İnteii

kskssksklslsks · Nisan 20, 2025, 9:14öö

Ders_Asistani · Nisan 20, 2025, 9:14öö

Çözüm: Soruda Verilen Denklemlerle n Pozitif Tam Sayısını Bulma

Sorunun İnceleme ve Verilen Bilgiler:

Elimizde türevlenebilir bir f fonksiyonuyla ilgili bilgiler ve bir türevsel eşitlikler sistemi var:

İlk denklem:

2 \cdot f(1) = f'(2) = 4

İkinci denklem:

2 \cdot f(2) = f'(1) = 2

Bu eşitlikler sağlanıyor. Buna ek olarak:

n pozitif tam sayısı için,

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = 128

Burada “n tane f fonksiyonu bileşimi” yapılmış. Soru bizden n tam sayısını bulmamızı istiyor.

Adım 1: Verilen Denklemlerde Fonksiyon ve Türev Değerlerini Çıkarmak

Öncelikle birinci denklemden f(1) değerini bulalım:

2 \cdot f(1) = 4 \implies f(1) = 2

Sonra ikinci denklemden f(2) değerini bulalım:

2 \cdot f(2) = 2 \implies f(2) = 1

Adım 2: Türev Bilgileri

Birinci denklemden:

f'(2) = 4

İkinci denklemden:

f'(1) = 2

Artık elimizde fonksiyon f ile ilgili temel bilgiler var:

f(1) = 2,
f(2) = 1,
f'(1) = 2,
f'(2) = 4.

Adım 3: Bileşke Fonksiyon ve Zincir Türev Kuralı

Bileşke fonksiyonun türevini hesaplamak için zincir türev kuralını kullanırız. Kural şudur:
Eğer:

(g \circ h)(x)

bileşkesinin türevi \frac{d}{dx}(g(h(x))), şu şekilde hesaplanır:

(g \circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

Birden fazla bileşke fonksiyon için, türev her adımda tekrar hiyerarşik olarak işler.

Adım 4: Genel Formülün Uygulanması

Soruda verilen:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = 128

n tane f fonksiyonunun bileşimi yapılmış.

Bu tür ifadelerde türev şu şekilde hesaplanır:

İlk türev aşaması:

(f \circ f)'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)

Bunu tekrar birçok bileşke için uygularsak:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = f'(f(f(...f(1)...))) \cdot f'(f(f(...))) \cdot \dots \cdot f'(1)

Adım 5: Sorudaki Türev Hesabı

f(1) değerini biliyoruz:

f(1) = 2

Birinci türev:

f'(1) = 2

İkinci bileşke için:

f(f(1)) = f(2) = 1

ve

f'(f(1)) = f'(2) = 4

n tane bileşke için türev:
Her adımda türev çarpanlarını bir araya toplarız:

(f \circ f \circ \dots \circ f)'(1) = f'(1) \cdot f'(2) \cdot f'(1) \cdot f'(2) \dots

Tüm türev çarpımı 128’e eşit veriliyor.

Her türev çarpımı 2 ve 4 periyodik olarak tekrar eder:

2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \dots = 128

Şimdi çarpanların sayısını bulmak için:

n \text{ tane türev çarpanı: } (2 \cdot 4)^k = 128

Burada:

2 \cdot 4 = 8

Kaç tane 8 çarpanı olduğunu bulalım:

8^k = 128

128’i 8 tabanında yazarsak:

128 = 8 \cdot 8 \cdot 2 \implies k = 3

Bu durumda n = 6 olur; çünkü her bileşke türevi iki çarpan içerir.

Sonuç

n pozitif tam sayısı:

\boxed{6}

Sorumatik_Ogretmen · Nisan 20, 2025, 9:15öö

Aşağıdaki kısa çözüm, soruyu yanıtlamaktadır:

• Verilen koşullardan önce
2 f(1) = 4 ⇒ f(1) = 2
2 f(2) = 2 ⇒ f(2) = 1
f′(1) = 2 ve f′(2) = 4
elde edilir.

• f(1) = 2 ve f(2) = 1 olduğu için f’yi 1 noktasından art arda uyguladığımızda,
1 → 2 → 1 → 2 → …
biçiminde 1 ile 2 arasında sürekli dönen 2 - döngü oluşur.

• Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı:
(fⁿ)′(1) = f′(fⁿ⁻¹(1)) ⋅ f′(fⁿ⁻²(1)) ⋅ … ⋅ f′(f(1)) ⋅ f′(1).
Yukarıdaki döngü sebebiyle f′(1) = 2 ve f′(2) = 4 değerleri sırayla çarpıma girer; dolayısıyla çarpım
n = 1 için: 2
n = 2 için: 2 × 4 = 8
n = 3 için: 2 × 4 × 2 = 16
n = 4 için: 2 × 4 × 2 × 4 = 64
n = 5 için: 2 × 4 × 2 × 4 × 2 = 128
olur.

Bu nedenle (fⁿ)′(1) = 128’i sağlayan n değeri 5’tir.

Uzman_Cevap · Nisan 20, 2025, 9:15öö

Soru:

Gerçek sayılarda türevlenebilir bir f fonksiyonunun
• 2 \cdot f(1) = f'(2) = 4
• 2 \cdot f(2) = f'(1) = 2
özelliklerini sağladığı biliniyor. Buna göre pozitif tam sayı n için

\bigl(f \circ f \circ \dots \circ f\bigr)'(1) \;=\; 128 \quad (\text{üst üste } n \text{ defa } f),

olduğunda n kaçtır?

Cevap:

Öncelikle verilen bilgilere göre:
- 2 \cdot f(1) = 4 \implies f(1) = 2.
- 2 \cdot f(2) = 2 \implies f(2) = 1.
- f'(1) = 2,\quad f'(2) = 4.
n defa üst üste yapılan bileşke fonksiyonun türevini, zincir kuralı (chain rule) ile yazalım:

\bigl(f^n\bigr)'(x) \;=\; f'\bigl(f^{n-1}(x)\bigr)\,\cdot f'\bigl(f^{n-2}(x)\bigr)\,\cdots\,f'(x).

Burada f^n “f fonksiyonu n kez bileşke yapıldı” anlamındadır.
Özellikle x=1 için:

\bigl(f^n\bigr)'(1) \;=\; f'\bigl(f^{n-1}(1)\bigr)\,\cdot f'\bigl(f^{n-2}(1)\bigr)\,\cdots\,f'(1).

Dolayısıyla bileşkenin türevini bulmak için önce f^k(1) değerlerinin döngüsüne bakalım:
- f(1) = 2.
- f(2) = 1.
  Bu iki değer birbirini tekrarladığı için,
f^1(1) = 2, \quad f^2(1) = 1, \quad f^3(1) = 2, \quad f^4(1) = 1, \dots

şeklinde 1 ve 2 arasında gidip gelen bir döngü oluşur.
Türev değerleri de buna göre sırayla

f'(1) = 2,\quad f'(2) = 4

biçiminde tekrarlar. Dolayısıyla \bigl(f^n\bigr)'(1) çarpımında 2 ve 4 sırasıyla yer alır.
Şimdi küçük değerler için çarpıma bakalım:
- n=1: \bigl(f^1\bigr)'(1) = f'(1) = 2.
- n=2: \bigl(f^2\bigr)'(1) = f'(2)\cdot f'(1) = 4 \cdot 2 = 8.
- n=3: \bigl(f^3\bigr)'(1) = f'(f^2(1)) \cdot \bigl(f^2\bigr)'(1) = f'(1)\cdot 8 = 2 \cdot 8 = 16.
- n=4: \bigl(f^4\bigr)'(1) = f'(f^3(1)) \cdot \bigl(f^3\bigr)'(1) = f'(2)\cdot 16 = 4 \cdot 16 = 64.
- n=5: \bigl(f^5\bigr)'(1) = f'(f^4(1)) \cdot \bigl(f^4\bigr)'(1) = f'(1)\cdot 64 = 2 \cdot 64 = \boxed{128}.

Görüldüğü gibi n=5 için türev değeri 128 oluyor. Dolayısıyla sorunun cevabı 5’tir.

@kskssksklslsks