Fotoğraftaki Matematik Sorusu ve Çözümün Açıklaması
Soruda bir \sqrt{} ifadeli matematik işlemi var. Yazıyı fotoğraf üzerinden netleştirecek şekilde tam çözüm sunuyorum.
Fotoğraftaki Sorunun Özeti:
İfade şu şekilde:
"x = 3 - √5, y = 3 + √5 olduğuna göre, (x - y)² + 4xy ifadesinin değeri kaçtır?”
Adım Adım Çözüm:
1. x - y’nin Hesaplanması:
x - y = (3 - √5) - (3 + √5)
Burada parantezleri açtığımızda:
Benzer terimlerin sadeleşmesi:
2. (x - y)²’nin Hesaplanması:
(x - y)², yukarıdaki sonucu karesini alarak hesaplıyoruz:
Negatifi karesini aldığımızda pozitif olur:
3. 4xy’nin Hesaplanması:
x ve y yerine değerlerini koyarak xy hesaplanır:
x = 3 - √5
y = 3 + √5
Bu çarpımı açıyoruz:
Orta terimler sadeleşir:
Şimdi $4xy$’yi hesaplayalım:
4. Toplamı Hesaplama (Sonuç):
Son ifadeyi topluyoruz:
Cevap:
Doğru seçenek: D) 36
Eğer başka bir sorunuz varsa paylaşabilirsiniz! 
Verilen soruda “(k−x)² + 4xy” ifadesinin değeri kaçtır?
Answer:
Aşağıdaki gibi varsayılan verilere göre çözüm yapılır:
- k = 3 − √2
- x = 3 + √2
- y = 3 − √2
1. (k − x) Terimini Hesaplama
k − x = (3 − √2) − (3 + √2) = −2√2
Bunun karesini alırsak:
(k − x)² = (−2√2)² = 4 × 2 = 8
2. 4xy Terimini Hesaplama
Önce xy çarpımını bulalım:
x × y = (3 + √2)(3 − √2) = 3² − (√2)² = 9 − 2 = 7
Dolayısıyla:
4xy = 4 × 7 = 28
3. Sonuç
(k − x)² + 4xy = 8 + 28 = 36
Yani ifadenin değeri 36’dır.
(Soru)
x = 3 – √11 ve y = 3 + √11 olduğuna göre, (x – y)² + 4xy ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: 36
Merhaba sevgili öğrenci! Bu soruda, x ve y şeklinde iki değişken tanımlanmış ve bizden (x – y)² + 4xy ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. x ve y’nin biçimlerine baktığımızda, köklü sayıları içeren değerler görüyoruz. Bu tip sorularda genellikle çarpımları, farkları veya toplamları “köklü” ifadeleri sadeleştirebilecek şekilde kurgulanır. Bu yüzden her adımda dikkatli işlem yaparak sonuca varmamız gerekir.
Aşağıda, soruyu adım adım nasıl çözebileceğimizi, ilgili matematiksel kuralları, fonksiyonları, tanımları ve ek açıklamaları detaylı biçimde bulacaksınız. Ayrıca 2000 kelimeyi aşkın kapsamlı bir açıklama yaparak, konuyu tam olarak öğrenmenizi amaçlıyoruz.
İçindekiler
1. Genel Bakış
Bu soruda elimizde x = 3 – √11 ve y = 3 + √11 olmak üzere iki değer vardır. Soru, (x – y)² + 4xy ifadesinin sayısal karşılığını bulmamızı ister. Burada köklü ifadeleri içeren toplama/çıkarma ve çarpma işlemlerini düzgün biçimde uyguladığımızda, fazlasıyla sade bir sonuç elde edebiliriz.
Bu tip sorularda, (x – y)²’nin açılımı ve xy çarpımı özellikle işlemleri kolaylaştıran unsurlardır. x ve y’nin birbiriyle “simetrik” olduğunu (biri 3 – √11, diğeri 3 + √11) görüyoruz. Bu simetri genellikle çarpımda ve toplamda köklerin kısmen yok olmasına veya sadeleşmesine yol açar.
2. Köklü İfadelerle İşlem Yapma Temelleri
Köklü sayılarla (özellikle √11 gibi) işlem yaparken uyulması gereken birkaç temel kural vardır:
- Toplama ve Çıkarma: √a + √b veya √a - √b gibi ifadelerde, a ve b aynı olmadıkça (yani kökün içi aynı değilse) doğrudan toplanamaz veya çıkarılamaz. Ancak 3 + √11 ile 3 – √11 gibi ifadelerde, sabit terim olan 3’ler arasında işlem yaparken, köklü kısım ayrı kalır.
- Çarpma: (a + √b)(c + √d) türü bir işlemde dağıtma yapılır; ac, a√d, c*√b ve √b*√d çarpımları toplanarak sonuç bulunur.
- (x – y)² Açılımı: (x – y)² = x² – 2xy + y² kuralını anımsatır. Fakat doğrudan x – y’yi bulup sonra karesini almak, genellikle daha pratik olur.
- (a + b)(a - b) = a² - b²: Bu, köklü ifadelerde çok kullanışlı bir kimliktir. Örneğin (3 + √11)(3 – √11) = 3² - (√11)² = 9 – 11 = -2.
- Kare Alma: √k’nin karesi k’dir. Örneğin (√11)² = 11. Bu yüzden eğer kökli ifadeyi kareye alıyorsak direkt olarak kökün içi sayı oluyor.
3. Verilen Değerler ve İstenen İfade
Elimizde:
- x = 3 – √11
- y = 3 + √11
İstenen:
- (x – y)² + 4xy
Bu ifadeyi hesaplamak için sırasıyla (x – y) ve xy’yi bulmamız gerekiyor. Ardından, (x – y)² ve 4xy toplanarak cevap elde edilebilir.
4. (x – y) Hesabı
Öncelikle x – y’yi bulalım.
x – y = (3 – √11) – (3 + √11)
Bu ifadeyi düzenleyelim:
- Parantezleri açarsak: (3 – √11) – (3 + √11) = 3 – √11 – 3 – √11
- Sabit terimler (3 ve –3) birbirini götürür: 3 – 3 = 0
- Geriye kalan: – √11 – √11 = –2√11
Dolayısıyla:
(x – y) = –2√11
5. (x – y)² Hesabı
Yeni bulduğumuz (x – y) = –2√11. Şimdi bunun karesini alabiliriz:
(x – y)² = ( –2√11 )²
Kare alma işlemi şu şekilde olur:
( –2√11 )² = (–2)² × (√11)²
Burada:
- (–2)² = 4
- (√11)² = 11
O hâlde:
(x – y)² = 4 × 11 = 44
6. xy Çarpımı
Sırada x × y var. x ve y’yi çarpalım:
x × y = (3 – √11)(3 + √11)
Bu tip ifadelerde (a – b)(a + b) = a² – b² kuralını uygularsak işlem çok hızlanır. Burada a = 3, b = √11 şeklinde düşünürsek, sonuç:
a² – b² = 3² – (√11)²
- 3² = 9
- (√11)² = 11
Dolayısıyla:
xy = 9 – 11 = –2
7. 4xy İfadesinin Bulunması
Elimizde xy = –2 var. Bize 4xy de lazım. O hâlde:
4xy = 4 × (–2) = –8
8. (x – y)² + 4xy İfadesinin Birleştirilmesi
Artık iki önemli bileşeni de bulduğumuza göre, (x – y)² + 4xy ifadesini hesaplayabiliriz:
- (x – y)² = 44
- 4xy = –8
Toplayalım:
44 + (–8) = 44 – 8 = 36
Dolayısıyla sorunun cevabı 36 olarak bulunur.
Soruda genellikle dört şık verilmiş olabilir:
A) –8
B) –2
C) 6
D) 36
Bulduğumuz sonuç D seçeneği olan 36dır.
9. Detaylı Adım Adım Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda her adımı özet şeklinde, işlem basamaklarıyla birlikte görmeniz mümkündür:
| Adım No | İşlem Açıklaması | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | x ve y tanımlandı | x = 3 – √11, y = 3 + √11 | - |
| 2 | (x – y) ifadesi belirlendi | (3 – √11) – (3 + √11) | –2√11 |
| 3 | (x – y)² hesabı | (–2√11)² = 4 × 11 | 44 |
| 4 | x × y çarpımı | (3 – √11)(3 + √11) = 9 – 11 | –2 |
| 5 | 4xy ifadesi | 4 × (–2) | –8 |
| 6 | (x – y)² + 4xy’nin toplanması | 44 + (–8) | 36 |
| 7 | Sonuç | - | 36 |
10. Konuya İlişkin Önemli Matematiksel Bilgiler
Bu soru kapsamında kullanılan birkaç matematiksel kuralı daha detaylı hatırlamakta fayda var:
- Kökleri Sadeleştirme: Köklü ifadelerde çarpma, (a + √b)(a – √b) = a² – b şeklinde yapılır.
- İki Terimli İfadelerin Kareleri
- (x + y)² = x² + 2xy + y²
- (x – y)² = x² – 2xy + y²
Biz bu soruda genellikle ilk önce (x – y) kendisi bulunup, ardından karesi alındı. Ama bu açılım yoluyla da çözebilirdik:
(x – y)² = x² – 2xy + y²
Burada x², y² ve –2xy’yi hesaplamak da benzer sonuç verecektir.
- Simetrik İfadelerde Çarpma/Teknikleri: 3 – √11 ile 3 + √11 gibi, sabit terim aynı büyüklükte, kökler ise sadece işaret farkıyla yer alıyorsa, bu daima a² – b² yapısına indirgenebilir. Dolayısıyla işlem pratikleşir.
- Negatif Sonuçlara Dikkat: Özellikle xy = –2 çıktı. Bu, kare açılımları veya başka bir değeri hesaplarken işaret hatası yapmamamız gerektiğini gösterir.
11. Ek Örnekler ve Benzer Sorular
Örnek 1
a = 5 – √2 ve b = 5 + √2 olsun. (a + b)² – 2ab nedir?
- a + b = (5 – √2) + (5 + √2) = 10
- ab = (5 – √2)(5 + √2) = 25 – 2 = 23
- (a + b)² = 10² = 100
- 2ab = 2 × 23 = 46
- Sonuç: 100 – 46 = 54
Örnek 2
p = 4 – √3, q = 4 + √3 için p + q ve pq değerlerini hesaplayın.
- p + q = 8
- pq = (4 – √3)(4 + √3) = 16 – 3 = 13
Bu iki örnek, simetrik biçimde verilen köklü ifadelerin toplamı (genellikle kök kısımları birbirini götürür) ve çarpımının (a² – b² formülü) nasıl alındığını göstermek açısından oldukça benzerlik göstermektedir.
12. Sık Yapılan Hatalar ve Bunlardan Kaçınma Yöntemleri
-
İşaret Hatası
x – y = (3 – √11) – (3 + √11) işleminde “–3 + √11” diye yanlış yazmak, sonuçları tamamen değiştirebilir. Daima parantez içlerine dikkat etmek gerekir. -
Karesini Almadan Kalmış İfadeler
(x – y)² gibi bir kare, sadece değerlerin kareleri değil, aynı zamanda sınırda sabit terimleri de içerebilir. Direkt (–2√11)² ifadesine gittiğimizde hatasız biçimde 44 bulmalıyız. -
Çarpma Kimliğini Yanlış Uygulamak
(a + b)(a – b) = a² – b² olduğunu unutarak a² + b² gibi hatalı sonuçlar elde edilebilir. Bu, özellikle 9 – 11’dir, 9 + 11 değildir. -
Dağılma İşlemini Karıştırma
(3 – √11)(3 + √11) hesaplanırken 3×3 + 3×√11 – … gibi tüm terimlerin tek tek çarpılıp düzenlenmesi gerekir veya daha pratik olarak a² – b² kimliği hatırlanmalıdır.
Bu hataların çoğunu, tanımlı kimlikleri ve kuralları ezberleyerek ve bolca pratik yaparak aşabilirsiniz.
13. Sonuç ve Özet
Elimizde x = (3 – √11) ve y = (3 + √11) olduğu durumda, (x – y)² + 4xy ifadesi:
- (x – y):
–2√11 - (x – y)²:
44 - xy:
–2 - 4xy:
–8
Son olarak:
(x – y)² + 4xy = 44 + (–8) = 36
Bu kapsamlı çözüm ve detaylarla birlikte, köklü sayılarla işlem yaparken nasıl bir yol izlenmesi gerektiğini gördük. Sorunun bize sunduğu işaret farkına sahip iki simetrik ifade (3 – √11 ve 3 + √11), nokta atışı bir şekilde klasik “a² – b²” özdeşliğine dayanır ve işlemi kısaltır.
Sonucun 36 olması, çoğu benzer köklü-sayı problemindeki gibi “görece sade ve tam sayı” cevabı elde etmemize de örnek oldu. Özellikle (x – y)², (x + y)², x² + y², xy gibi ifadelere dayanan sorular, köklerin akıllıca yerleştirilmesi sayesinde beklenenden daha basit sonuçlar doğurur.
14. Kısa Özet Tablosu
Aşağıda kısa bir özet tablosu görebilirsiniz:
| İfade | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| x | 3 – √11 | Real sayı, köklü ifade |
| y | 3 + √11 | Real sayı, köklü ifade |
| x – y | –2√11 | (x – y) = (3 – √11) – (3 + √11) |
| (x – y)² | 44 | (–2√11)² = 4×11 |
| xy | –2 | (3 – √11)(3 + √11) = 9 – 11 |
| 4xy | –8 | 4 × (–2) |
| (x – y)² + 4xy | 36 | 44 + (–8) = 36 |
15. Kaynaklar
- Temel Matematik Ders Kitapları: Ortaöğretim Matematik müfredatında, 9. veya 10. sınıf düzeyinde “Köklü İfadeler” ve “Çarpım-Teknikleri” bölümlerinde bu tür sorular sıklıkla yer alır.
- Açık Ders Kaynakları: Khan Academy, OpenStax vb. platformlarda “Kareköklü Sayılar” ve “İkinci Dereceden Denklemler” konularına dair ek örnekler mevcuttur.
- Üniversite Hazırlık Yayınları: TYT-AYT Matematik konu anlatımı ve soru bankaları da hem basit hem de ileri seviye örnekler sunar.
- Özel Ders veya Online Kurslar: Köklü sayılarla ilgili, özellikle farklı tipte çıkarma, toplama, çarpma örnekleri üzerinden pratik yapmak bu konuyu kalıcı hale getirir.
Uzun Anlatımın Özetleyici Sonucu
Bu problem, köklü ifadelerde en yaygın yöntem olan (a – b)(a + b) = a² – b² kimliğinin çok hızlı sonuç vermesine güzel bir örnektir. x ve y, kökler açısından yalnızca işaret farkıyla ayrıldığı için, xy çarptığımızda görece basit bir değere, –2 gibi bir sonuca ulaşıyoruz. (x – y) ifadesi de kökleri toplayarak –2√11 biçiminde sade bir hal alıyor. Sonra bu değeri kareye çıkardığımızda karşımıza 44 çıkıyor. Son olarak 4xy de –8 olarak eklenince, 44 – 8 = 36 elde ediliyor.
Bu tür klasik köklü ifade problemi, hem sınavlarda sıkça rastlanılan hem de temel cebir pratikleri içinde önemli bir yer tutan konulardandır. Sizin de adım adım giderek, işaretleri doğru takip ederek, parantez kullanımına dikkat ederek ve özdeşlikleri doğru uygulayarak soruya rahatça hâkim olabileceğinizi umuyoruz.
Cevap: 36