(Soru) x ∈ (0, 2π) olmak üzere, aşağıdaki denklemin kaç farklı gerçek kökü vardır?
İçindekiler
- Denklemin İncelenmesi
- Ön Bilgiler ve Trigonometrik Özdeşlikler
- Adım Adım Çözüm
- Sin x = 0 Durumunun İncelenmesi
- Farklı Köklerin Sayısı ve Detaylı İnceleme
- Örnek Hesaplamalar ve Uygulama
- Sonuçların Tablosu
- Genel Değerlendirme ve Özet
- Kaynaklar ve Ek Okumalar
1. Denklemin İncelenmesi
Bu problemde, 0 ile 2π arasındaki (0, 2π) açık aralığında tanımlanan
denkleminin kaç tane farklı gerçek köke sahip olduğunu bulmamız isteniyor. Burada dikkat etmemiz gereken birkaç nokta vardır:
- Denklemde \sin x paydayı oluşturduğu için \sin x = 0 olan noktalar (örneğin x = \pi) denklemin tanımsız kalabileceği veya özel bir inceleme gerektirebileceği noktalardır.
- x \in (0, 2\pi) aralığında \sin x = 0 yalnızca x = \pi değerinde gerçekleşir. Ancak o noktada gerçekten bir çözüm olup olmadığı limit veya sadeleştirme yoluyla kontrol edilmelidir.
- Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak denklem mümkün olduğunca sadeleştirilmeli ve kökler tek tek bulunarak aralıkta kalıyor mu diye denetlenmelidir.
2. Ön Bilgiler ve Trigonometrik Özdeşlikler
Bu tarz soruları çözerken sıkça başvurduğumuz trigonometrik özdeşlikler şunlardır:
- Çift Açı Formülü (cos):\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x
- Çift Açı Formülü (sin):\sin(2x) = 2 \sin x \cos x
- Temel Kimlik:\sin^2 x + \cos^2 x = 1
- Toplama-Azaltma Özdeşlikleri (cos = cos):
Eğer \cos A = \cos B ise A = B + 2k\pi veya A = -B + 2k\pi (k tam sayı).
Bu özdeşliklerden yeri geldikçe yararlanacağız.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 (I) Paydaki İfadeyi Basitleştirme
Verilen denklem:
Önce \cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1 özdeşliğini kullanarak paydaki ifadeyi dönüştürelim:
Burası \cos^2 x - 1 şeklinde basitleşti. Ayrıca \cos^2 x - 1 = -\sin^2 x olduğu için pay:
Dolayısıyla denklem:
3.2 (II) Elde Edilen Denklem ve Sadeleştirme
Paydada \sin x var. x \in (0, 2\pi) aralığında \sin x = 0 olup olmadığını ayrıca kontrol edeceğiz. Şimdilik \sin x \neq 0 varsayımıyla sadeleştirme yapabiliriz:
Böylece denklem şu hale gelir:
Ardından sağ taraftaki çift açı formülünü yerleştirelim:
Dolayısıyla denklem:
Her iki tarafı bir araya getirirsek:
veya
3.3 (III) cos = cos Biçiminde Çözüm
Bu adımda, sol taraftaki \sqrt{3}\,\cos x - \sin x ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon olarak yazabiliriz. Hatırlarsak:
şeklinde dönüştürülebilir. Burada R = \sqrt{a^2 + b^2}. Bizde:
- a = \sqrt{3}
- b = -1 (çünkü - \sin x var)
Dolayısıyla:
Uygun açı $\alpha$’yı bulmak için:
- 2\cos \alpha = \sqrt{3} \implies \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{6}
- -2\sin \alpha = -1 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{6}
Dolayısıyla:
Denklemimiz:
Sağ tarafı da istersek 4\,\sin x\,\cos x = 2(2\,\sin x\,\cos x) = 2\,\sin(2x) şeklinde yazabiliriz. Böylece:
Bildiğimiz gibi \sin(2x) = \cos\Bigl(\frac{\pi}{2} - 2x\Bigr). Dolayısıyla:
Bir trigonometri kuralı gereği \cos A = \cos B ise iki temel durumda çözümlerimiz olur:
- A = B + 2k\pi
- A = -B + 2k\pi
Burada A = x + \frac{\pi}{6} ve B = \frac{\pi}{2} - 2x.
3.3.1. Birinci Durum
Üç bilinmeyenli (x, k) yerine k tam sayı alıp $x$’i ifade ederiz:
Aralığımız (0, 2π) içinde bu çözümleri k değerleriyle bulalım:
- k = 0: x = \frac{\pi}{9} (yaklaşık 20°). Bu (0,2\pi) içerisinde.
- k = 1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9} (yaklaşık 140°). Bu da (0,2\pi) içinde.
- k = 2: x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{12\pi}{9} = \frac{13\pi}{9} (yaklaşık 260°). Hâlâ $2\pi$’den küçük mü diye bakalım: 13\pi/9 \approx 4.53, 2\pi \approx 6.283. Demek ki bu da geçerli.
- k = 3: x = \frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{19\pi}{9} \approx 6.64 ki bu 6.64 > 2\pi \approx 6.283, aralığı aşıyor.
Dolayısıyla birinci durumdan 3 farklı çözüm gelir:
3.3.2. İkinci Durum
Düzenleyelim:
İçerideki toplam: \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}. Dolayısıyla:
(0, 2π) aralığında:
- k = 0: x = \frac{2\pi}{3} \approx 120^\circ. Bu geçerlidir.
- k = 1: x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} < 0, aralık dışı.
- k = -1: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.377…, 2\pi \approx 6.283…,) aralık dışı.
Dolayısıyla bu ikinci senaryodan yalnızca x = \frac{2\pi}{3} geliyor.
Genel Toplam:
Birinci durumdan 3 kök, ikinci durumdan 1 kök elde ettik. Toplamda 4 farklı x değeri bulunur:
- x_1 = \dfrac{\pi}{9}
- x_2 = \dfrac{7\pi}{9}
- x_3 = \dfrac{13\pi}{9}
- x_4 = \dfrac{2\pi}{3}
3.4 (IV) Bulunan Çözümlerin Aralıkta Kontrolü
Her biri (0,2\pi) içinde yer alır. Değerleri yaklaşık şu şekildedir:
- \frac{\pi}{9} \approx 0.349... (20°)
- \frac{7\pi}{9} \approx 2.443... (140°)
- \frac{13\pi}{9} \approx 4.532... (260°)
- \frac{2\pi}{3} \approx 2.094... (120°)
Hepsi açık aralıkta olduğu için kabul edilir.
4. Sin x = 0 Durumunun İncelenmesi
Başta \sin x payda olduğu için x değerlerinin \sin x = 0 olduğu noktalar denklemi tanımsız kılabilir. (0, 2π) aralığında \sin x = 0 \implies x = \pi.
- x = π: Burada \sin(\pi) = 0 olduğu için pay/0 durumuna bakarız. Denklemde pay da \cos(2\pi) - \cos^2(\pi) şeklinde. \cos(\pi) = -1 \implies \cos^2(\pi) = 1 \implies \cos(2\pi) = 1. Dolayısıyla pay 1 - 1 = 0 görünse de 0/0 belirsizliği oluşur.
- Bu noktada sadeleştirilmiş denklem -\sin x + \sqrt{3}\cos x = 4 \sin x \cos x formuna bakarsak x = \pi koyduğumuzda:
- Sol taraf: -\sin(\pi) + \sqrt{3}\cos(\pi) = 0 + \sqrt{3}(-1) = -\sqrt{3}.
- Sağ taraf: 4 \sin(\pi)\cos(\pi) = 4 \cdot 0 \cdot (-1) = 0.
Eşitlik sağlanmaz. Dolayısıyla x = \pi geçerli kök değildir.
5. Farklı Köklerin Sayısı ve Detaylı İnceleme
Yukarıdaki tüm adımlar sonucunda:
- Payda nedeniyle \sin x \neq 0 olması gerekiyordu, bu nedenle x = \pi elendi.
- cos = cos özdeşliği yardımıyla bulduğumuz köklerden 4 tanesi (0, 2π) aralığı içinde kaldı.
Dolayısıyla bu denklemin 4 farklı gerçek kökü vardır.
6. Örnek Hesaplamalar ve Uygulama
Aşağıda, her bir kökün denklemde doğruluğunu test etmek isterseniz, sayısal yaklaşımla kontrol yapılabilir. Örneğin x_1 = \frac{\pi}{9} için:
- \sin\Bigl(\frac{\pi}{9}\Bigr)
- \cos\Bigl(\frac{\pi}{9}\Bigr)
- ve benzeri trigonometrik değerler hesaplanır, her iki tarafın eşit olup olmadığı (küçük bir hata payıyla) doğrulanabilir.
Ancak teorik olarak yaptığımız homojen sadeleştirme ve yerleştirme, bu köklerin denklemde karşılık geldiğini gösterir.
7. Sonuçların Tablosu
Aşağıdaki tabloda her çözüm adımını özet halinde görebilirsiniz:
| Adım | Uygulanan İşlem/Özdeşlik | Elde Edilen Sonuç |
|---|---|---|
| 1) Başlangıç Denklemi | $$\frac{\cos(2x) - \cos^2 x}{\sin x} + \sqrt{3}\cos x = 2\sin(2x)$$ | İnceleme: \sin x \neq 0 koşulu |
| 2) cos(2x) Dönüşümü | \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 | Pay: (2\cos^2 x -1) - \cos^2 x = \cos^2 x -1 = -\sin^2 x |
| 3) Sadeleştirme | $$-\frac{\sin^2 x}{\sin x} = -\sin x$$ | Denklem: -\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin(2x) |
| 4) Çift Açı (Sağ Taraf) | \sin(2x) = 2\sin x\cos x \implies 2\sin(2x) = 4\sin x\cos x | Denklem: \sqrt{3}\cos x - \sin x = 4\sin x\cos x |
| 5) Tek Fonksiyon Dönüşümü (Sol Taraf) | \sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{6}\bigr) | Yeni denklem: 2 \cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = 4\sin x\cos x |
| 6) cos = sin(2x) | \cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = \sin(2x) | Yazılır: \cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2} - 2x\bigr) |
| 7) cos A = cos B Genel Çözümü | A = B + 2k\pi veya A = -B + 2k\pi | 4 adet kök (0, 2π) içinde geçerli |
| 8) \sin x=0 Noktası İnceleme | x=\pi kontrol edildi, eşitlik sağlanamadı | Özel değer kök değil |
| 9) Toplam Gerçek Kök | Her iki durumdan da geçerli 4 tanesi | 4 |
8. Genel Değerlendirme ve Özet
Bu problemde esas zorluk, kesirli trigonometrik ifadenin \sin x paydasıyla gelmesi ve $\cos(2x)$’in uygun bir özdeşlik yardımıyla basitleştirilmesidir. Adım adım ilerlediğimizde, denklem şu şekle indirgendi:
Bundan sonra “tek trigonometrik ifade” metodu kullanılarak
dönüşümü uygulandı. Sin ve cos fonksiyonlarının eşitliğinde hem açının aynı olması hem de açının tersiyle ilgili eşitlik formüllerini kullandık. Elde ettiğimiz çözümlerden dördü (0, 2π) aralığında kalmaktadır.
Bu kökler şu şekilde listelenir:
- x = \dfrac{\pi}{9}
- x = \dfrac{7\pi}{9}
- x = \dfrac{13\pi}{9}
- x = \dfrac{2\pi}{3}
Hiçbiri sinüsün sıfıra eşit olduğu noktalara (burada x=\pi) denk gelmedi ve aralık dışına taşmadı. Dolayısıyla cevap 4 olarak bulunur.
Kısaca: Bu denklem (0, 2π) aralığında tam olarak 4 farklı gerçek çözüme sahiptir.
9. Kaynaklar ve Ek Okumalar
- OpenStax, Trigonometry (2021)
- Klasik Trigonometri Özdeşlikleri ve Formülleri
- Lisans Düzeyi Matematik Analiz Ders Notları
Cevap: 4