29. Soru: 4’ü gül, 5’i lale, 3’ü karanfil olan toplam 12 farklı renk çiçek arasından, 5 çiçeklik bir “aranjman” oluşturulacaktır. Oluşacak bu seçkide (1) her bir çiçek farklı renk ve (2) aranjman en az iki farklı tür içermelidir. Kaç farklı “aranjman” oluşturulabilir?
İçindekiler
- Sorunun İncelenmesi
-
-
- Tek Türe Ait Olan Seçimin Çıkarılması
- Adım Adım Çözüm Özeti
- Tablo ile Durum Özeti
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Sorunun İncelenmesi
• Her biri farklı renkte toplam 12 çiçek var:
- 4 gül
- 5 lale
- 3 karanfil
• 5 çiçeklik bir seçim (aranjman) yapılacak, ancak “aranjman” içinde en az 2 farklı tür olacak.
• “Her biri farklı renkte” ifadesi, aslında her çiçeğin biricik olduğunu belirtir. Fakat soru seçeneklerinin (A) 791, (B) 809, (C) 811, (D) 833, (E) 855 şeklinde olması, sıralamanın (permutasyonun) değil, sırasız seçimin (kombinasyonun) sorulduğunu güçlü biçimde gösterir.
Bu nedenle, “aranjman” ifadesi, burada farklı türlerin kullanılacağı 5 çiçeklik bir kombinasyon anlamına gelmektedir (yani diziliş önemsenmiyor).
2. Kombinasyon Kavramı ve Genel Formül
Bir kümeden belirli sayıda eleman seçerken sıra önemli değilse kombinasyon kullanılır.
• Aşağıdaki formül, n elemandan r eleman seçmeyi ifade eder:
$
\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
$
3. Toplam Kombinasyonun Hesaplanması
Önce, 12 farklı çiçeğin herhangi 5 tanesini sırasız seçeceğimiz tüm durum sayısını bulalım:
$
\displaystyle \binom{12}{5} = \frac{12!}{5!,(12-5)!}
= \frac{12!}{5!,7!}
= 792
$
4. Tek Türe Ait Olan Seçimin Çıkarılması
Soru, en az iki farklı tür çiçek içeren seçkiler istiyor. Dolayısıyla, tek türden olan seçimleri ayıklayıp çıkarmalıyız.
• 4 gül var. 5 çiçek seçmek için yeterli değil (5 gül seçemeyiz). → Bu durum yok.
• 5 lale var. Tam 5 lale seçilebilir. → Tek tür seçimi burada mümkün.
• 3 karanfil var. 5 çiçek için yeterli değil. → Bu durum yok.
Yani tek türden (sadece lale) seçilmiş olmak demek, 5 lalenin beşini de almak. Her bir lale kendi içinde farklı renk olsa da sırasız seçmede tek bir kombinasyondur:
• Tamamı lale olan 5’li seçimin kombinasyon adedi =
$
\displaystyle \binom{5}{5} = 1
$
5. Adım Adım Çözüm Özeti
- Adım: Toplam 12 çiçekten (farklı renkli ama sırasız seçim) 5 çiçeğin kombinasyon sayısı: 792.
- Adım: Bu 792 içinden, “tek tür” yani tümü lale olan 5 çiçeğin seçimini çıkar. Tek tür seçimi yalnızca 5 lale ile mümkündür ve bu 1 durumdur.
- Adım: 792 – 1 = 791 elde edilir.
6. Tablo ile Durum Özeti
| Durum | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Toplam 5’li seçim (farklı renk, sıra yok) | C(12, 5) | 792 |
| Tek tür (sadece 5 lale) | C(5, 5) | 1 |
| İstenen şart (en az 2 tür) | 792 – 1 | 791 |
7. Sonuç ve Kısa Özet
Bu kombinasyon hesabına göre, tamamı tek bir türden (yalnızca 5 lale) oluşan seçimi haric tutarsak geriye 791 seçenek kalır. Böylece en az iki farklı tür koşuluna uyan, 5 çiçekten oluşan tüm mümkün kombinasyonların sayısı 791’dir.
Dolayısıyla, sorunun doğru cevabı büyük olasılıkla:
791 (A şıkkı)
Kısaca Özet:
- Biricik 12 çiçekten 5’li seçim: 792.
- Sadece lalelerden oluşan kombinasyon: 1.
- Gerekli aranjman sayısı: 792 – 1 = 791.