Cos2x + tan3x < 0 İle İlgili Matematik Sorusu Çözümü
Sorunun Açıklaması:
Soruda şu ifade verilmiş:
Bu eşitsizlik x açısının, aşağıdaki aralıklardan hangisinin elemanı olabileceğini tespit etmek için veriliyor:
A şıkkı: [0, \frac{\pi}{6}]
B şıkkı: [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]
C şıkkı: [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]
D şıkkı: [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]
E şıkkı: [0, \frac{\pi}{9}]
Problemin Çözümü İçin Adımlar:
Bu tip eşitsizlik problemleri için parametrelerin trigonometrik değerlerini inceleyerek ilerlenir:
1. Fonksiyonların Özelliklerini Genel Bir Hatırlatma:
- \cos2x fonksiyonu: Genellikle [-1, 1] aralığında değişirken açı büyüdükçe azalan veya artan bir seyir izler.
- \tan3x fonksiyonu: Keskin şekilde yükselir ve özellikle açı büyürken sonuçları çok hızlı değişebilir.
Eşitsizlik şu şekilde okunmalı:
\cos2x küçülecek ve negatif değerler alacak, aynı zamanda \tan3x hızla artacak ve toplamları sıfırdan küçük olacaktır.
2. Eşitsizlik Analizi:
Aşağıdaki aralıklar için \cos2x + \tan3x fonksiyonunun işaretini deneme yoluyla test edebiliriz:
Aralık 1: [0, \frac{\pi}{6}]
- Bu aralıkta:
- \cos2x pozitif değerlere sahiptir ve 1’e yakın olabilir.
- \tan3x da pozitif olur, ancak artışı \cos2x’i dengeleyemez.
- Sonuç pozitif olur, eşitsizlik sağlanmaz.
Aralık 2: [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]
- \cos2x düşüş gösterir ve sıfıra yaklaşır.
- \tan3x ise hızla artar.
- Bu aralıkta toplam negatif olabilir; eşitsizlik sağlanabilir.
Aralık 3: [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]
- \cos2x negatif olur ve \tan3x hâlâ pozitif fakat yüksek değerlere ulaşır.
- Bu aralık eşitsizlik için geçerli olabilir.
Aralık 4: [0, \frac{\pi}{9}]
- x küçük değerler aldığından \cos2x ve \tan3x pozitif olur ve toplamları sıfırdan büyük olur. Bu aralık eşitsizlik için uygun değildir.
Sonuç: Doğru Şıklar
Yukarıdaki analize göre B Şıkkı ([\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]) ve D Şıkkı ([\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]) doğru olabilir.
Sonuç:
Bu matematiksel eşitsizlik problemi, trigonometrik grafik davranışlarını göz önünde bulundurduğumuzda çözülüyor. Eğer ek bir doğrulama listesi gerektiğini düşünürseniz, ek grafiksel veya cebirsel analiz yapılabilir.
Aklı önce “cos 2x · tan 3x < 0” eşitsizliğini hangi (x) değerlerinin sağladığını bulmak için hem (\cos(2x)) hem de (\tan(3x)) fonksiyonlarının işaret çizelgesine bakalım. (x) değerleri (0 < x < \tfrac{\pi}{2}) (dar açı) koşulunu da sağlamalıdır:
-
(\cos(2x))’in işareti:
- (\cos(2x) > 0) olması için (2x) in ((0,\tfrac{\pi}{2})) aralığında olmalıdır; bu da
(0 < x < \tfrac{\pi}{4}) demektir. - (\cos(2x) < 0) ise (\tfrac{\pi}{4} < x < \tfrac{\pi}{2}) aralığında gerçekleşir.
- (\cos(2x) > 0) olması için (2x) in ((0,\tfrac{\pi}{2})) aralığında olmalıdır; bu da
-
(\tan(3x))’in işareti:
- (\tan(3x)) bir tam sayı katı olan (\pi) değerlerinde (örneğin (3x = k\pi)) işaret değiştirir. (0<x<\tfrac{\pi}{2}) aralığı için (0 < 3x < \tfrac{3\pi}{2}) söz konusudur. Bu aralıktaki alt bölgeleri inceleyince
[
\begin{aligned}
&\quad 0 < x < \tfrac{\pi}{6}\quad\Longrightarrow\quad 0 < 3x < \tfrac{\pi}{2};;(\text{1. bölge});\Longrightarrow\tan(3x)>0,\
&\tfrac{\pi}{6} < x < \tfrac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2}<3x<\pi;;(\text{2. bölge});\Longrightarrow\tan(3x)<0,\
&\tfrac{\pi}{3} < x < \tfrac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad \pi<3x<\tfrac{3\pi}{2};;(\text{3. bölge});\Longrightarrow\tan(3x)>0.
\end{aligned}
]
- (\tan(3x)) bir tam sayı katı olan (\pi) değerlerinde (örneğin (3x = k\pi)) işaret değiştirir. (0<x<\tfrac{\pi}{2}) aralığı için (0 < 3x < \tfrac{3\pi}{2}) söz konusudur. Bu aralıktaki alt bölgeleri inceleyince
Şimdi (\cos(2x)\cdot \tan(3x) < 0) olması demek, (\cos(2x)) ile (\tan(3x))’in zıt işaretli olması demektir. Bunu iki ayrı durumda inceleriz:
• (\cos(2x)>0) iken (\tan(3x)<0):
[
0<x<\tfrac{\pi}{4}\quad \text{ve}\quad \tfrac{\pi}{6}<x<\tfrac{\pi}{3}
;\Longrightarrow;x\in\bigl(\tfrac{\pi}{6},,\tfrac{\pi}{4}\bigr).
]
• (\cos(2x)<0) iken (\tan(3x)>0):
[
\tfrac{\pi}{4}<x<\tfrac{\pi}{2}\quad \text{ve}\quad
\bigl(0<x<\tfrac{\pi}{6}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{\pi}{3}<x<\tfrac{\pi}{2}\bigr);
\Longrightarrow;x\in\bigl(\tfrac{\pi}{3},,\tfrac{\pi}{2}\bigr).
]
Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan tüm (x) değerleri
[
\bigl(\tfrac{\pi}{6},,\tfrac{\pi}{4}\bigr)
;\cup;
\bigl(\tfrac{\pi}{3},,\tfrac{\pi}{2}\bigr)
]
aralığında bulunur. Soruya verilen çoktan seçmeli seçenekler arasından yalnız
(\displaystyle \bigl(\tfrac{\pi}{6},,\tfrac{\pi}{4}\bigr))
aralığı (C şıkkı) bu çözüme dâhil olduğu için doğru cevap
(C) (\bigl(\tfrac{\pi}{6},,\tfrac{\pi}{4}\bigr))
olur.
cos 2x · tan 3x < 0 eşitsizliği için x hangi aralıkta olabilir?
Cevap: (π/6 , π/4)
Çözüm Aşamaları:
-
Dar açı koşulu nedeniyle x ∈ (0, π/2) olduğunu biliyoruz.
-
cos 2x · tan 3x < 0 demek:
- cos 2x ile tan 3x zıt işaretlidir.
- Ya cos 2x > 0 ve tan 3x < 0
- Ya da cos 2x < 0 ve tan 3x > 0
1) cos 2x > 0 ve tan 3x < 0
• cos 2x > 0 olması için 2x‘in Trigonometrik Birim Daire’de 1. veya 4. bölgede olması gerekir.
- x ∈ (0, π/4), çünkü 2x ∈ (0, π/2).
• tan 3x < 0 olması için 3x 2. veya 4. bölgede yer almalıdır.
- 3x ∈ (π/2, π) veya (3π/2, 2π).
- Fakat x < π/2 ⇒ 3x < 3π/2, bu yüzden uygun aralık 3x ∈ (π/2, π) olur.
- Dolayısıyla x ∈ (π/6, π/3).
• Her iki koşulu birleştirirsek:
- x ∈ (0, π/4) ∩ (π/6, π/3) = (π/6, π/4).
2) cos 2x < 0 ve tan 3x > 0
• cos 2x < 0 olması için 2x 2. veya 3. bölgede olmalı.
- 2x ∈ (π/2, 3π/2).
- x < π/2 ⇒ 2x < π ⇒ 2x ∈ (π/2, π). Dolayısıyla x ∈ (π/4, π/2).
• tan 3x > 0 olması için 3x 1. veya 3. bölgede bulunmalıdır:
- 3x ∈ (0, π/2) ∪ (π, 3π/2).
- x < π/2 ⇒ 3x < 3π/2, yani 3x ∈ (0, 3π/2). Kesişim açısından 3x ∈ (0, π/2) ∪ (π, 3π/2).
- x cinsinden yazarsak: x ∈ (0, π/6) ∪ (π/3, π/2).
• İki koşulu birleştirirsek:
- x ∈ (π/4, π/2) ∩ [(0, π/6) ∪ (π/3, π/2)] = (π/4, π/2) ∩ (π/3, π/2) = (π/3, π/2).
Sonuç
Tüm dar açı (0, π/2) için cos 2x · tan 3x < 0 sağlayan x değerleri:
(π/6, π/4) ∪ (π/3, π/2).
Soruda verilen şıklara baktığımızda, yalnızca (π/6, π/4) aralığı listelenmiştir. Bu nedenle doğru cevap C) (π/6, π/4) olmaktadır.