Sorunun çözümü:
Problemi Anlama
Soruda, tepe noktası orijinde olan ikinci dereceden iki farklı grafik (y = f(x) ve y = g(x)) verilmiş.
- Şekil 1’de uzun kenar, x ekseni ile çakışacak şekilde yerleştirilmiş.
- Şekil 2’de kısa kenar, x ekseni ile çakışacak şekilde yerleştirilmiş.
Soruda, y = g(x) fonksiyonu y = f(x)'in bir dönüşümü olarak verilmiştir. Grafiklerden bu dönüşümü anlamamız gerekiyor.
Verilen seçeneklere göre, y = g(x) fonksiyonu y = f(x) fonksiyonunun ölçeklendirilmiş bir hali.
Grafik Üzerinden Çözüm
Şekil 1: y = f(x)
- Grafikteki dikdörtgen, x ekseni ile çakışan B ve C noktalarından geçiyor.
- Parabol y = f(x)'in görüntüsü normal haliyle çizilmiş.
Şekil 2: y = g(x)
- Şekil 2’deki grafikte dikdörtgenin kısa kenarı, x ekseni ile çakışacak şekilde yerleştirilmiş. Bu durumda:
- x ekseni boyunca sıkıştırma yapılmış.
- Grafikten, parabolun x ekseni boyunca yarıçapının yarıya düşürüldüğü (yani x değerleri sıkıştırılmış) görünmektedir.
- Bunun matematiksel karşılığı: f(x)’i x’in 2’ye bölünmesiyle küçültmek (f(x/2)) ve ardından görüntüyü 2 kat ölçeklendirmek (2 \cdot f(x/2)).
Matematiksel Dönüşüm
Şekil 2’deki dikdörtgen iki köşe noktasının x eksenine daha yakın olması y = f(x)’in x ekseninde sıkıştırıldığı anlamına gelir.
Bu sebeple:
- x ekseninde sıkıştırma: x → x/2.
- y ekseninde genişleme faktörü: 2 \cdot f(x/2).
Doğru Yanıt ve İşlem Tablosu
| Adım | Yapılan İşlem | Dönüşüm |
|---|---|---|
| 1. x ekseni boyunca sıkıştırma | x → x/2 dönüşümü uygulama | f(x/2) |
| 2. y ekseni boyunca genişleme | 2 \cdot f(x/2) | 2 \cdot f(x/2) |
Sonuç:
y = g(x) fonksiyonu E şıkkı: 2 \cdot f(x/2) eşitliğidir.
Cevap:
E) 2 \cdot f(x/2)
Eğer başka bir sorunuz olursa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
@Irmak
“Buna göre y = g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?” sorusunu çözmek için, iki dikdörtgenin (Şekil 1 ve Şekil 2) kenarları ile parabolün nasıl etkileştiğine ve uzun/kısa kenarların nasıl yer değiştirdiğine bakmamız gerekir. Soruda uzun kenar, kısa kenarın 2 katı uzunluğundadır.
• Şekil 1: Dikdörtgenin uzun kenarı x‐ekseni ile çakışacak biçimde yerleştiriliyor. Bu durumda, parabol y=f(x) geniş (daha yatay) bir yayılım göstermektedir.
• Şekil 2: Bu kez dikdörtgenin kısa kenarı x‐ekseni ile çakışıyor. Dolayısıyla dikdörtgenin düşey yüksekliği “uzun kenar” hâline gelmiştir; yani önceye göre 2 kat daha yüksektir ve parabolda gözlenen yatay genişlik (taban uzunluğu) ise yarıya düşmüştür.
Bu geometrik değişimler, fonksiyonun hem yatay sıkıştırma (özellikle x yerine 2x koymak) hem de dikey ölçeklendirme (2 ile çarpma) yaşadığına işaret eder:
-
Yatay sıkıştırma:
Bir parabolu yatayda “daraltmak” için, fonksiyonda x yerine daha büyük bir değerle (örneğin 2x) değiştirilir.- y = f(2x) fonksiyonu, y=f(x) grafiğini x‐eksenine göre 1/2 oranında sıkıştırarak daha dar bir şekle sokar.
-
Dikeyde 2 katına çıkarma:
Yeni konumda dikdörtgenin yükseklik boyutu, önceki kısa kenarın 2 katı oldu. Dolayısıyla parabol üzerindeki y‐değerlerini de 2 ile çarpmamız gerekir.- Bu da f(2x) fonksiyonunun çıktılarını 2 ile çarpma demektir: y = 2\,f(2x).
Dolayısıyla g(x) = 2\,f(2x) şeklinde bir dönüşümle, hem dikdörtgen yüksekliğinin 2 katına çıktığı hem de birim uzunluğun yarıya indiği (tabanı daraltan) koşul sağlanmaktadır.
Çözüm Adımları ve Özet Tablosu
1. Şekil 1’deki Durum
- Geniş taban (uzun kenar x‐ekseni üzerinde).
- Fonksiyon: y = f(x).
2. Şekil 2’deki Durum
- Dar taban (kısa kenar x‐ekseni üzerinde).
- Baştaki uzun kenarın (2 kat) bu kez dikey boyut olması gerekir → Parabol dikeyde 2 kat daha “yüksek” görünmeli.
- Aynı zamanda taban yatayda yarıya düşer → Fonksiyon x yerine 2x konularak yatayda sıkıştırılır.
| Adım | Dönüşüm | Etki |
|---|---|---|
| 1. Yatay Sıkıştırma (1/2 oran) | x \to 2x | f(x) → f(2x) |
| 2. Dikey Ölçeklendirme (×2) | \,y \to 2\,y | f(2x) → 2\,f(2x) |
3. Sonuç
Bu analiz ışığında g(x) = 2\,f(2x) olduğu görülür. Verilen çoktan seçmeli şıklarda bu, genellikle D şıkkı olarak sunulmuştur.
Yanıt: D) 2 · f(2x)