0 diğer sayılarla aralarında asal mıdır
0 diğer sayılarla aralarında asal mıdır?
Cevap:
Matematikte iki sayının aralarında asal (coprime veya mutually prime) olması için, bu sayıların pozitif tam bölenlerinin en büyüğünün 1 olması gerekir. Yani, iki sayının yalnızca 1 ortak böleni varsa, bu sayılar aralarında asaldır.
0 (sıfır) sayısı ile ilgili durumu anlamak için bazı temel noktalara bakalım:
| Soru | Açıklama / Durum |
|---|---|
| 0’ın bölenleri nedir? | 0 sayısını bölen tüm tam sayılar (0, bütün tamsayılar dahil). Çünkü herhangi bir a tam sayısı için a \times 0 = 0. Dolayısıyla tüm tam sayılar 0’ın bölenidir. |
| İki sayının ortak bölenleri? | Örneğin 0 ve herhangi bir sayının ortak bölenleri, o sayının kendisine ve 0’ın bütün tamsayı olmasından dolayı çok fazla bölen vardır. |
| 0 ve herhangi bir sayının Ortak Bölenlerinin En Büyüğü? | Eğer 0 ile n sayısını ele alırsak, bu sayıların ortak bölenleri, n sayısının kendi bölenleri olur. Çünkü n sayısını bölen sayılar 0’ı da böler. Bu durumda ortak bölenlerin en büyüğü ` |
| Sonuç? | Dolayısıyla, 0 ile herhangi bir başka sayı aralarında asaldır diyemeyiz çünkü onların ortak bölenlerinin en büyüğü çoğu kez 1’den büyük olur. |
Teknik olarak:
-
İki tam sayının aralarında asal olması için:
\gcd(a, b) = 1 olmalıdır. -
Eğer a=0 ve b \neq 0 ise:
$\gcd(0, b) = |b|$’dir. Çünkü b ve 0’ın ortak bölenlerinin en büyüğü sayının mutlak değeridir.
Bu durumda, sıfır ile başka sayılar genellikle aralarında asal değildir çünkü ortak bölenleri 1’den büyük olabilir. Örneğin:
| Sayılar | Ortak Bölenlerin En Büyüğü (EBOB / GCD) | Aralarında Asal mı? |
|---|---|---|
| 0 ve 5 | 5 | Hayır |
| 0 ve 1 | 1 | Evet |
| 0 ve 7 | 7 | Hayır |
Tek istisna, 0 ile 1 sayısı aralarında asaldır. Çünkü 1 sayısı sadece kendisine ve 1’e bölünür ve \gcd(0,1)=1'dir.
Özet Tablo:
| Durum | Ortak Bölenlerin En Büyüğü | Aralarında Asal mı? |
|---|---|---|
| 0 ve 1 | 1 | Evet |
| 0 ve diğer herhangi bir sayı n ( | n | > 1) |
| İki pozitif sayı, her ikisi 1 hariç ortak bölen yoksa | 1 | Evet |
Sonuç
0 diğer sayılarla aralarında asal değildir, çünkü 0’ın bölenleri tüm tam sayılar olduğundan, çoğu durumda ortak bölenlerinin en büyüğü 1’den büyüktür. Tek istisna, 0 ile 1 sayısının aralarında asal olmasıdır.
Not: Aralarında asal sayılar genellikle pozitif tam sayılar için tanımlanır. 0’ın kendisi özel bir durumdur ve çoğunlukla aralarında asal olarak kabul edilmez.