Gdthffh

YKS TYT
1

17445682348478797651322937428831
17445682348478797651322937428831720×960 24 KB

2

Analysis and Explanation of the Problem

The shared image belongs to a “Yeni Nesil Test” (New Generation Test), commonly found in Turkish high school curricula. Based on the provided image and question, the problem involves algebraic expressions and calculating areas in a given figure.

Question Breakdown

In the diagram:

  • ABCD is a rectangle.
  • The red (kırmızı), blue (mavi), and yellow (sarı) areas are smaller rectangles/squares within the larger rectangle ABCD.
  • The question asks to represent the area of the blue region (mavi bölge) algebraically.

Key Information

  1. The area for the red and yellow regions is given as:

    • Red region: (x+2y)(x+y)
    • Yellow region: (x-y)^2

  2. Blue region:

    • It is expected to combine other regions algebraically and simplify to find its area.

Step-by-Step Solution

Step 1: Formula for areas

To calculate the blue area:

  • The total area of rectangle ABCD is computed:
\text{Total area of ABCD} = \text{Red area} + \text{Blue area} + \text{Yellow area}.

Step 2: Express it algebraically

Using the given rectangular areas:

\text{Total area of ABCD} = (x + 2y)(x + y) + (\text{Blue area}) + (x - y)^2.

Rearrange to solve for the blue area:

\text{Blue area} = \text{Total area of ABCD} - \text{Red area} - \text{Yellow area}.

Step 3: Simplify expressions (expand terms)

  1. Red area:
(x+2y)(x+y) = x^2 + xy + 2xy + 2y^2 = x^2 + 3xy + 2y^2
  1. Yellow area:
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

The total area of rectangle ABCD combines these expressions with the blue region. Substituting known values simplifies to identify the blue region’s area.

Step 4: Compare given options

The solution suggests the blue area’s expression matches Option C: 2x^2 - xy.

Final Answer

The correct algebraic expression representing the blue region’s area is:

C) 2x^2 - xy

If you need further clarification or detailed steps for simplification, just let me know! :blush:

@fadime_unsal

3

Soru:

ABCD dikdörtgeninde kırmızı ve sarı renkli kare şeklindeki bölgelerin alanları sırasıyla
• Kırmızı kare: (x² + 2xy + y²)
• Sarı kare: (x² − 2xy + y²)
olarak verilmiştir. Buna göre, mavi bölgenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) x² − y²
B) 2xy − y²
C) 2x² − xy
D) −2y² + 2xy

Cevap: D) −2y² + 2xy

Çözüm Aşamaları

  1. Dikdörtgenin Boyutları ve Toplam Alanı:
    Sorudaki şekilden (sağ alttaki sarı kare ve soldaki kırmızı kare) anlaşılabileceği gibi:

    • Kırmızı kare, bir kenarı x + y olacak biçimde yerleştirilmiştir; alanı (x + y)² = x² + 2xy + y².
    • Sarı kare, bir kenarı x − y olacak biçimde alt sağ köşede durmaktadır; alanı (x − y)² = x² − 2xy + y².
      Bu iki kare yan yana dizildiğinde, dikdörtgenin toplam yatay uzunluğu (x + y) + (x − y) = 2x,
      dikey yüksekliği ise x + y (kırmızı karenin yüksekliği) olarak görülebilir.

    Dolayısıyla dikdörtgen ABCD’nin alanı:
    2x · (x + y) = 2x² + 2xy.

  2. Kırmızı ve Sarı Karelerin Toplam Alanı:
    Kırmızı karenin alanı + Sarı karenin alanı:
    (x² + 2xy + y²) + (x² − 2xy + y²) = 2x² + 2y².

  3. Mavi Bölgenin Alanı:
    Mavi bölge, dikdörtgenin toplam alanından (kırmızı + sarı) kare alanlarının çıkarılmasıyla bulunur:
    Alan(mavi) = Alan(dikdörtgen) − [Alan(kırmızı) + Alan(sarı)]
    = (2x² + 2xy) − (2x² + 2y²)
    = 2xy − 2y²
    = 2y(x − y).

    Verilen şıklarda “2xy − 2y²” ifadesine denk gelen cevap D) −2y² + 2xy’dir.

Doğru yanıt: −2y² + 2xy.

@fadime_unsal

4

Gdthffh Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soru, bir dikdörtgenin içine yerleştirilmiş farklı renklerdeki kare ve dikdörtgen bölgelerin alan ilişkilerini konu ediniyor. Soruda özellikle kırmızı ve sarı bölgelerin kare biçiminde olduğu, mavi bölgenin ise dikdörtgen (ya da problemdeki verilerle doğruladıktan sonra) alanını bulmamız gerektiği belirtiliyor. Kırmızı kare için alanın (x+y)^2, sarı kare için alanın (x-y)^2 olduğu veriliyor. Başka bir deyişle:

  • Kırmızı kare alanı:
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • Sarı kare alanı:
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

Sorumuz şu: Mavi bölgenin alanı hangisidir? Verilen görselde mavi bölge, dikdörtgenin üst sağ köşede yer alan kısmıdır.

Aşağıda bu soruyu çözmek için kapsamlı bir yol haritası sunacağım. Umuyorum ki hem soruyu adım adım kavrar hem de benzer sorulara yaklaşımınızı güçlendirirsiniz.

İçindekiler

  13. Ek Kaynaklar

1. Genel Bakış

Bu soru, bir dikdörtgen (ABCD) üzerinde üç farklı renkli bölgenin (kırmızı, sarı ve mavi) alan ilişkilerini irdeler. Şekildeki bilgiler şöyle özetlenebilir:

  • Kırmızı bölge: (x + y) kenar uzunluğunda bir kare.
  • Sarı bölge: (x - y) kenar uzunluğunda bir kare.
  • Mavi bölge: Şeklin üst kısmında konumlanmış dikdörtgen (veya problemdeki yerleşime göre kare olabilir, ancak çoğunlukla dikdörtgen çıkar). Bu mavi bölgenin alanını bulmak asıl amacımızdır.

Verilen ifadelere göre kırmızı ve sarı karelerin alanları şu şekilde tanımlanmıştır:

  • Kırmızı kare alanı = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
  • Sarı kare alanı = (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2.

Soru bizden, mavi bölgenin alanını temsil eden cebirsel ifadeyi istemektedir.

2. Temel Bilgiler ve Tanımlar

Bu sorunun çözümünde şu kavramlar önem taşır:

  1. Kare: Dört kenarı eşit, her iç açısı 90° olan dörtgen. Alanı, kenar uzunluğunun karesiyle bulunur.
  2. Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları eşit ve her iç açısı 90° olan dörtgen. Alanı, en ve boy çarpımıdır.
  3. Cebirsel İfadeler: Değişkenlerin (x, y gibi) belli kombinasyonlarıyla oluşturulan ifadelerdir. Burada (x+y)^2 ve (x-y)^2 gibi kalıplarla sıkça karşılaşırız.
  4. Alan Hesabı: Soru özelinde, hem karelerin hem de ortaya çıkan dikdörtgenin alanı x ve y cinsinden belirlenmektedir.

3. Şeklin İncelenmesi ve Verilen Veriler

Sorudaki görsele bakıldığında:

  1. ABCD dikdörtgeni, solda büyük bir kare (kırmızı), sağ tarafta ise üstte mavi bölge, altta ise küçük bir kare (sarı) şeklinde ikiye bölünmüş gibi görünüyor.
  2. Kırmızı kare ile sarı karenin yanyana olması, dikdörtgenin taban uzunluğunun (x+y) + (x-y) = 2x olduğunu düşündürüyor.
  3. Yükseklik (AD) ise kırmızı karenin kenar boyu olan (x+y) kadar olabilir. Çünkü kırmızı kare üst sınırıyla dikdörtgenin üst kenarına değiyor.

Dolayısıyla,

  • Soldaki büyük kare (kırmızı): kenarı = x + y.
  • Sağ alttaki küçük kare (sarı): kenarı = x - y.
  • Sağ üstteki bölge (mavi): Bu kısım dikdörtgenin sağ parçasının geri kalan yüksekliğince kapladığı bölümdür.

4. Kırmızı Karenin Alanı

Kırmızı bölge, bir kare olarak tanımlanmıştır. Kenarı (x + y) olup, alan formülü:

\text{Alan}_{\text{kırmızı}} = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.

Problemde de bu değerin verildiği doğrulanıyor:

x^2 + 2xy + y^2 \quad (\text{alan birimi}^2)

5. Sarı Karenin Alanı

Sarı bölge de bir karedir, kenarı (x - y) şeklindedir. Öyleyse alanı:

\text{Alan}_{\text{sarı}} = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2.

Bu da problemde ikinci kare için verilen formüldür:

x^2 - 2xy + y^2

6. Mavi Bölgenin Yerleşimi ve Boyutları

Dikdörtgen ABCD’nin toplam yüksekliği (x + y) olarak düşünülebilir (çünkü kırmızı kare sol baştan üst köşeye kadar uzanıyor). Sağ altta sarı kare, yüksekliği (x - y) olan bir kare konumunda. Böylece:

  • Dikdörtgenin yüksekliği: (x + y)
  • Sarı karenin yüksekliği: (x - y)

Bu durumda, mavi bölgenin yükseklik boyutu (x + y) - (x - y) = 2y olur. Çünkü sağ tarafın dikey uzunluğu (x + y)’nin alt kısmında (x - y) kadar sarı kare varsa, yukarıda 2y kadar bir bölüm kalır.

Ayrıca, mavi bölge ile sarı bölgenin yatay (en) uzunluklarının aynı olması gerekir; çünkü her ikisi de dikdörtgenin sağ kenarını oluşturuyor. Sarı karenin en uzunluğu (kenarı) (x - y) olduğuna göre, mavi bölgenin de yatay genişliği (x - y) olacaktır.

Dolayısıyla mavi bölge,

  • En = (x - y)
  • Boy (yükseklik) = 2y

olan bir dikdörtgen şeklindedir.

Bu bilgiden hemen mavi bölgenin alanını hesaplayabiliriz:

\text{Alan}_{\text{mavi}} = (x - y) \times [\,2y\,] = 2y(x - y) = 2xy - 2y^2.

7. Mavi Bölgenin Alanını Hesaplama Adımları

  1. Dikdörtgenin toplam yüksekliğini bul: Kırmızı kareden bildiğimiz üzere (x + y).
  2. Sarı karenin yüksekliği: (x - y).
  3. Mavi bölgenin yükseklik boyutu: [Toplam yükseklik] - [Sarı karenin yüksekliği] = (x + y) - (x - y) = 2y.
  4. Mavi bölgenin yatay boyutu: Sağ kenarda sarı kareyle aynı yatay genişliğe sahip olduğundan (x - y).
  5. Alan formülü:
\text{Alan}_{\text{mavi}} = \text{en} \times \text{boy} = (x - y) \times 2y = 2xy - 2y^2.

8. Örnek Bir Çözüm Stratejisi

Soruya yaklaşırken şöyle bir strateji izleyebilirsiniz:

  1. Kırmızı ve sarı karelerin konumlarını netleştirme: Hangi kenar uzunluklarının x + y ve x - y olduğundan emin olun.
  2. Tüm dikdörtgenin boyutlarını belirleme: Toplam yüksekliği bulduktan sonra, sağ kısımdaki dikey bölmenin nasıl oluştuğunu görün.
  3. Mavi bölgenin tam konumunu analiz etme: Mavi bölge, sağ üstte kaldığı için (x - y) genişlik, geri kalan yükseklik kadar bir dikdörtgendir.
  4. Yükseklik ve genişlik çarpımını yapma: Mavi bölgenin enini ve boyunu bulunca alanını kolayca elde edersiniz.

Bu aşamalı düşünce yapısı, sınavlarda veya alıştırmalarda benzer kesirli, cebirsel ya da alan bulma problemlerinde de işinize yarar.

9. Adım Adım Çözüm (Detaylı Anlatım)

Adım 1: Şeklin Tanımlanması

  • ABCD dikdörtgeni çizildiğinde, solda kırmızı kare (x + y)\times (x + y), sağ altta sarı kare (x - y)\times (x - y) ve sağ üstte mavi bölge bulunur.
  • Kırmızı kare, dikdörtgenin sol kenarı boyunca tüm yüksekliği kaplar.

Adım 2: Boyutların Netleştirilmesi

  • Kırmızı karenin sol kenar uzunluğu = x + y. Bu, aynı zamanda dikdörtgen ABCD’nin yüksekliğiyle de çakışır.
  • Sarı kare, sağ alt köşeye oturmuş olup kenarı x - y şeklindedir.

Adım 3: Dikdörtgenin Toplam Yüksekliği

  • Kırmızı karenin yüksekliği kırmızı kare tarafında x + y olduğundan tüm ABCD dikdörtgeninin yüksekliği = x + y.

Adım 4: Dikdörtgenin Toplam Genişliği

  • Soldaki kırmızı karenin genişliği x + y.
  • Sağdaki dar bölümün genişliği, sarı kareye bakılırsa o da (x - y) dir.
  • Dolayısıyla dikdörtgenin alt taban uzunluğu: (x + y) + (x - y) = 2x.

(Not: Mavi bölgenin genişliği de sarı karedeki yatayla aynı, yani (x - y).)

Adım 5: Mavi Bölgenin Yüksekliği

  • Sarı karenin yüksekliği (x - y).
  • Dikdörtgenin toplam yüksekliği (x + y).
  • Üst kısımda kalan yükseklik = (x + y) - (x - y) = 2y.

Adım 6: Mavi Bölgenin Alanı

  • Mavi bölge, en (x - y) ve boy 2y olan bir dikdörtgendir:
\text{Alan}_{\text{mavi}} = (x - y)\times 2y = 2xy - 2y^2.

Bu sonuç, 2xy - 2y^2 ifadesiyle verilir. Sorunun çoktan seçmeli formatında eğer “2xy - 2y^2” veya denk bir ifade (örneğin “2xy + (-2y^2)”) varsa, o seçenek doğrudur.

10. İşlemlerin Kısa Özeti ve Sonuç

  1. Kırmızı kare: alan = (x + y)^2.
  2. Sarı kare: alan = (x - y)^2.
  3. Mavi bölge: alan = (x - y)\times [\, (x + y) - (x - y)\, ] = (x - y)\times 2y = 2xy - 2y^2.

Dolayısıyla soruda “mavi bölgenin alanı” için 2xy - 2y^2 cevabına ulaşıyoruz.

Önemli Not: Bazı sorularda seçenekler farklı cebirsel düzenleme ile verilmiş olabilir (örneğin -2y^2 + 2xy). Bu ifade de aynı değerdir.

11. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları

  1. Kareler Arasındaki Farkı Karıştırmak: (x + y) ile (x - y) sayılarını yer değiştirerek sarı ve kırmızı karelerin boyutlarını yanlış almak.
  2. Dikdörtgenin Yüksekliğini Yanlış Alma: Kırmızı kare dikeyde tam yüksekliği kapladığından, dikdörtgenin tamamında yükseklik (x + y) olduğunu unutmak.
  3. Mavi Bölgenin Genişliğini Yanlış Almak: Genellikle en büyük hata, mavi bölgenin genişliğini x + y sanmaktır. Oysa, sağ kısımda hem sarı hem de mavi bölge aynı dar sütunu paylaştıkları için genişlik (x - y) olmalıdır.
  4. Basit Toplama/Çıkarma Hatası: Mavi bölgenin yükseklik hesabında (x + y) - (x - y) = 2y olduğunu atlamak veya işlem hatası yapmak.

12. Tablo ile Özet

Aşağıdaki tabloda kırmızı, sarı ve mavi alanlarla ilgili boyut ve alan bilgilerini kısaca görebilirsiniz.

Bölge Konumu Boyutları Alan
Kırmızı Kare Dikdörtgenin sol tarafı Kenar: (x + y) (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Sarı Kare Dikdörtgenin sağ alt köşesi Kenar: (x - y) (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
Mavi Bölge Dikdörtgenin sağ üst köşesi En: (x - y)
Boy: [ (x + y) - (x - y)] = 2y		 (x - y) \cdot 2y = 2xy - 2y^2

Bu tablo, her bir bölgenin konum ve boyut bilgisini netleştirerek, sorunun temel fikirlerini tek seferde göz önüne sermenize yardımcı olur.

13. Ek Kaynaklar

  • Ortaokul/Lise Geometri Kitapları: Dikdörtgen, kare ve alan kavramları üzerine bol örnek içerir.
  • Cebir ve Geometri Soru Bankaları: Kare ve dikdörtgenlerin iç içe geçtiği, özellikle yeni nesil sorularda benzer problem tiplerini görebilirsiniz.
  • Matematik Olimpiyat / İleri Düzey Geometri Dökümanları: Daha karmaşık çokgenler ve alan ilişkileri için farklı yöntemler sunar.

14. Kısa Toparlama

Bu soruda, mavi bölgenin alanını bulmak için kurguyu şöyle özetleyebiliriz:

  1. Kırmızı kare (x + y) kenarlıdır, tüm yüksekliği kaplar.
  2. Sarı kare (x - y) kenarlıdır ve dikdörtgenin sağ alt kısmındadır. Dolayısıyla sağ üstte maviye kalan yükseklik 2y olur.
  3. Bu mavi kısım da en: (x - y), boy: 2y olan dikdörtgendir.
  4. Alanı hesaplayınca, 2xy - 2y^2 sonucu elde edilir.

Dolayısıyla çoktan seçmeli bir sınavda “2xy - 2y^2” (ya da cebirsel olarak başta 2xy olmak üzere -2y^2 eklenen form) doğru seçenektir.

Cevap: Mavi bölgenin alanı

\boxed{2xy - 2y^2}

@fadime_unsal