Trigoo

YKS TYT
1

IMG_6415
IMG_64151010×838 52.5 KB

2

Yukarıdaki üçgen problemini çözelim.

Soru: Yukarıdaki verilere göre, \sin(4x) kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. Üçgen ve verilen değerleri inceleme

Üçgende verilen bilgiler:

  • AB = \sin x \, \text{cm}
  • BC = \cos x \, \text{cm}
  • AC = \sqrt{\sin(4x)} \, \text{cm}
  • \angle ABC = 2x

2. Üçgenlerde temel trigonometri

ABC bir dik üçgendir, çünkü 0^\circ < x < 45^\circ koşulu sağlanmaktadır ve üçgende trigonometrik oranlar verilmiş. Buradan Pisagor teoremini ve trigonometrik ilişkileri kullanabiliriz.

3. Pisagor teoremi

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasında aşağıdaki bağıntıyı verir:

AB^2 + BC^2 = AC^2

Verilen değerleri yerine koyarak işlem yapalım:

  • AB = \sin x ⇒ AB^2 = (\sin x)^2
  • BC = \cos x ⇒ BC^2 = (\cos x)^2
  • AC = \sqrt{\sin(4x)} ⇒ AC^2 = \sin(4x)

Şimdi yerine yazalım:

(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = \sin(4x)

Daha önce trigonometriden bildiğimiz \sin^2x + \cos^2x = 1 özdeşliğini kullanacağız:

1 = \sin(4x)

4. Sonuç

Buradan \sin(4x) = 1 bulunur.

Doğru yanıt: E) \frac{3}{2} ifadesi verilen durumda yerini değiştiren opsiy.

@imparatoorr

3

Yukarıdaki verilere göre, \sin(4x) kaçtır?

Cevap:

Verilenler ve Soru Analizi

  • 0^\circ < x < 45^\circ olmak üzere, ABC üçgenin kenarları ve açıları:
    • |AB| = \sin x
    • |BC| = \cos x
    • |AC| = \sqrt{\sin(4x)}
    • m(\angle ABC) = 2x

Bizden, \sin(4x) değeri isteniyor (\sin(4x) = ?).

Çözüm Adımları

1. Kosinüs Teoremi Uygulaması

ABC üçgeninde \angle B = 2x,

AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(2x) = AC^2

Yerine koyarsak:

  • AB = \sin x
  • BC = \cos x
  • AC = \sqrt{\sin(4x)} (kare alırsak AC^2 = \sin(4x))
(\sin x)^2 + (\cos x)^2 - 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot \cos(2x) = \sin(4x)

2. Denklemde Sadeleştirme

(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1, çünkü trigonometrik toplam bağıntısıdır.

1 - 2\sin x \cos x \cdot \cos(2x) = \sin(4x)

3. \sin(4x) Açılımını Kullanma

Ayrıca, \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x). Ama başka bir yoldan gidelim (çözümde bağımsız bırakacağız).

4. Ekstra Bilgi: \sin(2x) = 2\sin x \cos x

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) formülünü açarsak:

\sin(4x) = 2 \cdot 2 \sin x \cos x \cdot \cos(2x) = 4 \sin x \cos x \cos(2x)

5. Elde Edilen Sonuçla Karşılaştırma

Bir önceki denklemimiz:

1 - 2\sin x \cos x \cdot \cos(2x) = \sin(4x)

Ancak yukarıda bulunan açılım:

\sin(4x) = 4 \sin x \cos x \cos(2x)

Denklemi yeni bulduğumuz açılıma göre yeniden yazalım:

Orijinal denklem şu şekildeydi:

1 - 2\sin x\cos x \cdot \cos(2x) = \sin(4x)

\sin(4x) = 4\sin x\cos x \cos(2x)
Şimdi yerine koyarsak:

1 - 2\sin x\cos x \cdot \cos(2x) = 4\sin x\cos x \cos(2x)

Sağ tarafa 2$\sin x\cos x\cos(2x)$ ekleyelim:

1 = 6\sin x\cos x \cos(2x)
\sin x\cos x\cos(2x) = \frac{1}{6}

Şimdi \sin(4x) bulunur:

\sin(4x) = 4 \sin x \cos x \cos(2x)
\sin(4x) = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

Doğru Seçenek:

\boxed{\frac{2}{3}}

Ancak şıklarda görünmüyor. En yakın şık \frac{4}{5} ve \frac{3}{5}. Eğer kitapta baskı hatası yoksa, teorik olarak cevap \boxed{\frac{2}{3}} çıkar. Hesaplarda hata yoktur, adım adım gösterilmiştir.

Önemli Noktalar

  • Kosinüs Teoremi ve trigonometrik açılım bilgileri doğrudan kullanıldı.
  • Kritik formüller: \sin(4x) açılımı ve toplama özdeşlikleri.

@imparatoorr

4

0° < x < 45° olmak üzere bir ABC üçgeninde AB = sinx, BC = cosx, AC = √(sin(4x)) ve ∠ABC = 2x verilmiştir. Yukarıdaki bilgilere göre sin(4x) kaçtır?

Answer:

Bu üçgende kenarlar ve açı şu şekilde “eşleştirilmiştir”:
• AB ve BC doğruları arasındaki açı B (yani ∠ABC = 2x),
• Dolayısıyla AC, B açısına karşılık gelen kenar olup uzunluğu √(sin(4x))’dir.

Üçgenlerde kenar ve açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için kosinüs teoremini (Law of Cosines) kullanabiliriz:

  1. Kosinüs teoremi, ∠B’ye karşılık gelen kenar AC için:
    AC² = AB² + BC² − 2·(AB)·(BC)·cos(∠B)

  2. Verilenlere yerleştirelim:
    – AC = √(sin(4x)) → AC² = sin(4x)
    – AB = sinx
    – BC = cosx
    – ∠B = 2x

Dolayısıyla:

sin(4x) = (sinx)² + (cosx)² − 2·(sinx)(cosx)·cos(2x).

Bildiğimiz gibi (sinx)² + (cosx)² = 1 eşitliğini kullanıyoruz. Böylece:

sin(4x) = 1 − 2·sinx·cosx·cos(2x). …(1)

Öte yandan, trigonometrinin bilinen özdeşliklerinden:

sin(4x) = 2·sin(2x)·cos(2x) = 2·(2·sinx·cosx)·cos(2x) = 4·sinx·cosx·cos(2x). …(2)

(1) ve (2) numaralı ifadeler sonuçta aynı sin(4x) değerini göstermelidir. Dolayısıyla:

4·sinx·cosx·cos(2x) = 1 − 2·sinx·cosx·cos(2x).

Bu denklemi çözersek:

4·sinx·cosx·cos(2x) + 2·sinx·cosx·cos(2x) = 1

6·sinx·cosx·cos(2x) = 1

sinx·cosx·cos(2x) = 1/6.

Bunu sin(4x) = 4·sinx·cosx·cos(2x) ifadesine yerleştirirsek:

sin(4x) = 4 × (1/6) = 2/3.

Dolayısıyla üçgendeki bu verilere göre:

sin(4x) = 2/3.

@imparatoorr

5

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!