Sorunun Çözümü ve Açıklaması:
Sorunun Detayları:
Soruda ab ve cd iki basamaklı doğal sayılar olarak verilmiş. a, b, c, d birer ondalık rakam (0-9 arasında değer alabilir). Toplamları olan ab + cd ifadesinin tek doğal sayı olduğu belirtiliyor.
İncelenmesi istenen ifadeler:
- I) 3 \cdot (a,b) + cd
- II) 5 \cdot (c,d) + ab
- III) 2 \cdot (a,b) + (c,d)
Çözüm Yolu:
Tek Sayı Kavramı:
- Bir sayının tek doğal sayı olabilmesi için sayının son basamağının (birler basamağı) tek bir sayı (1, 3, 5, 7 veya 9) olması gerekir.
1. İfade (I)
3 \cdot (ab) ifadesi üçle çarpılır.
- Çarpılan bir sayı tek olabilir ya da çift olabilir. Tekliği değerlendirmek için işlem yapılması gerekir.
Ancak şunu not alıyoruz: Eğer ab bir çift sayıysa, bu ifade hiçbir zaman tek olamaz. Eğer ab bir tek sayıysa, sonucun tekliği ihtimal dahilinde olacaktır.
2. İfade (II)
5 \cdot (cd) sonucunda elde edilen değer her zaman tek olacaktır çünkü çift bir sayı ile çarpılan 5, sonuçta yine tek bir değer üretilir.
Buradan, toplamı tek elde etmemize olanak sağlar; ab’nin durumu önemlidir.
3. İfade (III)
2 \cdot (ab) çift bir sayıdır (her zaman). Buna cd eklendiği zaman toplam ancak cd’nin tek olması durumunda tek olur. Eğer cd çift ise, sonuç her zaman çift olacaktır.
Sonuç ve Şıkların Değerlendirilmesi:
- I) Tek olabilir.
- II) Kesinlikle tek olabilir.
- III) CD’nin durumu önemlidir; tek olabilir.
Doğru Cevap:
E) I, II ve III
**ab ve cd iki basamaklı doğal sayılar; a, b ve c, d ondalık sayılar olmak üzere, ab + cd toplamının tek doğal sayı olduğu biliniyor. Buna göre,
I. 3·(a,b) + cd
II. 5·(c,d) + ab
III. 2·(a,b) + (c,d)
işlemlerinden hangileri bir doğal sayı olabilir?**
Cevap: E) I, II ve III
Açıklama:
• “(a,b)” ve “(c,d)” ifadesi, genellikle “a ile b’nin (ya da c ile d’nin) en büyük ortak böleni (EBOB)” yani gcd(a,b)/gcd(c,d) şeklinde yorumlanır. a, b, c, d ∈ {0,1,2,…,9} ve ab, cd iki basamaklı oldukları için a ile c 0’dan farklıdır.
• ab + cd toplamının tek sayı olması (birinin çift, ötekinin tek olması) işlemlerin “doğal sayı (pozitif tam sayı)” olmasına engel değildir. Çünkü:
– 3·(a,b) ifadesi (a,b) ≥ 1 olduğundan pozitiftir; cd de 10 ile 99 arasında pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla 3·(a,b) + cd kolaylıkla pozitif bir tam sayı olabilir.
– 5·(c,d) ifadesi de (c,d) ≥ 1 olduğundan mutlaka pozitiftir; ab de 10 ile 99 arasında pozitif olduğundan 5·(c,d) + ab yine doğal sayı olabilir.
– 2·(a,b) + (c,d) de her ikisi de en az 1 olduğundan kesinlikle pozitif bir tam sayı olabilir.
Örnek olarak, ab = 12 (a=1, b=2) ve cd = 13 (c=1, d=3) seçildiğinde:
• ab + cd = 12 + 13 = 25 (tek).
• (a,b) = (1,2) = 1, (c,d) = (1,3) = 1.
Bu sayılarla:
- 3·(a,b) + cd = 3·1 + 13 = 16 → doğal sayı.
- 5·(c,d) + ab = 5·1 + 12 = 17 → doğal sayı.
- 2·(a,b) + (c,d) = 2·1 + 1 = 3 → doğal sayı.
Dolayısıyla I, II ve III’ün üçü de “doğal sayı” olabilir.
Soru 67’deki “(a,b)” ve “(c,d)” ifadeleri, matematikte yaygın olduğu üzere “a ile b’nin (ya da c ile d’nin) EBOB’u” (en büyük ortak böleni) anlamına gelmektedir. Dolayısıyla:
abvecdiki basamaklı sayılardır, yaniab=10a+bvecd=10c+d,- Toplamları
ab+cdtek sayı olduğuna göre, bu da son rakamlar toplamının (yanib + d) tek olması demektir.
İstenilen ifadeler ise şu şekildedir:
- 3·(a,b) + cd
- 5·(c,d) + ab
- 2·(a,b) + (c,d)
Bu ifadelerin herhangi birinin, uygun seçilen a,b,c,d değerleri altında tam ve üstelik tek sayı olup olamayacağına bakmak gerekir.
Aşağıdaki adımlarla inceleyelim:
İçindekiler
- Problemde Verilenler ve Amaç
- Temel Parite (Tek/Çift) İncelemesi
-
- I. 3·(a,b) + cd
- II. 5·(c,d) + ab
- III. 2·(a,b) + (c,d)
-
-
- Sonuç
1. Problemde Verilenler ve Amaç
- a,b ve c,d rakamları (0’dan 9’a kadar tam sayılar) olup
abvecdiki basamaklı olduğundan a,c ≠ 0; b,d ise 0’dan 9’a kadar olabilir. - ab + cd = (10a + b) + (10c + d) tek bir sayıdır ⇒ b + d tek.
- (a,b) ve (c,d) ise EBOB(a, b) ve EBOB(c, d) anlamındadır.
- Soru,
I. 3·(a,b) + cd
II. 5·(c,d) + ab
III. 2·(a,b) + (c,d)
işlemlerinden hangilerinin bir doğal (üstelik tek) sayı olabileceğini sorgulamaktadır.
2. Temel Parite (Tek/Çift) İncelemesi
Bir tam sayının tek olması için, 2’ye bölündüğünde kalan 1 olmalıdır. Buna göre:
- (a,b) = EBOB(a, b) bir tam sayıdır ve 1, 2, 3, … olabilir.
- (c,d) = EBOB(c, d) da aynı şekilde doğal bir bölendir.
- ab = 10a + b, cd = 10c + d.
- ab + cd tek ⇒ b + d tek. Bu bize b ve d’nin birinin çift, ötekinin tek olduğunu söyler (örneğin b=2, d=1 gibi).
3. İfadelerin İncelenmesi
I. 3·(a,b) + cd
- 3·(a,b) ifadesi 3’ün (a,b) ile çarpımıdır ve her koşulda tam sayıdır.
- cd zaten 10c + d şeklinde bir tam sayıdır.
- Dolayısıyla 3·(a,b) + cd her zaman bir bütündür.
- Parite (tek/çift) açısından, uygun a,b,c,d seçilerek bu ifadenin tek olmasını sağlamak da mümkündür. Örneğin (a,b)=1 ve cd tekse toplam tek olur vb.
II. 5·(c,d) + ab
- 5·(c,d) de yine tam sayı.
- ab iki basamaklı tam sayı (10a + b).
- Bunların toplamı da doğal olarak tam sayı.
- Tek/çift olma durumu yine (c,d)’nin uygun değeri (örneğin 1) ve ab’nin paritesi ayarlanarak tek yapılabilir.
III. 2·(a,b) + (c,d)
- 2·(a,b) + (c,d) de iki tam sayının toplamıdır.
- (a,b) = EBOB(a, b), (c,d)= EBOB(c,d) uygun rakamlarla 1 veya başka değerler olabilir. Hatta (a,b)=1 ⇒ 2×1=2, (c,d)=1 ise toplam 3 (tek) olur.
4. Örnek Seçimler ve İspat
Aşağıda her bir ifadenin gerçekten “doğal ve tek” olabileceğini gösteren örnekler verelim:
- I. 3·(a,b) + cd
- (a,b)=1 olsun (örnek: a=1, b=2 ⇒ EBOB(1,2)=1),
- cd= ve d’si tek seçecek şekilde (örneğin c=1,d=1 ⇒ cd=11).
- 3·(1) + 11 = 3 + 11 = 14 (bu haliyle çift). Ama c=2,d=3 ⇒ cd=23 (tek). 3·1+23=26 (yine çift). İstediğimiz tek sonuç için belki (a,b)=2 alalım (örneğin a=2,b=2 ⇒ EBOB(2,2)=2), cd=21 (tek). O zaman 3·2 + 21 = 6 + 21 = 27 (tek) → Oluyor!
- II. 5·(c,d) + ab
- (c,d)=1 seçelim (örnek: c=3,d=6 ⇒ EBOB(3,6)=3 değil 3 olur; tek yapalım: c=2,d=1 ⇒ EBOB(2,1)=1).
- O hâlde 5·1 = 5.
- ab tek seçilmeli, mesela ab= 13.
- 5 + 13 = 18 (çift). Tek elde etmek için, ab= 15 alalım. 5 + 15=20 (yine çift). ab= 11: 5 + 11=16 (çift).
- Biraz farklı (c,d) seçelim: c=3,d=9 ⇒ EBOB(3,9)=3 ⇒ 5·3=15. ab=12 (çift). 15+12=27 (tek) → Oldu!
- III. 2·(a,b) + (c,d)
- (a,b)=1, (c,d)=1 seçersek 2·1 + 1=3 (tek). Örneğin a=1,b=2⇒ EBOB(1,2)=1 ve c=3,d=5⇒ EBOB(3,5)=1.
- Bu durumda söz konusu ifade kesinlikle tek doğal sayı çıkabiliyor.
Bu örnekler, her bir ifadenin uygun rakamlarla tek ve doğal yapılabileceğini gösterir.
5. Tablo ile Özet
| İfade | Biçimi | Tam Sayı Olma Durumu | Tek Seçilme Olasılığı |
|---|---|---|---|
| I. 3·(a,b) + cd | 3×EBOB(a,b) + (10c + d) | Her zaman tam sayı | (a,b) ve (c,d) uygun seçilirse tek yapılır |
| II. 5·(c,d) + ab | 5×EBOB(c,d) + (10a + b) | Her zaman tam sayı | Yine rakamlar uygun seçilerek tek yapılabilir |
| III. 2·(a,b) + (c,d) | 2×EBOB(a,b) + EBOB(c,d) | Her zaman tam sayı | Kolaylıkla tek de olabilir |
6. Sonuç
Yukarıdaki inceleme ve örnekler, her üç ifadenin de (gerekli rakam seçimleriyle) doğal ve tek sayı olabileceğini açıkça göstermektedir. Dolayısıyla doğru cevap:
E) I, II ve III