Soruyu çözmek için gereken adımlar aşağıdaki gibidir:
1. Sorunun Temel Bilgileri
Soruda verilen şekil ve açıklamalara dikkat etmeliyiz. Fonksiyonlar ile ilgili bir problem olduğu görülmektedir. Sorunun çözümü için aşağıdaki bilgiler analiz edilmelidir:
- Fonksiyonun belirlenen noktadan geçen doğrunun kesim ve eğim analizleri yapılmalıdır.
- Fonksiyon değerlerinin x ve y ekseni kesim noktası bulunacak gibi görünüyor.
2. İlk Adım: Verilen Bilgileri İnceleme
Resimde göze çarpan noktalar ve formüller:
- f(x)=54 şeklinde bir ifade verilmiş bu, fonksiyonun çıkışı olabilir.
- **k değerini analiz noktasına k=90 grafikte. Bu tekrar noktası var mı.
**ÇÖZÜM… ANNEX Dummy FOll **)
Sorunuz: (Ekteki görselden anlaşıldığı kadarıyla) Gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki teğet veya normalle ilgili bir problem veriliyor ve bu teğet (ya da normal) doğrusunun y-eksenini kestiği nokta (y-kesmesi) soruluyor. Ancak soru metninin bir kısmı görselde net olmadığı için kesin metni göremiyoruz. Yine de bu tip soruları çözmek için kullanılan genel yöntemleri ve adımları burada özetleyebiliriz.
İçindekiler
- Teğet Doğrusunun Denklemi
- Normal Doğrusunun Denklemi
- Y-Eksenini Kesmeye Yönelik Formüller
- Çözüm Stratejisi: Adım Adım
- Örnek Bir Uygulama
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Teğet Doğrusunun Denklemi
Bir fonksiyonun teğet doğrusunu elde etmek için önce o fonksiyonun türevine ihtiyacımız olur.
- Fonksiyon:
$
y = f(x)
$ - Türevi (eğimi/slope’u):
$
y’ = f’(x)
$ - x = a noktasındaki teğet doğrusunun denklemi:y - f(a) \;=\; f'(a)\,\bigl(x - a\bigr).
Bu doğrunun y-eksenini kestiği nokta, x = 0 koyarak bulunur. Yani:
Burada b, teğet doğrusunun y-kesmesidir.
2. Normal Doğrusunun Denklemi
Normal, teğete dik (dik = eğim çarpımları -1) olan doğrudur. x = a noktasındaki normalin eğimi:
Normal doğrusu denklemi:
Bu durumda y-eksenini kesen nokta için x = 0 konur ve:
3. Y-Eksenini Kesmeye Yönelik Formüller
Özetle:
- Teğet doğrusunun y-kesmesi =
$
f(a);-;a,f’(a).
$ - Normal doğrusunun y-kesmesi =
$
f(a);+;\frac{a}{f’(a)}.
$
4. Çözüm Stratejisi: Adım Adım
Bir soruda benzer şekilde “teğet (veya normal) doğrusunun y-eksenini kestiği nokta 54’tür” veya “teğet doğrusu belirli bir koordinatta y-eksenini kestiğinde şu değeri verir” gibi bir ifade varsa aşağıdaki yolu izleyebilirsiniz:
- ■ Fonksiyonun türevini bulun: f’(x).
- ■ Hangi noktada (a, f(a)) teğet veya normal çizildiği genellikle ek bir koşuldan anlaşılır. Örneğin, “teğet doğrusunun y-kesmesi 54’tür” denirse:
- Teğet hâlinde:
$
f(a) - a,f’(a) = 54
$ - Normal hâlinde:
$
f(a) + \frac{a}{f’(a)} = 54
$
- Teğet hâlinde:
- ■ Ek bir bilgi (örneğin f(a) = 2, ya da f’(a)∙f(a) = 27 vb.) verilmişse bu denklem(ler)le birlikte çözüm yapılır.
- ■ Bir başka yöntemde, problem size a değeri veya f(a) hakkında ipucu verir (mesela, “a = 2” veya “f(2) = 6” vb.). O sayede y-kesmesi denklemini yazıp sonuca ulaşırsınız.
5. Örnek Bir Uygulama
Diyelim ki elinizde şu basit örnek var:
• Fonksiyon f(x) = x^2 + 3.
• x = a noktasında çizilen teğet doğrusunun y-eksenini 7’de kestiği biliniyor.
• Bu durumda:
- f'(x) = 2x.
- Teğet y-kesmesi formülü:
$
f(a) - a,f’(a) ;=; (a^2 + 3) ;-; a,(,2a,);=;a^2 + 3 - 2a^2 ;=;-,a^2 + 3.
$ - Soruda bu kesmenin 7 olduğu söyleniyor:
$
-,a^2 + 3 = 7
$ - Çözün:
$
-,a^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad a^2 = -4 \quad\Rightarrow\quad
$
Reel sayı çözümü yok (imkansız).
Bu örnek, y-kesmesi için formülü nasıl kullandığımızı gösterir (burada sonuç tuhaf olduğu için belki fonksiyon veya sayı hatalı olabilir). Ama yöntem aynıdır.
6. Özet Tablo
| Durum | Formül | Y-Kesmesi |
|---|---|---|
| Teğet Denklemi (x=a) | y - f(a) = f'(a)(x - a) | y(0)=f(a) - a\,f'(a) |
| Normal Denklemi (x=a) | y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) | y(0)=f(a) + \frac{a}{f'(a)} |
| Verilen Y-Kesmesi = K | Teğet: f(a) - a\,f'(a)=K | Normal: f(a)+\frac{a}{f'(a)}=K |
7. Kısa Özet
Sorunuzdaki görselden anlaşıldığı kadarıyla, bir fonksiyonda “teğet doğrusu” veya “normal doğrusu”nun y-eksenini kesme noktası isteniyor. Eğer soruda “bu kesme noktası 54” gibi bir ifade varsa, tablodaki ilgili formülü kullanarak (teğet ya da normal durumuna göre)
- f(a)\pm a\,/\,f'(a) türünden bir denkleme,
- Sorunun ek koşullarına (örneğin f(a)\cdot f'(a)=27, a=2 gibi)
dayanarak çözüm yapılır.
Görseldeki karalamalarda “2·f(x)·f’(x)=54” gibi bir ifadenin yer aldığı görülüyor. Bu büyük ihtimalle sorunun ek koşulu veya türevi ilgilendiren bir denklem olabilir. Böyle bir denklemle “f'(x)\,\cdot f(x)=27” elde edilip soru çözülebilir. Son adımda bu (a, f(a)) noktasının teğetinin y-eksenini kestiren ifadeyi kullanarak “b = f(a) - a f’(a)” (ya da normal için artı işareti) bulunabilir.
Eğer soru net olarak “teğet doğrusu mu, normal mi, hangi noktada çiziliyor” diye belirtiyorsa, mutlaka o detayları yukarıdaki formüllere uygulayın. Görselde yer alan “54” sayısı da (muhtemelen) “y-eksenini kestiği nokta = 54” şeklinde bir ek bilgi olabilir.
Umarız bu genel yöntemle, görseldeki sorunun ayrıntılarını netleştirip adım adım çözebilirsiniz. Elinizdeki soru metninin tamamını gördüğünüzde, fonksiyonun tam biçimi veya türevle alakalı ek bir koşul da olacaktır. O bilgileri bu formüllerle birleştirerek sorunun çözümüne ulaşmanız mümkün.