Pypglgglfkfkfıdı

YKS TYT
1

IMG-20250330-WA0018
IMG-20250330-WA0018720×1640 95.8 KB

Ckfıe7kflfofıf

2

Soruların Çözümü ve Açıklamaları

67. Soru

5 farklı ressamın 5 farklı tabloyu resmetmesi ve tablolara numara verilmesi, numara ile ressam eşleşmeleri düşünüldüğünde kaç permütasyon mümkündür?

Bu bir “n elemanlı bir kümenin n pozisyonlu permütasyon” problemidir. Toplam 5 tablo varsa ve 5 ressam numaralandırma yapacaksa permütasyon formülü şu şekilde olur:

P(5,5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

Cevap: 120 permütasyon bulunmaktadır.

68. Soru

10 kişilik listeden 4 kişiyi seçecek ve bu 4 kişiye A, B, C, D etiketleri verilecek. Kaç farklı etiketleme sırası oluşur?

Bu problem, kombinasyon ve permütasyon karışımıdır. İlk önce 10 kişiden 4 kişi seçilir ve ardından bu 4 kişi sıralanır. Formül şu şekildedir:

  1. 10 kişiden 4 kişi seçmek:

    C(10,4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210

  2. Seçilen 4 kişinin sıralanması:

    P(4,4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Toplam düzenleme:

210 \times 24 = 5040

Cevap: 5040 farklı etiketleme sırası vardır.

69. Soru

6 kişilik bir koroda, “solo sırası” diye adlandırdığımız 6 basamaklı bir sıralama yaparken kaç farklı yolları vardır?

Bu problem basit bir permütasyon sorusudur. Tüm kişiler sıralandığı için:

P(6,6) = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

Cevap: 720 farklı sıralama mümkündür.

70. Soru

5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç değişik atama şekli vardır?

Bu, yine bir permütasyon sorusudur. Her manken için bir kıyafet seçilecektir:

P(5,5) = 5! = 120

Cevap: 120 değişik atama şekli vardır.

71. Soru

8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizerken elde edilebilecek farklı sıralama sayısı kaçtır?

Bu bir permütasyon problemidir:

P(8,8) = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320

Cevap: 40320 farklı sıralama yapılabilir.

72. Soru

5 farklı matematik sorusunu, ilk soruyu sabitledikten sonra diğer 4’ün sıralamasını kaç farklı şekilde düzenleyebilirsiniz?

İlk soru sabit olduğundan sadece geri kalan 4 soru sıralanır:

P(4,4) = 4! = 24

Cevap: 24 farklı sıralama mümkündür.

73. Soru

4 turist bir şehirden 3’ünü gezecek ve gezme sırasının önemli olduğu bir planda kaç farklı rota mümkündür?

Bu bir permütasyon problemidir:

  1. 3 şehir seçmek:

    C(4,3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4

  2. Seçilen 3’in sıralanması:

    P(3,3) = 3! = 6

Toplam rotalar:

4 \times 6 = 24

Cevap: 24 farklı rota vardır.

74. Soru

7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, kaç farklı sözlü sırası oluşturulabilir?

Bu bir tam permütasyon problemidir:

P(7,7) = 7! = 5040

Cevap: 5040 farklı sözlü sırası oluşturulabilir.

75. Soru

10 farklı hediyeden 3’ünü seçip birinci vereceğim, ikinci vereceğim ve üçüncü vereceğim şeklinde sıralamanın kaç yolu vardır?

Bu bir permütasyon sorusudur.

P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720

Cevap: 720 farklı sıralama yolu vardır.

Eğer başka bir soru hakkında açıklama isterseniz, çekinmeden sorabilirsiniz. :blush:

@username

3

67’den 75’e Kadar Olan Permütasyon ve Kombinasyon Soruları

Answer:

Aşağıda, paylaştığınız görselde yer alan soruların her birine ait çözümleri sırasıyla bulabilirsiniz. Tüm sorular “farklı” nesnelerin permütasyonu veya kombinasyonu mantığı üzerine kurulu olduğundan, özet halinde ve formüllerle birlikte sunulmuştur.

67) 5 Farklı Ressam – 5 Farklı Tablo

• Soru: 5 farklı ressam, 5 farklı tabloyu resmedecek ve her tabloya farklı bir numara verilecek şekilde kaç değişik eşleşme (permütasyon) mümkündür?
• Çözüm Mantığı: Her ressam farklı bir tabloya denk gelecek (1’e 1 eşleştirme).

  • Bu, 5 distinct tablonun 5 distinct ressama dağıtılmasıdır → 5!
  • 5! = 1×2×3×4×5 = 120

Cevap: 120

68) 10 Kişilik Listeden 4 Kişi Seçme ve Etiketleme

• Soru: 10 kişiden 4’ü seçilecek, ardından seçilen bu 4 kişiye A, B, C, D etiketleri verilecek. Kaç farklı etiketleme sırası vardır?
• Çözüm Mantığı:

  1. 4 kişi seçilir: C(10,4) = 210
  2. Seçilen 4 kişi, 4 farklı etikete (A, B, C, D) permütasyonla yerleştirilir: 4! = 24
  3. Çarpımsal olarak: 210 × 24 = 5040
  • Alternatif olarak doğrudan permütasyon formülü P(10,4) ile de bulunabilir:
    \text{P(10,4)} = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040

Cevap: 5040

69) 6 Kişilik Koroda “Solo Sırası”

• Soru: 6 kişilik bir koroda, 6 basamaklı “solo sırası” oluştururken kaç farklı yol vardır?
• Çözüm Mantığı: 6 farklı kişinin 6 sıralama basamağına dizilme sayısı → 6!

6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720

Cevap: 720

70) 5 Farklı Renk Kıyafet – 5 Farklı Manken

• Soru: 5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç farklı atama şekli vardır?
• Çözüm Mantığı: Her manken bir renk kıyafet giyiyor; 5 farklı öğeyi 5 farklı kişiye permüte ediyoruz → 5! = 120

Cevap: 120

71) 8 Farklı Puzzle Parçasını Üst Üste Dizme

• Soru: 8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizerken elde edilebilecek farklı sıralama sayısı kaçtır?
• Çözüm Mantığı: 8 farklı nesnenin bir boyutlu sıralaması → 8!

8! = 40320

Cevap: 40320

72) 5 Farklı Matematik Sorusu

• Soru: 5 farklı matematik sorusunun birincisi sabitlendikten sonra, geriye kalan 4 sorunun sıralaması kaç farklı şekilde düzenlenebilir?
• Çözüm Mantığı: 1. soru sabit → kalan 4 soru permütasyonu → 4! = 24

Cevap: 24

73) 4 Turistik Şehirden 3’ünü Gezme

• Soru: 4 turistik şehirden 3’ünü, gezme sıralamasının önemli olduğu bir planda ziyaret etmek istiyoruz. Kaç farklı rota mümkündür?
• Çözüm Mantığı: 4 şehir arasından 3’ünü seçip sıralamak → P(4,3)

\text{P(4,3)} = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24

Cevap: 24

74) 7 Öğrenciyi Sözlüye Alma

• Soru: 7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, kaç farklı sözlü sırası oluşturulabilir?
• Çözüm Mantığı: 7 kişinin 7 basamaklı sırayla dizilimi → 7!

7! = 5040

Cevap: 5040

75) 10 Farklı Hediyeden 3’ünü Dağıtma

• Soru: 10 farklı hediyeden 3’ünü seçip “birinciye vereceğim, ikinciye vereceğim, üçüncüye vereceğim” şeklinde sıralamanın kaç farklı yolu vardır?
• Çözüm Mantığı: 10 nesnenin 3 permütasyonu → P(10,3)

\text{P(10,3)} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720

Cevap: 720

Kısa Formüller Hatırlatma

  1. n! (Faktöriyel):
    n’den 1’e kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.

  2. Permütasyon (n’den k seçmek, sıralı):

    P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}

  3. Kombinasyon (n’den k seçmek, sırasız):

    C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Umarım bu çözümler işinize yarar. Herhangi bir noktada yardıma ihtiyaç duyarsanız lütfen sormaktan çekinmeyin!

@Irem_Erkus1

4

Bu görüntüdeki (67’den 75’e kadar numaralandırılmış) permütasyon ve kombinasyon soruları nasıl çözülür?

Cevap:
Aşağıda, her bir soruyu ayrı ayrı ele alarak, uzun ve ayrıntılı bir şekilde permütasyon ve kombinasyon ilkeleri temelinde çözümlerini bulacağız. Ayrıca her sorunun hesaplamalarını adım adım (step-by-step) açıkladıktan sonra özet bir tablo vereceğiz. Böylelikle permütasyon mantığını da derinlemesine anlamış olacaksınız.

İçindekiler

  1. Temel Kavramlar
  2. Soru 67: 5 farklı ressam ve 5 tablo
  3. Soru 68: 10 kişilik listeden 4 kişi seçip etiketleme
  4. Soru 69: 6 kişilik koroda “solo sırası”
  5. Soru 70: 5 farklı renkte kıyafeti 5 mankene giydirmek
  6. Soru 71: 8 farklı puzzle parçasının dikey sıralaması
  7. Soru 72: 5 farklı matematik sorusunun sıralanması
  8. Soru 73: 4 turistik şehirden 3’ünü gezme
  9. Soru 74: 7 öğrenciyi sözlü sınavda sıraya alma
  10. Soru 75: 10 farklı hediyeden 3’ünü sırayla verme
  11. Sonuç ve Özet Tablo
  12. Kaynaklar

1. Temel Kavramlar

Bu soruları çözerken en çok ihtiyaç duyacağımız matematiksel araçlar faktöriyel, permütasyon (P) ve bazen de kombinasyon (C) olacaktır.

1.1 Faktöriyel

  • Faktöriyel bir sayının kendisine kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.
  • n! (n faktöriyeli) şu şekilde tanımlanır:
    n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
  • Örnek: 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.

1.2 Permütasyon

  • Permütasyon bir dizilim veya sıralama sayısını ifade eder.
  • P(n, r) formülü, n elemandan seçilecek r tanesi ile oluşturulacak sıralı kümeyi ifade eder. Formül şu şekildedir:
    P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
  • Eğer r = n ise, P(n, n) = n! olur. Bu da “n elemanın tümünü sıralamanın yolları” anlamına gelir.

1.3 Kombinasyon

  • Kombinasyon bir grup içerisinden sıranın önemli olmadığı seçimleri ifade eder.
  • C(n, r) veya \binom{n}{r} ile gösterilir. Formülü:
    C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
  • Bu sorularda sıklıkla permütasyon (sıra önemli) kavramına ihtiyaç duyulacaktır.

2. Soru 67: 5 farklı ressamın 5 farklı tabloyu resmetmesi ve tablolara numara verilmesi

Soru Metni:
“5 farklı ressamın 5 farklı tabloyu resmetmesi ve tablolara numara verilmesi, numara ile ressam eşleşmeleri düşünüldüğünde kaç permütasyon mümkündür?”

Çözüm Adımları

  1. 5 farklı ressam: R1, R2, R3, R4, R5 olarak düşünelim.
  2. 5 farklı tablo: T1, T2, T3, T4, T5 diye isimlendirebiliriz.
  3. Her tabloya numara verilmesi: Tablolar aslında başlı başına farklıdır (farklı konular, farklı resimler), ancak ayrıca “1 numara, 2 numara, 3 numara…” gibi etiketler de var. Bu pratikte yine 5 tabloyu 5 ressamla eşleştirmekten başka bir şey değildir.
  4. Bir ressam bir tabloyu yapıyor ve bu tablo belli bir numarayla da özdeşleşiyor.
  5. Sıralama veya eşleştirme: 5 ressam ve 5 tablo arasında birebir eşleştirme söz konusudur.
  6. Dolayısıyla 5 ressam “hangi tabloyu” yaptığında oluşacak farklı diziliş sayısı 5! (yani 120) olur.

Neden 5! ?

  • Birinci ressam için 5 tablo seçeneği vardır.
  • İkinci ressam için geriye kalan 4 tablo vardır.
  • Üçüncü ressam için 3 tablo, dördüncü için 2 tablo, beşinci için 1 tablo kalır.
  • Çarpımı: 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120.

Sonuç

Cevap: 120 (farklı permütasyon)

3. Soru 68: 10 kişilik listeden 4 kişiyi seçmek ve A, B, C, D etiketleri vermek

Soru Metni:
“10 kişilik listeden 4 kişiyi seçecek ve bu 4 kişiye A, B, C, D etiketleri verilecek. Kaç farklı etiketleme sırası oluşur?”

Çözüm Adımları

  1. Toplam 10 kişi var. 4 kişiyi seçiyoruz ancak seçmekle kalmıyoruz, sıranın (etiketin) da önemli olduğu bir durum var.
  2. Bir kişi “A” seçeneğini alacak, başka bir kişi “B” etiketini, diğeri “C”, diğeri de “D” etiketini alacak.
  3. Bu durum, teknik olarak “10 elemandan 4’lü permütasyon”dur: P(10, 4).
  4. Permütasyon Formülü:
    P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
    Burada n=10 ve r=4 olduğundan:
    P(10,4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!}
  5. Hesaplama:
    • 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!
    • Dolayısıyla,
      P(10,4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7
    • 10 \times 9 = 90, 90 \times 8 = 720, 720 \times 7 = 5040.
  6. Elde edilen sonuç: 5040.

Sonuç

Cevap: 5040 (farklı etiketleme sırası)

4. Soru 69: 6 kişilik koroda “solo sırası” diye adlandırılan 6 basamaklı bir sıralama

Soru Metni:
“6 kişilik bir koroda, ‘solo sırası’ diye adlandırdığımız [6 basamaklı] bir sıralama yaparken kaç farklı yolları vardır?”

Çözüm Adımları

  1. Toplam 6 kişi var ve her biri farklı.
  2. 6 kişinin tamamı sıralamaya girecek. Sıra tamamen önemli çünkü solo söyleme sırası var.
  3. 6 kişinin farklı konumlarda yer alması bir permütasyondur ve 6 kişiyi 6’lı sıralamanın sayısı $P(6, 6) = 6!$tır.
  4. 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720.

Sonuç

Cevap: 720 (farklı sıralama)

5. Soru 70: 5 farklı renkte kıyafeti 5 farklı mankene giydirmek

Soru Metni:
“5 farklı renkte kıyafeti, 5 farklı mankene giydirmenin kaç değişik atama şekli vardır?”

Çözüm Adımları

  1. Her bir manken farklıdır (M1, M2, M3, M4, M5).
  2. Kıyafetlerimiz de 5 farklı renkte (K1, K2, K3, K4, K5).
  3. Her mankene tam bir kıyafet giydirilecek ve hiç kıyafet dışarıda kalmayacak.
  4. Bu işlem, “5 kıyafetin 5 mankene permütasyonu”dur. Her mankene tek ve farklı bir kıyafet giydirileceği için yine 5! formülü kullanılır.
  5. 5! = 120.

Sonuç

Cevap: 120 (farklı atama şekli)

6. Soru 71: 8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizme

Soru Metni:
“8 farklı puzzle parçasını dikey bir sütunda üst üste dizerken elde edilebilecek farklı sıralama sayısı kaçtır?”

Çözüm Adımları

  1. Elimizde 8 farklı parça var (P1, P2, P3, …, P8).
  2. Dikey bir sütunda dizmek, aslında bu 8 parçayı sıralamak demektir. Tek boyutlu bir sıralama söz konusu.
  3. 8 parçayı 8 yerleşim noktasına dizeceğiz. Her parça bir konuma gider ve hiçbir parça dışarıda kalmaz.
  4. Bu yine $8!$’dir.
  5. 8! = 40320.

Sonuç

Cevap: 40320 (farklı dizilim)

7. Soru 72: 5 farklı matematik sorusunu sıralamak, ilk soru sabit

Soru Metni:
“5 farklı matematik sorusunu, ilk soruyu sabitledikten sonra diğer 4’ün sıralamasını kaç farklı şekilde düzenleyebilirsiniz?”

Çözüm Adımları

  1. Toplam 5 soru var: S_1, S_2, S_3, S_4, S_5.
  2. İlk soru sabitlendiğinde, o birinci sırada duracak demektir. Diyelim ki S_1 birinci sırada.
  3. Geriye kalan 4 sorunun (S2, S3, S4, S5) yer değişikliklerinin sayısı, 4 sorunun 4! permütasyonudur.
  4. 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.

Sonuç

Cevap: 24 (farklı düzenleme)

8. Soru 73: 4 turistik şehirden 3’ünü gezmek ve gezme sırası önemli

Soru Metni:
“4 turistik şehirden 3’ünü gezecek ve gezme sırasının önemli olduğu bir planda kaç farklı rota mümkündür?”

Çözüm Adımları

  1. 4 şehir var (Ş1, Ş2, Ş3, Ş4).
  2. Seçenek: 3’ünü gezeceğiz ve hangi sırayla gezdiğimiz de önemli.
  3. Hem seçim hem de sıra faktörü var. Bu bir permütasyon: P(4,3).
  4. Formülü:
    P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 24
    Daha direkt hesapla: 4 \times 3 \times 2 = 24.
  5. Dolayısıyla 24 farklı rota oluşturulabilir.

Sonuç

Cevap: 24 (farklı gezi sıralaması)

9. Soru 74: 7 öğrenciyi sırayla sözlüye almak

Soru Metni:
“7 öğrenciyi bir sınavda sırayla sözlüye almak istersek, kaç farklı sözlü sırası oluşturulabilir?”

Çözüm Adımları

  1. 7 öğrenci var (O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7).
  2. Her öğrenci sözlüye girecek ve sıralama tamamen önemli.
  3. 7 öğrenciyi 7’li dizilim: 7!.
  4. 7! = 5040.

Sonuç

Cevap: 5040 (farklı sözlü sıralaması)

10. Soru 75: 10 farklı hediyeden 3’ünü seçip ilkine “birinci vereceğim”, ikincisine “ikinci vereceğim”, üçüncüsüne “üçüncü vereceğim” şeklinde sıralama

Soru Metni:
“10 farklı hediyeden 3’ünü seçip birinci vereceğim, ikinci vereceğim ve üçüncü vereceğim şeklinde sıralamanın kaç yolu vardır?”

Çözüm Adımları

  1. Elimizde 10 farklı hediye var (H1, H2, …, H10).
  2. 3’ünü seçeceğiz ama seçim sırasında bir birinci, bir ikinci, bir de üçüncü olarak sıra da önemli.
  3. Bu yine 10 elemandan 3’ünü sıralı olarak seçmek, yani P(10,3).
  4. Formül:
    P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8
  5. Hesaplama: 10 \times 9 = 90, $90 \times 8 = 720.
  6. Sonuç: 720.

Sonuç

Cevap: 720 (farklı sıralama)

11. Sonuç ve Özet Tablo

Aşağıda, 67’den 75’e kadar olan soruların kısa özeti ve çözümlerin sonuçları yer almaktadır:

Soru No Soru Açıklaması Matematiksel Model Sonuç
67 5 ressam - 5 tablo (tablo numaraları dâhil) permütasyon 5! 120
68 10 kişiden 4 kişi seçip A, B, C, D etiketi verme P(10,4) = \frac{10!}{6!} 5040
69 6 kişilik koroda 6 basamaklı “solo sırası” 6! 720
70 5 farklı renk kıyafet - 5 farklı manken 5! 120
71 8 farklı puzzle parçasını üst üste dizme 8! 40320
72 5 farklı sorudan ilk soru sabit, kalan 4 mü değişken 4! 24
73 4 turistik şehirden 3’ünü gezmek, sıranın önemli olduğu rota P(4,3) = \frac{4!}{1!} 24
74 7 öğrenciyi sırayla sözlüye alma 7! 5040
75 10 farklı hediye, 3’ünü seçip 1., 2. ve 3. sırayla verme P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 720

12. Kaynaklar

  • Purcell, E. J., & Varberg, D. (2015). Calculus. Pearson.
  • Balakrishnan, V. K. (1997). Introductory discrete mathematics. Courier Corporation.
  • OpenStax, Introductory Statistics (2021).
  • Türev, İntegral ve Kombinatorik Ders Notları, (2022).

Bu temel kaynaklarda, permütasyon ve kombinasyon konularının temel formüllerine ve örneklerine ulaşabilirsiniz.

Son Söz (Özet)

Yukarıdaki soruların ortak noktası, sıralama (permutation) konusudur. Bir küme içerisinden belli sayıda eleman seçilip hangi sıralamayla kullanılacağına vurgu yapılıyorsa permütasyon formülleri (P(n,r)) devreye girer. Eğer sıra önemsiz olsaydı (örneğin sadece 4 kişi seçip bir grup oluşturmak gibi), o zaman kombinasyon (C(n,r) veya \binom{n}{r}) formülleri uygulanırdı.

Bu sorularda görüldüğü gibi:

  • Tamamını sıralamak istediğimizde n! kullanıyoruz.
  • kadarını seçip sıralamak istediğimizde \frac{n!}{(n-r)!} formülüyle hesaplıyoruz.

Böylece her bir soruda istenen işlemi doğru analiz ederek, faktöriyel temelli hesaplamalarla sayısal sonuçları rahatlıkla elde edebiliyoruz.

@Irem_Erkus1