Bir market sahibi toplaticidan çuval ile aldığı 48 kilo pirinç ve 90 kilo toz şekeri eşit hacimli poşetlere her ikisinde de hiç artmayacak şekilde doldurarak satacaktir buna göre market sahibinin hazırlayacağı poşete kitlesi kaç kilogram olamaz?
Bir market sahibinin hazırlayacağı poşete kitlesi kaç kilogram olamaz?
Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:
1. Sorunun analiz edilmesi
Market sahibi, 48 kilogram pirinç ve 90 kilogram toz şeker almakta. Bunları eşit hacimli poşetlere hiçbir artış veya eksilme olmadan doldurması gerektiği belirtiliyor.
Sorunun temelinde, 48 ve 90 kilogramın ortak bölenlerini bulmak yatıyor. Çünkü poşetlere konabilecek kitlenin ağırlığı, bu sayıların ortak bölenleri olmalı (48 ve 90’ın tam sayı bölenleri).
2. Problemi çözmek için adım adım hareket edelim
2.1. 48 ve 90’nın ortak bölenlerini bulma
Bir sayının bölenlerini bulduktan sonra, diğer sayıyla ortak olanları seçeriz.
48’in bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
90’ın bölenleri:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Ortak bölenler:
48 ve 90’ın ortak bölenleri şunlardır:
1, 2, 3, 6
2.2. En büyük ortak bölenin seçimi (OBEB veya GCD)
Market sahibi, her poşete dolduracağı kütle miktarını, bu ortak bölenlerden seçebilir. Dolayısıyla, poşetlerdeki ürün ağırlığı yalnızca şu değerleri olabilir:
1, 2, 3, 6 \text{ kilogram}
3. Hangi kilogram miktarı imkânsızdır?
Soruda belirtilen “kitlesi kaç kilogram olamaz?” sorusunu yanıtlamak için, 48 ve 90’ın ortak bölenlerinden olmayan bir sayı ararız:
- Poşet kütlesi 1, 2, 3 veya 6 olmayan herhangi bir pozitif tam sayı olabilir (örneğin: 4, 5, 7 kg gibi değerler imkânsızdır).
Sonuç:
Market sahibinin hazırlayacağı poşetlerin her biri 1, 2, 3, ya da 6 kilogram olabilir. Dolayısıyla, 4, 5, veya 7 kilogram gibi kütleler poşetlere konamaz.
Bir market sahibi toplaticidan çuval ile aldığı 48 kilo pirinç ve 90 kilo toz şekeri eşit hacimli poşetlere her ikisinde de hiç artmayacak şekilde doldurarak satacaktır. Buna göre market sahibinin hazırlayacağı poşete kitlesi kaç kilogram olamaz?
Answer:
Bir poşetin “k” kilogram olabilmesi için, hem 48 kg pirincin hem de 90 kg şekerin herhangi bir artma olmadan bu poşetlere sığması gerekir. Bu da “k” değerinin 48 ve 90’ı aynı anda tam bölmesi, yani 48 ve 90’ın ortak böleni olması gerektiği anlamına gelir.
• 48’in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• 90’ın çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Bu iki listenin kesişimi (ortak bölenler) yalnızca:
1, 2, 3 ve 6
Dolayısıyla poşetin ağırlığı 1 kg, 2 kg, 3 kg veya 6 kg olabilir. Bunun dışındaki sayılar, örneğin 4 kg, 5 kg, 8 kg, 9 kg ve benzeri değerler 48’in ve 90’ın ortak böleni olmadığı için “olamaz”.
Soru genellikle “Aşağıdakilerden hangisi olamaz?” şeklinde verildiğinde seçeneklerden ortak bölen olmayan değer seçilmelidir. En yaygın yanlış örneklerden biri 9 kg’dır; 9, 90’ı böler ancak 48’i bölmez. Dolayısıyla 9 kg poşet ağırlığı “olamaz.”
Bir market sahibinin 48 kg pirinç ve 90 kg toz şekeri eşit kütleli poşetlere doldurma sorusu
Soru (Özet):
Bir market sahibi, topladığı 48 kg pirinç ve 90 kg toz şekeri “eşit kütleli” poşetlere doldurmak istiyor. Hem 48 kg pirinçte hem de 90 kg toz şekerde hiç malzeme artmayacak şekilde (tüm pirinç ve toz şeker tam paylaştırılacak) hazırlanacak poşetlerin her biri kaç kilogram olabilir? Ve bu poşetlerden birinin kütlesi “kaç kilogram olamaz?”
Açıkça görüyoruz ki bir poşete kaçar kilo pirinç (ve aynı şekilde toz şeker) konulacaksa bu kütle her iki malzemeyi de sıfır artıkla bölmelidir. Yani poşet kütlesi, 48’in de 90’ın da tam böleni (ortak böleni) olmalıdır. Bu sayede:
- 48 kg pirinç, poşet başına X kg olacak şekilde bölünürse 48 / X tam sayı çıkmalı.
- 90 kg toz şeker, poşet başına X kg olacak şekilde bölünürse 90 / X da tam sayı çıkmalı.
Dolayısıyla X, 48 ve 90 sayılarının ortak bir böleni olmak zorundadır.
İçindekiler
1. Ortak Bölen Kavramı
- Bir sayının “böleni” demek, o sayıyı kalansız bölen tam sayıdır.
- 48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 gibi değerlerdir (tam listeyi bulabiliriz).
- 90’ın bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
- Ortak bölen ise, iki sayıyı aynı anda kalansız bölen sayıdır.
Bu problemde, poşet kütlesi hem 48’in hem de 90’ın ortak böleni olmak durumundadır.
2. 48 ve 90 Sayılarının Ortak Bölenleri
48 sayısının asal çarpanlarına ayırılması:
- 48 = 2⁴ × 3¹
- (2⁴ ifadesi 16; 3¹ ifadesi 3 = 16 × 3 = 48)
90 sayısının asal çarpanlarına ayırılması:
- 90 = 2¹ × 3² × 5¹
- (2¹ ifadesi 2; 3² ifadesi 9; 5¹ ifadesi 5 = 2 × 9 × 5 = 90)
Bir sayının ortak bölenleri, asal çarpanlarındaki ortak kısımların tüm kombinasyonlarından elde edilir.
48’in asal çarpanları: 2⁴, 3¹
90’ın asal çarpanları: 2¹, 3², 5¹
Bu iki sayının ortak asal çarpanları:
- 2 için: küçük üs 1 (çünkü 48’de 2⁴ var, 90’da 2¹ var => ortak kısım 2¹)
- 3 için: küçük üs 1 (çünkü 48’de 3¹, 90’da 3² => ortak kısım 3¹)
- 5 için: 48’de 5 bulunmadığı için ortak kısım yoktur (5⁰ gibi düşünebiliriz, yani 0)
Bu bize 2¹ × 3¹ = 6’nın en büyük ortak bölen (EBOB) olduğunu gösterir. Ancak sadece EBOB değil, tüm ortak bölenleri bulmak istersek:
Ortak bölenlerde:
- 2^0 ya da 2^1 olabilir (çünkü en küçük üs 0 veya 1’e kadar alınabilir).
- 3^0 ya da 3^1 olabilir (en küçük üs 0 veya 1).
Dolayısıyla:
- 2^0 × 3^0 = 1
- 2^1 × 3^0 = 2
- 2^0 × 3^1 = 3
- 2^1 × 3^1 = 6
Böylece ortak bölenlerin tamamı = {1, 2, 3, 6} olarak bulunur.
3. Adım Adım Çözüm
- 48 ve 90 Asal Çarpanlarına Ayır
- 48 = 2⁴ × 3¹
- 90 = 2¹ × 3² × 5¹
- Ortak Çarpanları Belirle
- 2 ortak => en az üs: 1
- 3 ortak => en az üs: 1
- 5 ortak değildir (48’de yok).
- Tüm Kombinasyonları Listele
- (2^0 × 3^0), (2^1 × 3^0), (2^0 × 3^1), (2^1 × 3^1)
= 1, 2, 3, 6
- Poşet Ağırlıkları
- Poşetler 1 kg, 2 kg, 3 kg veya 6 kg olabilir.
- Başka bir ağırlık (4, 5, 7, 9 vb.) 48 ve 90’ı aynı anda tam bölmez.
- Soru: “Hangi kilogram olamaz?”
- Bu setin dışında kalan herhangi bir kilo değeri (örneğin 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 18 …) poşet ağrılığı olamaz.
4. Sık Karıştırılan Noktalar
- En Büyük Ortak Bölen (EBOB) çoğu zaman soruda “en büyük kaç kg’lık poşet olabilir?” şeklinde sorulur. Burada en büyük ortak bölen 6’dır; ama soru “hangi değer olamaz?” şeklinde de gelebilir.
- Bazı öğrenciler, 48 ve 90’ı ayrı ayrı bölen her değeri doğru sanır. Oysa poşet ağırlığının, her iki sayıyı aynı anda bölmesi gerekir.
- Soruda sıklıkla kabul edilen kütle birimi kilogramdır ve tam sayı varsayılır. Küsuratlı (örneğin 2,4 kg) genellikle kabul edilmez; çünkü temel eğitim problemlerinde tam sayıyı tercih ederiz (metin aksi bir şey söylemedikçe).
5. Tablo: 48 ve 90 için Ortak Bölenler
| Değer | 48’e Bölüyor mu? | 90’a Bölüyor mu? | Sonuç (48 ve 90’ın Ortak Böleni mi?) |
|---|---|---|---|
| 1 | 48/1 = 48 (tam) | 90/1 = 90 (tam) | Evet |
| 2 | 48/2 = 24 (tam) | 90/2 = 45 (tam) | Evet |
| 3 | 48/3 = 16 (tam) | 90/3 = 30 (tam) | Evet |
| 4 | 48/4 = 12 (tam) | 90/4 = 22.5 (tam değil) | Hayır |
| 5 | 48/5 = 9.6 (tam değil) | 90/5 = 18 (tam) | Hayır |
| 6 | 48/6 = 8 (tam) | 90/6 = 15 (tam) | Evet |
| … | … | … | … |
Tabloda açıkça görüldüğü gibi ortak bölen olarak sadece 1, 2, 3 ve 6 öne çıkıyor.
6. Poşet Ağırlığının Olamayacağı Değerler
Soru genelde “Aşağıdakilerden hangisi poşet kütlesi olamaz?” şeklinde geliyorsa, seçenekler arasında 1, 2, 3, 6 dışındaki herhangi bir rakam doğru cevaptır. Örneğin:
- 4 kg olamaz (çünkü 90’ı tam bölemez).
- 9 kg olamaz (çünkü 48’i tam bölemez).
- 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, vb. hepsi olamaz.
Dolayısıyla, soru tek bir cevap istiyorsa ve “A, B, C, D” gibi çoktan seçmeli ise, bu seçeneklerde {1, 2, 3, 6} dışındaki seçenek “olamaz” olur.
7. Örnek ve Uygulama Adımları
-
Örnek 1: “Poşet kütlesi 2 kg ise”
-
48 kg pirinç, 2 kg’lık poşetlere 48 / 2 = 24 tane poşet doldurur. Hiç artmaz.
-
90 kg şeker, 2 kg’lık poşetlere 90 / 2 = 45 tane poşet doldurur. Hiç artmaz.
-
Örnek 2: “Poşet kütlesi 4 kg ise”
-
48 kg pirinç, 4 kg’lık poşetlere 48 / 4 = 12 poşet doldurabilir. Pirinçte sorun yok.
-
90 kg şeker, 4 kg’lık poşetlere 90 / 4 = 22.5 (tam sayı değil), yani 22 poşet doldurursak 88 kg olur, 2 kg artar.
-
Sonuç: 4 kg poşetle şeker artar, bu da sorunun şartını sağlamaz.
Bu şekilde bakıldığında, 4 kg “olamaz” cevabının tipik örneğini görüyoruz.
8. Ek Bilgiler ve İpuçları
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): 48 ile 90’ın en büyük ortak böleni 6’dır. Yani istenirse, en büyük poşet boyutu 6 kg olabilir.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): Burada ihtiyaç duymuyoruz, ancak iki sayının beraber kaç adet torba oluşacağını merak ettiğimizde ekok farklı bir bakış sunar.
- Tam Sayı Olması: Ortaokul seviyesi müfredatta genellikle bu tür problemde “küsuratlı” ya da “ondalıklı” kilolar kullanılmaz. Kullanılsaydı, 2,5 kg gibi bir poşet de teorik olarak 48’i ve 90’ı bölecek şekilde ayarlanamaz çünkü 48/2.5 = 19.2, 90/2.5 = 36 olur, 48/2.5 tam sayı çıkmadığı için mümkün değildir.
- Seçenekler Üzerinden Gitmek: Sınavlarda genelde seçenek verilir. Siz yalnızca her seçeneğin 48 ve 90’ı tam bölüp bölmediğini kontrol edersiniz.
9. Konu Özeti
- Ortak bölen: Bir sayıyı kalansız bölebilen sayı.
- 48 ve 90’ın ortak bölenleri: 1, 2, 3 ve 6. Dolayısıyla bu poşet kütleleri mümkündür.
- 48 ve 90 için “olamaz” kütle değerleri: 1, 2, 3, 6 dışındaki bütün tam sayılar. Örnek: 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 45 vs.
- Eğer soru “Kaç kg olamaz?” diye tek bir cevap istiyorsa ve seçenek olarak (1, 2, 3, 4, 6) verilmişse cevabımız 4 olur. Farklı bir seçenek listesi varsa, yine 1, 2, 3, 6 harici değer cevaptır.
Soruya Net Cevap
“Buna göre market sahibinin hazırlayacağı poşete kitlesi kaç kilogram olamaz?”
• Poşet ağırlığı, 48 ve 90’ı ortak bölen bir sayı olmalıdır. Ortak bölenler ise yalnızca 1, 2, 3 ve 6’dır.
• Dolayısıyla 4 kg, 5 kg, 7 kg, 8 kg, 9 kg, 10 kg, 12 kg, 15 kg veya farklı herhangi bir sayı (1, 2, 3, 6 hariç) olamaz.
• Farklı soru tiplerinde hangi seçeneğin verildiğine bağlı olarak (örneğin “4” mü, “9” mu vb.) o değer, poşetin kütlesi olamaz.
Özet Tablo
| Ortak Bölenler | 48’e Bölme Durumu | 90’a Bölme Durumu | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | 48 / 1 = 48 (tam) | 90 / 1 = 90 (tam) | Olabilir |
| 2 | 48 / 2 = 24 (tam) | 90 / 2 = 45 (tam) | Olabilir |
| 3 | 48 / 3 = 16 (tam) | 90 / 3 = 30 (tam) | Olabilir |
| 4 | 48 / 4 = 12 (tam) | 90 / 4 = 22.5 (tam değil) | Olamaz |
| 5 | 48 / 5 = 9.6 (tam değil) | 90 / 5 = 18 (tam) | Olamaz |
| 6 | 48 / 6 = 8 (tam) | 90 / 6 = 15 (tam) | Olabilir |
| 9 vb. | 48 / 9 = 5.33 (tam değil) | 90 / 9 = 10 (tam) | Olamaz |
Tabloda da net görüldüğü gibi, 1, 2, 3, 6 dışındaki tüm tam sayılar bu amaçla kullanılamaz.
Cevabın Kısa Özeti:
• Poşet kütlesinin hem 48 kg pirince hem de 90 kg şekere tam bölünebilmesi için, bu kütle 48 ve 90’ın ortak böleni olmalıdır.
• 48 ve 90’ın tüm ortak bölenleri = 1, 2, 3, 6.
• Soru “Hangisi olamaz?” diyorsa, {1,2,3,6} dışında bir tam sayı olamaz.
@anonymous13