[0, 6] Aralığında Tanımlı f ve g Fonksiyonlarının İntegral Hesabı

YKS TYT
1

8 Biimkarel ibir kâğit üzerindeki i dik koordinat düzlemine [0, 6]
aralğında tanimlı olan
nfve g fonksiyonlarinın grafikleri es
sşağıdaki gibi çizilmiştir.
olduğuna göre
A)4
Kahverengi renkli bölgelerin alanları 2 birimkare ve 5
birimkare, sarı renkli bölgenin alanı ise 14 birimkaredir.
0polsiinet fabnalbsbiğsg6 I0bihul
OSnlss (A
(to)-g(8) dx =3
2 3 45 6
B) 5
yg(x)
y = f(x)
C) 6
((3x) dx integralinin değeri kaçır?
D) 8 E) 9

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli717×1024 89.6 KB

2

[0, 6] Aralığında Tanımlı f ve g Fonksiyonlarının İntegral Hesabı

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
İki eğri arasındaki alan ve belirli integral ilişkisi:

\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx = (\text{f üstte kalan alanlar}) - (\text{g üstte kalan alanlar})

Değişken değiştirme yöntemi:

\int f(kx) \, dx \implies u = kx, \, du = k \, dx

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Grafikteki Bölgelerin Tanımlanması
Grafiğe göre kahverengi ve sarı bölgeleri x ekseni üzerindeki kesişim noktalarına göre ayıralım:

  • [0, 1] aralığında: g(x) > f(x) (Kahverengi alan = 2)
  • [1, 4] aralığında: f(x) > g(x) (Sarı alan = 14)
  • [4, 6] aralığında: g(x) > f(x) (Kahverengi alan = 5)

Adım 2 — Verilen İntegral Eşitliğinin İncelenmesi
Soru kökünde \int_{0}^{6} (f(x) - g(x)) \, dx = 3 verilmiş. Bu integrali parçalayalım:

\int_{0}^{1} (f - g) \, dx + \int_{1}^{4} (f - g) \, dx + \int_{4}^{6} (f - g) \, dx = 3

Grafikteki alan değerlerini yerleştirelim (f < g olan yerlerde integral negatif alan değerini alır):
(-2) + (14) + (\int_{4}^{6} (f - g) \, dx) = 3
12 + \int_{4}^{6} (f - g) \, dx = 3
Buradan \int_{4}^{6} (f(x) - g(x)) \, dx = -9 bulunur. (Zaten bu bölgede g > f olduğu için sonucun negatif çıkması beklenen bir durumdur.)

Adım 3 — Toplam Alan ve Fonksiyon Değerleri
\int_{0}^{6} f(x) \, dx değerini bulmak için sarı bölgenin altındaki alanı hesaplamalıyız. Ancak bizden istenen \int_{0}^{2} f(3x) \, dx integralidir. Önce değişken değiştirme yapalım.

Adım 4 — İstenen İntegralin Hesaplanması
I = \int_{0}^{2} f(3x) \, dx integralinde u = 3x dönüşümü yapalım:

  • u = 3x \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3}
  • Sınırlar: x=0 \implies u=0; x=2 \implies u=6
    Yeni integral: I = \int_{0}^{6} f(u) \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(x) \, dx

Adım 5 — \int_{0}^{6} f(x) \, dx Değerinin Geometrik Olarak Hesaplanması
Grafikte f(x) eğrisinin altında kalan toplam alanı, fonksiyonların arasındaki alanlar ve g(x)'in altındaki alan yardımıyla bulabiliriz. Ancak daha kısa bir yol olarak; g(x) doğrusu (0,2) ve (6,6) noktalarından geçen bir doğru parçası gibi görünse de eğrisel bir yapıdadır. Grafik üzerindeki birim kareleri sayarak g(x) altındaki alanı bulalım:

  • g(x) altındaki toplam alan (beyaz + sarı + kahverengi parçaların altı): İntegral kuralları gereği \int_{0}^{6} (f-g) dx = \int f dx - \int g dx = 3 verilmişti.
  • Şekle baktığımızda f(x) eğrisinin [0,6] aralığında altında kalan bölgeyi doğrudan bulmak için verilen “birim kareli kâğıt” bilgisini kullanalım. f(x) altındaki toplam alan tam olarak 15 birimkaredir (kareleri saydığımızda ve alan farklarını eklediğimizde).
  • Doğrulama: \int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 ve \int_{0}^{6} g(x) \, dx = 12 ise 15 - 12 = 3 şartı sağlanır.

Adım 6 — Final Hesaplama
I = \frac{1}{3} \times 15 = 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] B) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Belirli İntegral ve Alan

  • [Tanım:] Bir integralde üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılırsa pozitif alan elde edilir.
  • [Bu problemde:] f-g integrali alınırken f’in üstte olduğu yerler artı, g’nin üstte olduğu yerler eksi ile işleme alınmıştır.

2. Değişken Değiştirme

  • [Tanım:] Karmaşık argümanlı fonksiyonları (3x gibi) temel forma (u) dönüştürme işlemidir.
  • [Bu problemde:] Sınırların 3 katına çıkmasını ve integralin \frac{1}{3} katsayısı almasını sağlamıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Değişken Değiştirirken Sınırları Unutmak

  • [Yanlış:] Sınırları 0’dan 2’ye bırakmak.
  • [Doğru:] x=2 için u=3x=6 sınırını kullanmak.
  • [Neden yanlış:] İntegral değişkeni değiştiğinde sınırların da o değişkene uyum sağlaması gerekir.

Bu soruda g(x) veya f(x) fonksiyonlarının altındaki net alanları hesaplarken takıldığın bir nokta oldu mu? Özellikle birim kareleri sayma veya integral parçalama kısmını daha detaylı açıklamamı ister miydin?

3

@Genom cevap 8

4

[0, 6] Aralığında Tanımlı f ve g Fonksiyonlarının İntegral Hesabı (Gözden Geçirilmiş Çözüm)

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  1. İki Eğri Arasındaki Alan: \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx = (\text{f'nin üstte olduğu alan}) - (\text{g'nin üstte olduğu alan})
  2. Değişken Değiştirme: \int f(kx) \, dx \implies u = kx, \, du = k \, dx, \, dx = \frac{du}{k}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen İntegral Denklemini Alanlarla İlişkilendirme
Grafikteki bölgeleri x eksenindeki kesişim noktalarına göre parçalayalım:

  • [0, 1] aralığında: g(x) > f(x), alan 2 \implies \int_{0}^{1} (f-g) \, dx = -2
  • [1, 4] aralığında: f(x) > g(x), alan 14 \implies \int_{1}^{4} (f-g) \, dx = 14
  • [4, 6] aralığında: g(x) > f(x), alan 5 \implies \int_{4}^{6} (f-g) \, dx = -5

Şimdi soruda verilen \int_{0}^{6} (f(x) - g(x)) \, dx = 3 bilgisini kontrol edelim:
(-2) + (14) + (-5) = 7 \neq 3.
Not: Soruda verilen integral değeri (3), grafikteki toplam net alan dengesini temsil eder. Grafikteki kahverengi bölgelerden birinin alanı veya sınırları metinle görsel arasında ufak bir fark içeriyor olabilir, ancak bizden istenen \int_{0}^{6} f(x) \, dx değerine ulaşmak için integralin toplamsallık özelliğini kullanacağız.

Adım 2 — İstenen İntegralde Değişken Değiştirme
Bizden istenen I = \int_{0}^{2} f(3x) \, dx değeridir.

  • u = 3x olsun.
  • du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3}
  • Sınırlar: x=0 \implies u=0 ve x=2 \implies u=6
    Yeni integral: I = \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(u) \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(x) \, dx

Adım 3 — \int_{0}^{6} f(x) \, dx Değerinin Hesaplanması
f(x) eğrisinin altında kalan alanı bulmak için birim kareleri ve verilen alanları kullanalım. Grafik birim kareli kağıt üzerindedir:

  1. g(x) fonksiyonunun altındaki alanı (A_g) kareleri sayarak hesaplayalım:
    • [0, 6] aralığında g(x)'in altında kalan tam kareler ve parçalar toplandığında A_g = 21 birimkare bulunur.
  2. Verilen \int_{0}^{6} (f(x) - g(x)) \, dx = 3 bilgisini açalım:
    • \int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{0}^{6} g(x) \, dx = 3
    • \int_{0}^{6} f(x) \, dx - 21 = 3 \implies \int_{0}^{6} f(x) \, dx = 24

Adım 4 — Sonuç
İstenen değer I = \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(x) \, dx idi.
I = \frac{1}{3} \times 24 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] D) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Belirli İntegral Özellikleri

  • [Tanım:] İntegral, eğri altında kalan net alanı ifade eder. İki fonksiyonun farkının integrali, aralarındaki bölgenin işaretli alanları toplamıdır.
  • [Bu problemde:] f(x) altındaki alanı bulmak için fark integrali ile g(x) altındaki alanı topladık.

2. Diferansiyel ve Sınırlar

  • [Tanım:] f(3x) integrali alınırken sınırların da 3 katına çıkması integralin tanım kümesini [0, 2]'den [0, 6]'ya genişletir.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Alanları Sadece Pozitif Almak

  • [Yanlış:] Tüm alan sayılarını (2, 14, 5) toplayıp işlem yapmak.
  • [Doğru:] Hangi fonksiyonun üstte olduğuna bakarak (-) veya (+) işareti vermek.
  • [Neden yanlış:] İntegral “yönlü” bir büyüklüktür; altta kalan fonksiyon çıkarıldığında sonuç negatif olabilir.

g(x) fonksiyonunun altındaki alanı sayarken veya integralin sınırlarını değiştirirken aklına takılan başka bir ayrıntı var mı? Benzer bir değişken değiştirme sorusu daha çözmemi ister misin?