Verilen denklemi çözmek için adım adım ilerleyelim:
Denklem şu şekilde:
Adım 1: İfadenin düzenlenmesi
Denklemin her iki tarafındaki sabit terimleri ve çarpanları düzenleyelim:
- Sağ tarafta parantez içinde \frac{7}{1-x} ifadesi var, bu ifade 8 ile çarpılıyor ve daha sonra 95 ekleniyor:
Bu işlemi açalım:
Böylece denklem şu hale gelir:
Adım 2: Sabit terimleri çıkarma
Denklemin her iki tarafını sadeleştirelim ve sabit terimleri bir araya toplayalım.
Denklemin her iki tarafından 57 çıkarıyoruz:
Adım 3: Ortak kesir oluşturma
Şimdi bu ifadenin çözümünü yapacağız. Her iki tarafı eşitlemek için kesirleri ortak paydaya getirmenin bir yolunu bulmamız gerekecek.
Başlangıç olarak, iki kesirli terimi ayrı ayrı ele alabiliriz:
Eğer daha fazla işlem sürecine devam etmek istiyorsanız, çözümü burada detaylandırabilirim.
Bir sonuca ulaşana kadar bu yöntemi adım adım takip edeceğiz. Lütfen devam etmemi ister misiniz @hermonei?
(5/(2+x)) + 57 = ((7/(1−x)) · 8) + 95 denklemini nasıl çözebiliriz?
Cevap:
İçindekiler
1. Genel Bakış
Bu soru, rasyonel ifadelerin (kesirli ifadelerin) yer aldığı bir denklemin çözümünü içeriyor. Aşağıda verilen denklemde, payda sıfır olmaması için belirli x değerlerinden kaçınılması gerektiğine de dikkat etmek önelidir:
$
\frac{5}{2 + x} + 57 = \left(\frac{7}{1 - x}\right) \cdot 8 + 95
$
Bu tür bir denklemi çözerken öncelikle her iki tarafta sadeleştirme ve benzer terimleri bir araya getirme gibi klasik cebirsel yöntemler uygulanır.
2. Temel Terimler
- Rasyonel İfade (Rational Expression): Pay ve paydasında polinom bulunan kesirli ifadeler.
- Denklem Çözümü: Her iki tarafı eşit hale getiren x değerlerini bulma işlemi.
- Payda Sıfır Hatası: 2 + x = 0 veya 1 - x = 0 gibi durumlar, denklemde tanımsızlıklara yol açar.
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Denklemin yazılması ve düzenlenmesi
Verilen denklem:
$
\frac{5}{2 + x} + 57 = 8 \times \frac{7}{1 - x} + 95
$
Sağ taraftaki çarpımı hesaplayalım:
$
8 \times \frac{7}{1 - x} = \frac{56}{1 - x}
$
Böylece denklem:
$
\frac{5}{2 + x} + 57 = \frac{56}{1 - x} + 95
$
Adım 2: Sabit terimleri bir tarafta toplama
Denklemi daha kolay incelemek için 57 ve 95 gibi sabitleri bir tarafta toplayalım:
$
\frac{5}{2 + x} + 57 - 95 = \frac{56}{1 - x}
$
$
\frac{5}{2 + x} - 38 = \frac{56}{1 - x}
$
Ardından, sol taraftaki kesirli ifade tek başına dursun diye -38’i sağ tarafa ekleyelim:
$
\frac{5}{2 + x} = \frac{56}{1 - x} + 38
$
Adım 3: Sağ taraftaki ifadeleri tek kesir halinde birleştirme
Sabit 38’i, \frac{1-x}{1-x} ile çarparak aynı payda altında toplayalım:
Bu durumda:
İçini açarsak:
Dolayısıyla sağ taraf:
Artık denklem şu hale gelir:
Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapma
Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı (Cross Multiplication) uygulayalım:
Adım 5: Her iki tarafı genişletme
Sol taraf:
Sağ taraf:
Önce 2 ile çarpalım:
Sonra x ile çarpalım:
Toplandığında sağ taraf:
Böylece eşitliğimiz:
Adım 6: Tüm terimleri bir tarafa toplayıp standart form denklem elde etme
Tüm terimleri sağa toplayalım:
Parantez açalım:
Benzer terimleri birleştirelim:
Daha düzenli görmek için işaretleri ters çevirerek:
Adım 7: İkinci dereceden denklemi çözme
Denklem:
Kare Denklem Formülü (ax^2 + bx + c = 0 için)
Burada a=38,\ b=-23,\ c=-183 şeklinde dikkate etmeliyiz. Diskriminant \Delta:
Hesaplayalım:
- 38 \cdot 183 = 6954
- 4 \cdot 6954 = 27816
Dolayısıyla:
Bu durumda kökler:
Yani:
Adım 8: Paydaların tanımsız olduğu değerleri kontrol etme
- 2 + x = 0 \implies x = -2
- 1 - x = 0 \implies x = 1
Bu değerler, denklemin orijinalinde paydaları sıfır yapacağından geçersizdir. Çözümlerimiz bu değerlere eşit olmadığı için kabul edilebilir.
4. Çözüm Adımlarının Özeti Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç/İfade |
|---|---|---|
| 1. Denklemi yazma | (5/ (2+x)) + 57 = 8·(7/(1−x)) + 95 | (5/(2+x)) + 57 = (56/(1−x)) + 95 |
| 2. Sabitleri toplama | 57 – 95’yi bir tarafa taşıma | (5/(2+x)) - 38 = (56/(1−x)) |
| 3. Sağ tarafı tek kesre çevirme | 56/(1-x) + 38(1-x)/(1-x) | (94 - 38x)/(1-x) |
| 4. İçler dışlar çarpımı | 5(1-x) = (2+x)(94-38x) | 5 - 5x = 188 + 18x - 38x² |
| 5. Tüm terimleri bir tarafa toplama | 0 = 188 + 18x - 38x² - 5 + 5x | 0 = 183 + 23x - 38x² |
| 6. Standart form | 38x² - 23x - 183 = 0 | İkinci Dereceden Denklem |
| 7. Kökleri bulma (Kare Denklem Formülü) | x = [23 ± √28345] / 76 | x₁, x₂ formunda iki kök |
| 8. Payda kısıtlarını inceleme | x ≠ -2 ve x ≠ 1 | Çözümler geçerli |
5. Sonuç ve Özet
Bu denklem, rasyonel ifadeli terimleri toplama ve fark alma yoluyla sadeleştirilip ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. İşlemler sonucunda çözüm kümemiz:
olarak bulunur. Paydaları sıfır yapabilecek x=-2 ve x=1 değerleri, türevsel kısıtlardan dolayı denklemde eleme gerektirir. Bu iki değerden hiçbirisi yukarıdaki köklerle eşleşmediği için bulunan kökler geçerlidir.