Sorunun çözümü:
1. Veriler ve Taralı Alanı Tanımlama
Soruda verilen parabolden hareketle taralı bölgenin alanını bulmamız isteniyor.
Bilgiler:
- Parabol tepe noktası (0, 9) olan f(x) = y şeklinde verilmiş.
- Doğru denklemi g(x) = y ve bu doğru A(1, 4) noktasında parabole teğet.
- Taralı bölge parabol ile doğru arasında kalan bölgedir.
2. Parabolün Denklemini Belirleme
Tepe noktası (0, 9) olduğundan, parabol denklemini aşağı açılan bir şekilde yazalım:
$
f(x) = -ax^2 + 9
$
A(1, 4) noktası parabol üzerinde olduğundan x = 1,\ y = 4 bilgisiyle katsayıyı bulabiliriz:
Dolayısıyla parabol denklemi:
$
f(x) = -5x^2 + 9
$
3. Doğru Denklemini Belirleme
Doğru g(x) = y şeklinde verilmiş. A(1, 4) noktası doğrunun üzerinde olduğundan doğru denklemini yazabiliriz:
Doğru eğimi:
$
m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 - 9}{1 - 0} = -5
$
Doğrunun denklemi:
$
y = -5x + 9
$
4. Taralı Bölgenin Alanı
Taralı bölge, parabol f(x) ile doğru g(x) arasında kalan bölgedir:
Kesim Noktaları
Parabol ve doğruyu eşitleyip kesim noktalarını bulalım. f(x) = g(x):
$
-5x^2 + 9 = -5x + 9
$
$
-5x^2 = -5x
$
$
x^2 = x
$
$
x(x - 1) = 0
$
Kesim noktaları: x = 0 ve x = 1
Alan Hesabı
Taralı alanın formülü:
$
\int_{x=0}^{x=1} |f(x) - g(x)| dx
$
$
= \int_{0}^{1} [(-5x^2 + 9) - (-5x + 9)] dx
$
$
= \int_{0}^{1} (-5x^2 + 5x) dx
$
Şimdi integrali çözelim:
-
-5x^2:
$
\int (-5x^2) dx = -\frac{5x^3}{3}
$ -
5x:
$
\int (5x) dx = \frac{5x^2}{2}
$
Alan:
$
\Big[ -\frac{5x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \Big]_{0}^{1}
$
Sonuçları yerine koyalım:
-
Üst limit (x = 1):
$
-\frac{5(1)^3}{3} + \frac{5(1)^2}{2} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{2}
$
$
= \frac{-10 + 15}{6} = \frac{5}{6}
$ -
Alt limit (x = 0):
$
-\frac{5(0)^3}{3} + \frac{5(0)^2}{2} = 0
$
Sonuç:
5. Sonuç Tablosu
| Adım | Hesaplama |
|---|---|
| Parabol denklemi | f(x) = -5x^2 + 9 |
| Doğru denklemi | g(x) = -5x + 9 |
| Taralı bölge integrali | \int_{0}^{1} (-5x^2 + 5x) dx |
| Sonuç | \frac{5}{6} birim kare |
Sonuç: Cevap seçeneklerinde hata olabilir. Taralı bölgeye ait alan \mathbf{\frac{5}{6}} olarak bulunmuştur.