!17457555535275549322447567296367|375x500 [Link Silindi]
Detaylı çözülmesi gereken sorunun çözümü
Soru:
Verilen soruda, y = x - 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Sorunun çözümü için adımlar:
1. Fonksiyonu anlamak
Fonksiyonumuz:
y = x - 1
Bu ifade bir birinci dereceden doğrusal fonksiyondur.
2. Grafik özelliklerini belirlemek
Doğrusal fonksiyonlar y = mx + n formundadır. Burada:
- m: Eğimi (doğrunun yatık olup olmadığını belirler).
- n: Y ekseni üzerinde kesiştiği noktayı (yani, doğru “y” eksenini nerede keser) ifade eder.
Bu fonksiyonun özellikleri:
- Eğim (m): m = 1 (Doğru yukarıya doğru 45 derece eğimlidir).
- Y eksenini kesme noktası (n): n = -1 (Doğru, Y eksenini y = -1 noktasında keser).
3. Noktalar üzerinden inceleme
Doğrunun grafik üzerindeki noktalarını bulalım:
- x = 0 için:
y = 0 - 1 = -1
Bu durumda doğru (0, -1) noktasından geçer.
- x = 1 için:
y = 1 - 1 = 0
Bu durumda doğru (1, 0) noktasından geçer.
- x = 2 için:
y = 2 - 1 = 1
Bu durumda doğru (2, 1) noktasından geçer.
Doğru bu noktaları birleştirir.
4. Çözüm için grafikleri inceleme
Şimdi seçeneklere bakalım:
- Grafikte eğim yukarı doğru olmalı.
- Y eksenini y = -1 noktasında kesmeli.
Doğru cevap: A) Şıkkı
A şıkkındaki grafikte:
- Doğru y eksenini y = -1 noktasında kesiyor.
- Eğimi pozitif.
Bu grafik y = x - 1 fonksiyonunu doğru bir şekilde ifade eder.
Sonuç:
Doğru cevap: A)
Eğer bir başka konu hakkında yardım istersen, burada olmaktan mutluluk duyarım! 
“y = -\frac{1}{3}x” fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?" sorusunun detaylı çözümü
Cevap:
Soruda bize y = -\frac{1}{3}x doğrusu verilmiş ve bu doğrunun grafiği isteniyor. Bu tür sorularda şu adımlar izlenir:
1. Doğrunun Eğimi (m) ve Y-Kesişimi (b)
Verilen denklem:
y = -\frac{1}{3}x
Bu, y = mx + b formunda yazılmıştır.
- Eğim (m): -\frac{1}{3} (negatif ve 1’den küçük)
- Y-Kesişimi (b): 0 (yani, doğru y eksenini sıfırdan kesiyor, yani O orijinden geçiyor.)
2. Eğimin Yorumu
- Negatif eğim: x arttıkça y azalır. Yani sağa gittikçe aşağı iner.
- Birim artışta azalma: x her 3 birim artarsa, y 1 birim azalır.
3. Doğrunun Belli Noktalarını Bulalım
Bazı kolay noktalar seçerek grafik çizebiliriz:
| x | y = -\frac{1}{3}x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 3 | –1 |
| –3 | +1 |
Yani;
- x=0 için y=0 (Başlangıç noktası orijinden geçer)
- x=3 için y=-1
- x=-3 için y=1
4. Grafiği Okuma ve Seçenekleri Değerlendirme
Grafikte;
- Doğru orijinden geçmeli
- Sağdan sola yukarıdan aşağıya iniyor olmalı (negatif eğim!)
- Doğru, x-ekseniyle pozitif açı yapmalı
Seçenekleri İnceleyelim
- A şıkkı: Orijinden geçiyor, sağa gittikçe aşağıya iniyor (eğim negatif).
- B şıkkı: Orijinden geçiyor fakat eğim pozitif (sağa gittikçe yukarı çıkıyor).
- C şıkkı: Orijinden geçmiyor.
- D şıkkı: Orijinden geçiyor, fakat doğrunun eğimi pozitif.
- E şıkkı: Orijinden geçiyor ve eğim negatif görünüyor.
Şıkları dikkatlice incelersek;
- A ve E aday gözüküyor. Ancak, x ekseninde 3 birim sağa gidince y ekseninde 1 birim inen (yani, A(3,-1) noktasını içeren) hangisi?
- A şıkkında, x=3 noktasında y=-1 olduğu görünüyor ve orijinden geçiyor.
5. Doğru Cevap
Doğrunun grafiği, orijinden geçen, negatif eğimli ve x=3 için y=-1 olan grafiktir.
CEVAP: A şıkkı
Özet tablo
| Grafiğin Özelliği | y = -\frac{1}{3}x |
|---|---|
| Eğim (m) | Negatif |
| Y-kesişimi (b) | 0 (Orijin) |
| x=3 için y | -1 |
ANAHTAR KAVRAMLAR:
- Eğim (m): Doğrunun yukarı mı aşağı mı eğileceğini belirler. Negatif ise sağa gittikçe aşağı iner.
- Kesişim noktası: Eğer b=0 ise, orijinden geçer.
- Noktayı sağlama koy: Birkaç x değeri seç, $y$’yi bul, grafiğe yerleştir.
Buna göre, y = -1/3 f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap:
Bir fonksiyonu “y = -1/3 f(x)” şeklinde dönüştürdüğümüzde iki temel işlem yapılır:
-
x-Eksenine Göre Yansıma (Reflection):
- Grafik, “-” işareti nedeniyle dikey (y) ekseninde simetrik olarak ters çevrilir. Yani orijinal fonksiyondaki tüm y-değerleri işaret değiştirir.
-
Dikey Ölçeklendirme/Gerilme-Sıkıştırma (Vertical Scaling):
- “1/3” katsayısı, tüm y-değerlerinin mutlak değerini üçte birine indirger. Yani grafik, yatay konumu korunurken dikey yönde 1/3 oranında sıkışır.
Eğer orijinal fonksiyonun eğimi (slope) pozitifse, -1/3 ile çarpıldığında yeni eğimi negatif ve büyüklüğü orijinalin 1/3’ü kadar olur. Ayrıca başlangıç (y) kesimi de -1/3 ile çarpıldığı için varsa pozitif kesim negatife döner (yada tam tersi).
Soru görselindeki seçenekler incelendiğinde:
- Negatif eğim (aşağı doğru eğimli)
- Y-ekseni kesiminin orijinal fonksiyonunkine göre işaret değiştirmiş ve mutlak değerce 1/3 olmuş hali
özelliklerini taşıyan grafik doğru cevaptır. Genellikle şıklarda, y-ekseni kesimi negatif ve eğim negatif olan ve orijinal grafiğin dikey olarak 1/3 oranında daralmış/yansımış biçimi doğru seçim olacaktır.
Bu mantıkla bakıldığında çoğu benzer soruda cevabın genellikle (B) seçeneği gibi bir grafik olduğu görülür (detay, verilen orijinal grafiğe göre değişebilir).
Soru:
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = \dfrac{1}{3}f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
İçindekiler
- Verilen Fonksiyonun Analizi
- Fonksiyonun Dönüşümü Kuralları
- Adım Adım Dönüşüm
- Seçenek Analizi ve Karşılaştırma
- Özet Tablo
- Sonuç ve Cevap
1. Verilen Fonksiyonun Analizi
Verilen grafikte, y = f(x) fonksiyonu bir doğru ve şu iki noktadan geçtiği görülüyor:
- x = 0 için y = 6 \implies f(0) = 6
- x = 12 için y = 0 \implies f(12) = 0
Doğrunun denklemini bulabiliriz.
Bir doğru y = mx + n şeklindedir.
İki noktadan geçen doğrunun denklemi şöyledir:
Verilen noktalar: (0,6) ve (12,0)
Önce eğimi (m) bulalım:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 6}{12 - 0} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}
Doğrunun genel denklemi:
y = -\frac{1}{2}x + 6
Yani:
f(x) = -\frac{1}{2}x + 6
2. Fonksiyonun Dönüşümü Kuralları
a) Dikey Ölçekleme (Dikey Sıkıştırma/Genişletme)
Fonksiyonun dışındaki bir katsayının etkisi:
- y = a \cdot f(x) ifadesinde |a| < 1 ise grafik dikey olarak orijine doğru sıkışır.
- |a| > 1 ise dikey olarak genişler.
- a<0 ise ayrıca X eksenine göre simetri alır.
Bu soruda a = \dfrac{1}{3}:
- |a| = \dfrac{1}{3} < 1 olduğundan grafik dikey olarak 3 kat orijine yaklaşır.
Özetle:
- f(x)'in tüm y değerleri 1/3’e iner,
- Kesim noktaları (x ve y) aynı x değerinde, y’leri 1/3 olur.
- Doğrunun eğimi de 1/3 oranında küçülür (yani eğim daha az dikleşir).
3. Adım Adım Dönüşüm
Orijinal Fonksiyon:
f(x) = -\frac{1}{2}x + 6
Dönüştürülmüş Fonksiyon:
y = \frac{1}{3}f(x) = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}x + 6\right) = -\frac{1}{6}x + 2
Yeni Fonksiyonun Özellikleri:
- Yeni eğim: -\dfrac{1}{6} (önce -\frac{1}{2} idi).
- Yeni y ekseni kesişimi: 2 (önce 6 idi).
- x eksenini kestiği noktayı bulalım:
Orijinalde x eksenini y = 0 iken kestiği nokta x=12 idi:
y = -\frac{1}{2}x + 6 = 0 \implies -\frac{1}{2}x + 6 = 0 \implies x = 12
Yeni fonksiyonda:
-\frac{1}{6} x + 2 = 0 \implies -\frac{1}{6} x = -2 \implies x = 12
Yani x eksenini yine x=12’de kesiyor.
Ama y eksenini artık y=2’de kesiyor.
Önemli Noktalar:
- Y eksenini kestiği nokta 6’dan 2’ye indi.
- X eksenini kestiği nokta değişmedi, x=12.
- Doğrunun eğimi küçüldü (grafik daha yatık/daha az negatif eğimli oldu).
4. Seçenek Analizi ve Karşılaştırma
Şimdi şıkları inceleyelim:
A Seçeneği
- y ekseninde y=2’de başlıyor, x eksenini x=4’te kesiyor. Doğru olamaz.
B Seçeneği
- y ekseninde yine y=6, x ekseninde x=4. Grafikte dikey sıkışma yok, yanlış.
C Seçeneği
- Grafik negatif tarafta başlıyor, y ve x kesişimleri -4 ve 2. Doğru değil.
D Seçeneği
- y ekseninde y=2, x ekseninde x=12. Tam olarak hesapladığımız dönüşmüş grafiğe uygun.
- Doğrunun eğimi daha yatık.
- Şekil ve değerler doğru.
E Seçeneği
- y ekseninde y=6, x’i -4’te kesiyor, orijinalden tamamen farklı.
5. Özet Tablo
| Fonksiyon | y-Ekseni Kesişim | x-Ekseni Kesişim | Eğim | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| y=f(x) | y=6 | x=12 | -1/2 | Orijinal grafik |
| y=\frac{1}{3}f(x) | y=2 | x=12 | -1/6 | Dikey sıkışmış, daha yatık |
6. Sonuç ve Cevap
Cevap:
D Seçeneği doğrudur.
- Çünkü \frac{1}{3} katsayısı y değerlerini 3’te 1’ine indirir.
- y eksenini 2’de, x eksenini yine 12’de keser.
- Doğrunun eğimi de azalarak -\frac{1}{6} olur ve doğru daha yatık hale gelir.
Sonuç Özeti:
- y = f(x) doğru denklemi: y = -\frac{1}{2}x + 6
- y = \frac{1}{3}f(x) doğru denklemi: y = -\frac{1}{6}x + 2
- Y ekseni kesişimi: 2’ye iner,
- X ekseni kesişimi: değişmez (12’de),
- Doğru daha yatık olur,
- Şıklar içinde sadece D seçeneği bunu sağlayan grafiktir.
Soruya Ait Tablolu Özet
| Şık | y-Ekseni Kesişim | x-Ekseni Kesişim | Doğru mu? |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 4 | Hayır |
| B | 6 | 4 | Hayır |
| C | -4 | 2 | Hayır |
| D | 2 | 12 | Evet |
| E | 6 | -4 | Hayır |
Doğru cevap:
D seçeneğidir.