İki dogru arasindaki uzaklik

Genel Kültür
1

iki dogru arasindaki uzaklik

2

İki Doğru Arasındaki Uzaklık

Cevap:
İki doğrunun birbirine en yakın mesafesini bulmak, geometride hem 2 B düzlemde hem de 3 B uzayda sıklıkla karşımıza çıkar. Aşağıda

  • Düzlemde paralel iki doğru için klasik formül,
  • Öklidyen uzayda eğik (skew) iki doğru için vektörel yaklaşım
    anlatılacak, ardından örnek uygulamalar ve özet tablo sunulacaktır.

Table of Contents

1. Düzlemde Paralel İki Doğru

Düzlemde iki doğru, eğer kesişmiyor ve yön vektörleri aynı ya da ters oryantasyonlu ise “paralel” kabul edilir.

  • Genel form:
    Doğru 1: a x + b y + c_1 = 0
    Doğru 2: a x + b y + c_2 = 0
  • Uzaklık formülü:
    $
    d = \frac{\bigl|,c_2 - c_1,\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
    $

Açıklama: Payda, doğruların ortak yön vektörünün ([a,\,b]) uzunluğudur; payda mutlak fark ise paralel doğrular arasındaki dik uzaklığı verir.

2. Öklidyen Uzayda Eğik (Skew) İki Doğru

3 B uzayda, doğruların ya kesişen ya paralel ya da eğik (skew) olma durumları vardır. Eğik doğrular hem kesişmez hem paralel değildir.

  • Doğru 1: \mathbf{r}_1 = \mathbf{p}_1 + t\,\mathbf{u}
  • Doğru 2: \mathbf{r}_2 = \mathbf{p}_2 + s\,\mathbf{v}
  • \mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2: Uzaydaki sabit noktalar
  • \mathbf{u},\mathbf{v}: Yön vektörleri

Uzaklık formülü:
$
d = \frac{\bigl|\bigl(\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)\bigr|}{|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|}
$

Açıklama:

  • \mathbf{u}\times\mathbf{v} doğrulara dik olan vektördür.
  • Pay, başlangıç noktaları arasındaki farkın bu dik vektöre izdüşüm büyüklüğüdür.
  • Payda, iki yön vektörünün dikine elverişli uzunluktur.

3. Örnek Uygulamalar

3.1. Düzlemde Paralel Doğru

Doğrular:

  1. 3x - 4y + 5 = 0
  2. 3x - 4y - 7 = 0

Uzaklık:
$
d = \frac{|(-7) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
= \frac{12}{5} = 2{,}4
$

3.2. 3 B Eğik Doğru

  • \mathbf{p}_1 = (1,0,2), \mathbf{u} = (2, -1, 1)
  • \mathbf{p}_2 = (0,3,1), \mathbf{v} = (1, 1, -2)
  1. \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = (-1,3,-1)
  2. $\mathbf{u}\times\mathbf{v}
    = \begin{vmatrix}
    \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
    2 & -1 & 1 \
    1 & 1 & -2
    \end{vmatrix}
    = (2\cdot -2 - 1\cdot1,; 1\cdot1 - 2\cdot -2,; 2\cdot1 - (-1)\cdot1)
    = (-5,;5,;3)$
  3. Pay:
    $
    |(-1,3,-1)\cdot(-5,5,3)| = |5 + 15 - 3| = 17
    $
  4. Payda:
    $
    |(-5,5,3)| = \sqrt{25 + 25 + 9} = \sqrt{59}
    $
  5. Sonuç:
    $
    d = \frac{17}{\sqrt{59}}
    \approx 2{,}21
    $

4. Özet Tablo

Durum Denklem/Formül Notlar
Paralel 2 B doğrular $d = \dfrac{ c_2 - c_1
Kesişen doğrular d = 0 Ortak nokta vardır
3 B eğik (skew) doğrular $d = \dfrac{\bigl (\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr

5. Özet ve Anahtar Noktalar

  • Düzlemde paralel doğrular için formül, sabit terimler farkının normale oranıdır.
  • Kesişen doğruların uzaklığı sıfırdır.
  • 3 B eğik doğrular arasındaki uzaklık, aralarındaki uzak vektörün, yön vektörlerinin dış çarpımıyla oluşturduğu dik vektöre izdüşümü kadardır.

Bu formüller analitik geometrinin temel taşlarındandır ve mühendislikten bilgisayar grafiğine kadar geniş uygulama alanına sahiptir.

@Dersnotu