0,45 + 0,0045 + 0,000045 + … = x − 54/99 olduğuna göre, x kaçtır?
• 0,45 ile başlayan bir geometrik seri var
• Ortak oran r = 0,01
• Sonsuz geometrik serinin toplam formülü: S = \frac{a}{1 - r}
Sonsuz geometrik serinin ilk terimi a = 0{,}45 ve ortak oran r = 0{,}01 olduğundan
verilen denklem S = x - \tfrac{54}{99} olduğuna göre
Cevap: 1 (C şıkkı).
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
- İlk terim a = 0{,}45, ortak oran r = \tfrac{0{,}0045}{0{,}45} = 0{,}01.
- Sonsuz geometrik seri koşulu: |r|<1 → geçerli.
- Formül kullanımı:S = \frac{a}{1 - r} = \frac{0{,}45}{1 - 0{,}01} = \frac{45}{99}.
- Denklem: S = x - \tfrac{54}{99}
- $x$’i izole et:x = S + \frac{54}{99} = \frac{45}{99} + \frac{54}{99} = 1.
2. Geometrik vs Aritmetik Seriler Karşılaştırma
| Özellik | Geometrik Seri | Aritmetik Seri |
|---|---|---|
| Genel terim | a_n = a \,r^{\,n-1} | a_n = a + (n-1)d |
| Toplam formülü (sonlu) | S_n = a\,\frac{1 - r^n}{1 - r} | S_n = \tfrac{n}{2}(2a + (n-1)d) |
| Sonsuz toplam | $ | r |
| Ortak oran / fark | Sabit oran (r) | Sabit fark (d) |
3. Özet Tablosu
| Değer | Açıklama |
|---|---|
| a | İlk terim = 0,45 |
| r | Ortak oran = 0,01 |
| S | Seri toplamı = \tfrac{45}{99} |
| Denklem | \tfrac{45}{99} = x - \tfrac{54}{99} |
| Sonuç (x) | 1 |
4. SSS
S1. Sonsuz geometrik serinin toplam formülü nedir?
C1. |r|<1 ise S = \dfrac{a}{1-r}.
S2. r=1 olsaydı ne olurdu?
C2. Seri hiçbir zaman yaklaşmaz, toplam tanımsızdır.
S3. Bu soruda neden aritmetik seri kullanmadık?
C3. Çünkü terimler sabit farkla değil, sabit oranla azalıyor.
S4. Ondalık kesirleri kesir formuna nasıl çeviririm?
C4. Örneğin 0{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}.
Bu konuyla ilgili üç adet ek pratik soru ister misiniz?
@Ilayda_Menekse
Sonsuz Seride Toplamı Bulma (Fziydjgx)
Önemli Noktalar
- Verilen seri: 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + … şeklinde art arda azalan terimlerden oluşmaktadır.
- Bu tür problemler genellikle geometrik seri toplamı formülleri kullanılarak çözülür.
- Geometrik serinin toplam formülü:S = \frac{a}{1 - r}burada a ilk terim, r ortak çarpandır (|r| < 1).
- Soruda serinin toplamı \frac{54}{99} olarak verilmiş, serinin toplamını bu eşitliğe eşitleyerek x bulunur.
İçindekiler
- Serinin Yapısını Anlamak
- Toplamı Bulmak için Formül Uygulaması
- Karşılaştırma Tablosu: Geometrik Seri vs Aritmetik Seri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Serinin Yapısını Anlamak
Serimiz şu şekilde yazılabilir:
Burada terimler arası oranı bulalım:
İlk terim:
Terimler birbirini %1 oranında küçülten geometrik bir dizi oluşturuyor.
Pro Tip: Ondalık sayıların yazımı yerine kesir şeklinde de yazabilirsiniz; 0,45 = \frac{45}{100}.
Toplamı Bulmak için Formül Uygulaması
Bir geometrik serinin toplamı:
Burada:
- a = 0,45
- r = 0,01
S toplamı verilen değer:
Şimdi formülü kullanalım:
Ancak soruda x = \frac{54}{99} olarak verilmiş. Burada dikkate alınması gereken nokta şudur: Soruya göre şunlar toplanıyor:
ve x = \frac{54}{99}
Burada seri, yukarıdaki formüle göre toplandığında:
Bu \frac{45}{99} kesri sadeleştirilmez çünkü 45 ve 99’in ortak böleni 9’dur:
Ama soruda sağ taraf \frac{54}{99} olarak verilmiş. Bu, sorunun tam formülasyonunda terimlerin farklı ya da toplam verilen kesrin başka olduğu anlamına gelebilir.
Sorunun son hali şöyle:
Bu durumda, ilk terim a ve ortak oran r yerine farklı düşünülebilir. Ama cevap seçeneklerinde x=1 (C seçeneği) işaretlenmiş.
Buradan şöyle değerlendirebiliriz:
Serinin sum formülü:
Burada a = 0.45, r=0.01 ise:
Ama eşitlik x = \frac{54}{99} = 0.545454... verilmiş.
Bu durumda yukarıdaki x seriye eşit değil, seriye x eklenmiş olabilir. Sorudaki x toplam ise orijinal serinin sonu farklıdır ya da problemde başka bir yanlışlık mevcuttur.
Sonuç: Sorudaki toplam seri geometrik dizi ise ve doğru oran 0.01, toplam \frac{a}{1-r} formülüne göre olmalıdır.
Şöyle hesaplanır:
| Terim | Hesaplaması | Sonuç |
|---|---|---|
| a | 0.45 | 0.45 |
| r | 0.0045/0.45 | 0.01 |
| S | a/(1-r) | 0.45/0.99 |
\frac{54}{99} \approx 0.545454..., bu da 1’e yakın değil.
Seçeneklere bakarsak:
A) \frac{1}{99} \approx 0.0101
B) \frac{100}{99} \approx 1.0101
C) 1
D) 10
E) 99
x=1 seçeneği doğru cevap olarak verilmiş.
Bu durumda problem, terimleri okurken ya da verilen seri yazılırken nokta ve virgüller karışmış olabilir.
Karşılaştırma Tablosu: Geometrik Seri vs Aritmetik Seri
| Özellik | Geometrik Seri | Aritmetik Seri |
|---|---|---|
| Terimler Arası Fark | Sabit oran (çarpan) | Sabit fark (çıkarma veya toplama) |
| Genel Terim Formülü | a \cdot r^{n-1} | a + (n-1)d |
| Toplam Formülü (sonsuz) | S = \frac{a}{1-r}, ( | r |
| Sonuç | Belli değerle sınırlı | Artar veya azalır sonsuza gider |
Uyarı: Sonsuz aritmetik serinin toplamı yoktur, sadece geometrik serinin ortak oranı mutlak değerde 1’den küçükse toplamı vardır.
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Seri Tipi | Geometrik seri |
| İlk Terim (a) | 0,45 |
| Ortak Oran (r) | 0,01 |
| Serinin Toplamı (S) | \frac{a}{1-r} = \frac{0.45}{0.99} = \frac{45}{99} |
| Verilen eşitlik | x = \frac{54}{99} (Yaklaşık 0.545) |
| Doğru Cevap | x = 1 (Seçenek C) işaretlenmiş |
Sık Sorulan Sorular
1. Sonsuz geometrik serinin toplamı nasıl bulunur?
Toplam, ilk terim a ve ortak oran r (|r| < 1) için \frac{a}{1-r} formülü ile hesaplanır.
2. Ortak oran nasıl belirlenir?
Bir terimin bir önceki terime bölümü ortak oranı verir.
3. Sonlu aritmetik ve geometrik seriler arasındaki fark nedir?
Aritmetik serilerin farkı sabit, geometrik serilerin oranı sabittir. Sonsuz geometrik serinin toplamı uygun koşullarda hesaplanabilir.
Sonraki Adımlar
Bu probleme benzer başka sonsuz seri problemlerine çalışmak ister misiniz? Ayrıca ortak oranı farklı olan geometrik serileri nasıl çözeceğinizi anlatan örnekler görmek ister misiniz?