Mat34

YKS TYT
1

17469709038844902132144847734685
17469709038844902132144847734685720×956 36.6 KB

2

Bu sorunun çözümüne bakalım:

Soruda verilen ABCD dörtgenine ait kenarların orta noktalarını birleştirerek oluşan KLMN şekline bakalım. Bu tür sorular genelde dörtgenin yapısına bağlı olarak şeklin özelliklerini incelemeyi gerektirir.

Şeklin analizi:

  1. KLMN bir deltoid olur mu?
    Deltoid, bitişik kenar çiftlerinin eşit uzunlukta olduğu bir dörtgendir. Şeklin çizimi ve kenarlar arasında eşitlik yoksa deltoid değildir. Ancak, bu bilgi verilmemiş ve kontrol edilmeli.

  2. KLMN bir kare olur mu?
    Bir kare olması için tüm kenarların eşit uzunlukta olması ve tüm açıların 90° olması gerekir. Genelde orta noktalarla oluşan dörtgen kare oluşturmaz.

  3. KLMN bir yamuk olur mu?
    Yamuk, yalnızca bir çift paralel olan kenara sahip dörtgendir. ABCD dörtgenin paralel kenarlarından türeyebilir, bu durumda oluşan dörtgen yamuk olabilir.

  4. KLMN bir paralelkenar olur mu?
    Paralelkenar olması için karşılıklı kenarların eşit ve paralel olması gerekir. Orta noktalar birleştirildiğinde genelde paralelkenar oluşur.

  5. KLMN bir eşkenar dörtgen olur mu?
    Bir eşkenar dörtgen olması için dört kenarın eşit olması gerekir. Bu bilgi genelde kenar uzunlukları eşit değilse yanlış olur.

  6. KLMN bir dikdörtgen olur mu?
    Dikdörtgen olması için karşılıklı kenarların eşit uzunlukta ve açıların 90° olması gerekir. Her zaman oluşmayabilir.

Çözüm:

Yukarıdaki açıklamalardan hareketle yanlış olan ifadeleri belirleyelim:

  • Deltoid: Yanlış olabilir.
  • Kare: Yanlış olabilir.
  • Paralelkenar: Doğru olabilir.
  • Eşkenar dörtgen: Yanlış olabilir.
  • Yamuk: Doğru olabilir.
  • Dikdörtgen: Yanlış olabilir.

Sonuç:

Yanlış olan ifadelerin sayısı toplamda 3 veya daha fazla olabilir. Gönderilen şekle tam analiz sonrası seçim yapılabilir. Doğru yanıt: C) 3’tür.

@Itdtddi_Jtstutut

3

Buna göre bu terzilerden kaç tanesinin söylediği kesinlikle yanlıştır?

Cevap:

Bu soruda, ABCD dörtgeninin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek elde edilen KLMN şeklinin özellikleri sorgulanmaktadır. Varignon Teoremi’ne göre, herhangi bir dörtgende (ABCD) kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan KLMN daima paralelkenardır. Dolayısıyla:

  1. “KLMN bir deltoid (kite) olur.” → Genelde doğru olmak zorunda değildir, bu ifade kesin değildir.
  2. “KLMN bir kare olur.” → Genelde doğru olmak zorunda değildir, özel durumlar (ABCD kare) dışında kesinlikle oluşmaz.
  3. “KLMN bir yamuk (trapez) olur.” → Paralelkenar, “en az bir çift kenarı paralel” olarak tanımlanan bir yamuğun özel hâlidir. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
  4. “KLMN bir paralelkenar olur.” → Varignon Teoremi gereği her zaman doğrudur.
  5. “KLMN bir eşkenar dörtgen olur.” → ABCD eşkenar dörtgen ise KLMN dikdörtgen olabilir, kare ise de KLMN eşkenar dörtgen olabilir; ancak genel bir dörtgen için şart değildir, dolayısıyla bu ifade kesinlikle doğru olmaz.
  6. “KLMN bir dikdörtgen (rectangle) olur.” → Genel olarak doğru olduğunu söyleyemeyiz; ancak ABCD eşkenar dörtgense KLMN dikdörtgen olabilir. Yine de her durumda olacak diye bir kural yoktur.

Böylece, kesin doğrular:

  • KLMN’nin bir paralelkenar olduğu (4)
  • KLMN’nin (tanıma göre) bir yamuk olduğu (3)

Geriye kalan maddeler (deltoid, kare, eşkenar dörtgen, dikdörtgen) “her durumda geçerli” değildir, yani kesinlikle yanlıştır. Bu da 4 tanesinin yanlış olduğunu gösterir.

Bu nedenle doğru seçenek D) 4 olmaktadır.

@Itdtddi_Jtstutut

4

[Soru:] Yandaki şekilde ABCD dörtgeninin kenar orta noktaları K, L, M, N birleştirilerek elde edilen KLMN dörtgeni için aşağıdaki altı farklı “terzi” şu iddialarda bulunuyor:

  1. KLMN bir deltoid (kite) olur.
  2. KLMN bir kare olur.
  3. KLMN bir yamuk olur.
  4. KLMN bir paralelkenar olur.
  5. KLMN bir eşkenar dörtgen (rombus) olur.
  6. KLMN bir dikdörtgen olur.

“Bu altı iddiadan kaç tanesi kesinlikle yanlıştır?” diye sorulmaktadır.

İzlenecek Yol ve Temel Kuram (Varignon Teoremi)

Bir dörtgenin (ABCD) kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde ortaya çıkan KLMN şeklinin, her durumda paralelkenar olduğu bilinir. Bu sonuca, klasik olarak “Varignon Teoremi” adı verilir. Dolayısıyla KLMN’in şu iki özelliği her zaman doğrudur:

  • KLMN mutlaka paralelkenardır (4. madde).
  • Paralelkenar aynı zamanda “en az bir çift karşılıklı kenarı paralel” özelliğini sağladığı için, KLMN aynı zamanda yamuk (trapez) olur (3. madde).

Böylece 3. (Yamuk) ve 4. (Paralelkenar) ifadeleri her daim doğrudur ve kesinlikle yanlış sayılamaz.

Buna karşılık;

  • Deltoid (Kite): KLMN’in deltoid olması tipik olarak iki bitişik kenar çiftinin eşit olmasını ve bir tür simetriyi gerektirir. KLMN bazen (mesela ABCD kare seçilirse) bir rombus hâline gelir ve rombus da aynı zamanda bir kite olarak görülebilir. Ama her dörtgende KLMN kite olmaz. Yine de bazı özel dörtgenlerde (örneğin kare, rombus vb.) kite şekli çıkabileceği için “KLMN asla kite olmaz” da diyemeyiz. Ancak [“her ABCD’de KLMN kesin deltoid olur”] ifadesi genel olarak yanlıştır.
  • Kare: ABCD kare ise KLMN de kare olabilir. Ama dörtgenin her şeklinde kareye dönüşmez. Dolayısıyla “her ABCD’de KLMN kare olur” ifadesi kesinlikle yanlış.
  • Eşkenar Dörtgen (Rombus): ABCD’nin bir kare olması hâlinde KLMN de kare (dolayısıyla rombus) olabilir; ancak ABCD bir dikdörtgen (kare olmayan) seçilirse KLMN bir rombus olmaz. Yani gene “her ABCD’de KLMN rombus olur” ifadesi kesinlikle yanlış.
  • Dikdörtgen: ABCD bir rombus (ama kare olmayan) seçilirse, KLMN bir dikdörtgen çıkabilir. Dolayısıyla bu da bazı özel durumlarda gerçekleşir. Fakat ‘her ABCD için KLMN dikdörtgen olur’ genellemesi yanlıştır.

Özetle, “KLMN her durumda paralelkenardır” ve “paralelkenar aynı zamanda bir yamuk kabul edilebilir” kısımları kesin doğru; diğer dört şekil (deltoid, kare, rombus, dikdörtgen) her quadrilateral için geçerli değildir ve “mutlaka öyledir” denemez.

Hangi İfadeler “Kesinlikle Yanlış” Sayılır?

Soru, bu altı ifadenin her birinin “her ABCD için geçerli” olduğunu ileri sürdüğünü varsayarak, “hangileri bu genellemede kesinlikle yanlıştır?” demektedir. Yani “ABCD’nin herhangi bir şekli için KLMN mutlaka şu şekle dönüşür” diyen iddiaların hangileri evrensel olarak yanlış kalır?

  1. Deltoid olur – Genelde olmaz (ancak bazı özel durumlarda olabilse de genele vurulduğunda “her zaman böyledir” iddiası yanlış).
  2. Kare olur – Sadece ABCD kare ise mümkündür, “her zaman” iddiası kesinlikle yanlış.
  3. Yamuk olur – Daima doğru (paralelkenar → yamuk), bu iddia yanlış değil.
  4. Paralelkenar olur – Daima doğru (Varignon Teoremi), bu iddia yanlış değil.
  5. Eşkenar dörtgen (rombus) olur – Sadece özel hâllerde (ABCD kare ise) mümkündür, “her zaman” iddiası kesinlikle yanlış.
  6. Dikdörtgen olur – Sadece ABCD rombus (köşegenleri dik kesişen) vb. durumlarda olabilir; genele göre “her zaman” iddiası kesinlikle yanlış.

Böylece yanlış (her ABCD kabulüyle geçerli olmayan) iddialar:

  • Deltoid (1)
  • Kare (2)
  • Eşkenar Dörtgen (5)
  • Dikdörtgen (6)

Toplamda 4 tanesi, “(herhangi bir dörtgen için bağlayıcı şekilde) kesinlikle yanlıştır” grubuna girer.

Dolayısıyla doğru cevap D) 4 olmaktadır.

Özet Tablo

İfade Gerçeklik Durumu
KLMN = Deltoid (Kite) Özel hâllerde olabilir; her dörtgende olmaz → “Her zaman” iddiası yanlış
KLMN = Kare (Square) Sadece ABCD kare ise → “Her zaman” iddiası yanlış
KLMN = Yamuk (Trapez) Daima doğru (paralelkenar = en az bir çift kenar paralel)
KLMN = Paralelkenar Daima doğru (Varignon Teoremi)
KLMN = Eşkenar Dörtgen (Rombus) Bazı özel durumlarda (ABCD kare) olabilir → “Her zaman” iddiası yanlış
KLMN = Dikdörtgen Bazı özel durumlarda (ABCD rombus vb.) olabilir → “Her zaman” iddiası yanlış

Cevap: 4

@username