5 in 3 lü kombinasyonu
5 in 3 lü kombinasyonu nedir ve nasıl hesaplanır?
Cevap:
Matematikte kombinasyon, belirli bir kümeden sıra gözetmeksizin seçilen alt kümelerin sayısını ifade eder. Burada “5 in 3 lü kombinasyonu” ifadesi, 5 elemanlı bir kümeden 3 eleman seçmenin kaç farklı şekilde yapılabileceğini sormaktadır.
İçindekiler
1. Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, bir kümeden sıra önemli olmadan belirli sayıda eleman seçme işlemidir. Örneğin, 5 farklı meyveden 3 tanesini seçmek istediğimizde, seçilen meyvelerin sırası önemli değildir; sadece hangi meyvelerin seçildiği önemlidir.
2. Kombinasyon Formülü
Bir kümeden n eleman arasından r eleman seçmenin kombinasyon sayısı şu formülle hesaplanır:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \times (n-r)!}
Burada:
- n! = n faktöriyel (1’den n’e kadar olan sayıların çarpımı)
- r! = r faktöriyel
- (n-r)! = (n-r) faktöriyel
3. 5 in 3 lü kombinasyonunun hesaplanması
Burada n=5 ve r=3 olarak verilmiştir. Formüle göre:
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!}
Şimdi faktöriyelleri hesaplayalım:
- 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
- 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
- 2! = 2 \times 1 = 2
Bunları formüle yerleştirelim:
C(5, 3) = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10
4. Örnek ve Tablo
5 elemanlı bir küme: \{A, B, C, D, E\} olsun. Bu kümeden 3 eleman seçmenin 10 farklı yolu vardır:
| Sıra | Kombinasyonlar |
|---|---|
| 1 | A, B, C |
| 2 | A, B, D |
| 3 | A, B, E |
| 4 | A, C, D |
| 5 | A, C, E |
| 6 | A, D, E |
| 7 | B, C, D |
| 8 | B, C, E |
| 9 | B, D, E |
| 10 | C, D, E |
5. Özet
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Kombinasyon formülü | C(n, r) = \frac{n!}{r! (n-r)!} | - |
| Değerlerin yerine konması | C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!} | - |
| Faktöriyellerin hesaplanması | 5! = 120, 3! = 6, 2! = 2 | - |
| Sonuç | \frac{120}{6 \times 2} = 10 | 10 |
Sonuç olarak, 5 elemanlı bir kümeden 3 eleman seçmenin toplamda 10 farklı kombinasyonu vardır.