Olduğuna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

DGS
1

(42
KP8s /GYGK
38. a ve b gerçel sayiları için;
22 =gb
2a+2 4 gb+2 - 544
8 =b4
be1
olduğuna göre a bcarpımı kaçtır?
2’99 1362
2°=3 325
b2

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 87.6 KB

2

Olduğuna göre a \cdot b çarpımı kaçtır?

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:] Üslü sayılarda tabanlar aynı ise üsler birbirine eşittir (a^x = a^y \Rightarrow x=y) ve üslü ifadelerin parçalanması (a^{n+m} = a^n \cdot a^m) kuralı kullanılır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Değişkenleri Aynı Tabana Getirme
Soruda verilen ilk denklem 2^a = 8^b şeklindedir. 8 sayısını 2 tabanında yazalım:
8 = 2^3 olduğuna göre;
2^a = (2^3)^b
2^a = 2^{3b}
Buradan tabanlar eşit olduğu için a = 3b sonucuna ulaşırız.

Adım 2 — İkinci Denklemde Yerine Koyma
İkinci denklemimiz: 2^{a+2} + 8^{b+2} = 544
Bu ifadeyi üslü sayı özelliklerini kullanarak parçalayalım ve a yerine 3b yazalım:
2^a \cdot 2^2 + 8^b \cdot 8^2 = 544
2^{3b} \cdot 4 + (2^3)^b \cdot 64 = 544
2^{3b} \cdot 4 + 2^{3b} \cdot 64 = 544

Adım 3 — Ortak Paranteze Alma ve b Değerini Bulma
2^{3b} ortak parantezine alalım:
2^{3b} \cdot (4 + 64) = 544
2^{3b} \cdot 68 = 544
2^{3b} = \frac{544}{68}
2^{3b} = 8
8 sayısı 2^3 olduğu için;
2^{3b} = 2^3 ise 3b = 3 buradan b = 1 bulunur.

Adım 4 — a Değerini Bulma ve Çarpımı Hesaplama
a = 3b olduğunu biliyorduk:
a = 3 \cdot 1 = 3
Bizden istenen a \cdot b çarpımı:
3 \cdot 1 = 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 3 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Üslü Sayıların Eşitliği

  • [Tanım:] Tabanları aynı olan üslü ifadelerin eşitliğinde üsler de birbirine eşit olmalıdır.
  • [Bu problemde:] 2^a = 2^{3b} eşitliğinden a=3b bağıntısını kurmamızı sağladı.

2. Üslü İfadelerin Toplanması

  • [Tanım:] Üslü ifadeler toplanırken ortak taban ve üsse sahip terimler paranteze alınır.
  • [Bu problemde:] 2^{3b} terimlerini katsayıları ile toplayarak sonuca ulaştık.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Tabanları Eşitlemeden İşlem Yapmak

  • [Yanlış:] a=b veya a+2 + b+2 şeklinde toplama yapmak.
  • [Doğru:] Önce 8 sayısını 2 tabanına çevirip tabanları eşitlemek gerekir.
  • [Neden Yanlış:] Üslü sayılarda tabanlar aynı değilse üsler arasında doğrudan toplama veya eşitleme yapılamaz.

Üslü sayılarla ilgili bu tarz denklemleri pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmemi ister misin?