12\bigl[\sin2x+\sin60°\bigr] =\tfrac{\sin2x}{2}+\tfrac{\sqrt3}{4}.
- Verilen denklem:\tfrac{\sin2x}{2}+\tfrac{\sqrt3}{4} =\cot x+\tfrac{\sqrt3}{4} \;\Longrightarrow\; \tfrac{\sin2x}{2}=\cot x \;\Longrightarrow\; \sin2x=2\cot x.
- Açılım:\sin2x=2\sin x\cos x =2\cot x =2\,\frac{\cos x}{\sin x} \;\Longrightarrow\; 2\sin x\cos x=2\,\frac{\cos x}{\sin x}.(\cos x\neq0) ve (\sin x\neq0) koşulları sağlanıp sadeleştirilince\sin^2 x=1 \;\Longrightarrow\; \sin x=\pm1.0°–180° aralığında yalnızca (\sin x=1) mümkün, yanix=90°\quad\bigl(=\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Çözüm Durumları Karşılaştırması
| Olası Durum | Denklem | Çözüm | Aralıkta Geçerli mi? |
|---|---|---|---|
| (\sin x=1) | (\sin^2 x=1) | (x=90°+360°k) | Evet ((x=90°)) |
| (\sin x=-1) | (\sin^2 x=1) | (x=270°+360°k) | Hayır |
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Ürün–toplam formülü uygulama | (\tfrac{\sin2x}{2}+\tfrac{\sqrt3}{4}) |
| 2 | Denklem dönüşümü | (\sin2x=2\cot x) |
| 3 | (\sin^2 x=1) | (x=90°) |
SSS
- Bu denklem başka bir yöntemle çözülebilir mi?
Evet, doğrudan birim çember üzerinde değer atanarak da test edilebilir ama kimlik kullanımı daha pratiktir. - (\cos x=0) durumu neden dikkate alınmadı?
Başlangıç eşitliğinde (\cot x) ifadesi (\sin x=0) durumunda tanımsız olur, (\cos x=0) ise zaten (\sin^2x=1) sonucu ile örtüşür. - (\sin^2 x=1) denkleminde negatif kök neden elendi?
Verilen aralıkta ((0°–180°)) yalnızca (\sin x=1) elde edilir, (\sin x=-1) aralık dışındadır. - Ürün–toplam formülü neden kullanıldı?
Çarpımı toplam ve fark sinüslerine açarak denklemi (\sin2x) biçimine dönüştürmek ve basitleştirmek için.
Benzer soruları pekiştirmek ister misin?