$0 \leq x < 2\pi$ olmak üzere $\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \cos x$ denkleminin çözümü

YKS TYT
1
  1. 0Sx<2 olmak üzere
    1-c05 2xcosX
    A)
    eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
    B) 2
    D)
    E) 2x
    Diğer sayfaya geçin

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 29.8 KB

2

0 \leq x < 2\pi olmak üzere \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \cos x denkleminin çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

Bu soruda trigonometrik yarım açı formüllerinden faydalanacağız:

  1. \cos 2x Yarım Açı Formülü: \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
  2. Mutlak Değer Kuralı: \sqrt{a^2} = |a|

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Karekök İçindeki İfadeyi Düzenleme
\cos 2x yerine 1 - 2\sin^2 x yazarak kök içini sadeleştirelim:

\sqrt{\frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2}} = \cos x
\sqrt{\frac{1 - 1 + 2\sin^2 x}{2}} = \cos x
\sqrt{\frac{2\sin^2 x}{2}} = \cos x
\sqrt{\sin^2 x} = \cos x

Adım 2 — Mutlak Değer ve Eşitlik
Karekök dışına çıkan ifade mutlak değer içinde yazılmalıdır:

|\sin x| = \cos x

Adım 3 — Denklemin Analizi ve Aralık Belirleme
|\sin x| ifadesi her zaman \geq 0 olduğu için, \cos x \geq 0 olmalıdır. \cos x’in pozitif veya sıfır olduğu bölgeler 1. bölge ve 4. bölgedir.

  • Durum 1: \sin x \geq 0 ise (1. Bölge)
    \sin x = \cos x \implies \tan x = 1
    Bu aralıkta (0 \leq x \leq \pi/2) tanjantı 1 olan değer: x = \frac{\pi}{4}

  • Durum 2: \sin x < 0 ise (4. Bölge)
    -\sin x = \cos x \implies \tan x = -1
    Bu aralıkta (3\pi/2 \leq x < 2\pi) tanjantı -1 olan değer: x = \frac{7\pi}{4}

Adım 4 — Değerlerin Toplanması
Bulduğumuz x değerlerini toplayalım:

\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi

Ancak, soru kökündeki 0 \leq x < 2\pi tanım aralığına dikkat etmeliyiz. x = 2\pi bu aralığa dahil değildir, fakat toplam sonucumuz tam olarak 2\pi çıkmaktadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 2\pi
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yarım Açı Formülleri

  • Tanım: Bir açının trigonometrik değerini, o açının yarısının değerleri cinsinden yazmaktır.
  • Bu problemde: Karekökten kurtulmak için \cos 2x’i \sin^2 x cinsinden yazdık.

2. Mutlak Değerli Trigonometrik Denklemler

  • Tanım: \sqrt{f(x)^2} = |f(x)| kuralı gereği, ifadenin işaretine göre iki durum incelenir.
  • Bu problemde: \cos x’in negatif olamayacağını belirleyerek çözüm kümesini daralttık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kök Dışına Yanlış Çıkarma

  • Yanlış: \sqrt{\sin^2 x} = \sin x diyerek mutlak değeri unutmak.
  • Doğru: \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| olarak çıkarmak.
  • Neden: Eğer mutlak değer unutulursa, sadece x = \pi/4 bulunur ve eksik sonuç elde edilir.

Bu çözümde takıldığın veya daha detaylı açıklamamı istediğin bir adım var mı?