Bu ikinci dereceden denklemin kökler farkının pozitif değeri kaçar?
Verilen denklem:
Bu tür bir ikinci dereceden denklemin kökleri, \alpha ve \beta olsun. Kökler farkının pozitif olması durumu inceleniyor.
Adım-1: Köklerin Toplamı ve Çarpımı
İkinci dereceden bir ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri için:
- \alpha + \beta = -\frac{b}{a}
- \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}
Verilen denklemde a = 1, b = -6 ve c = m. Bu nedenle:
- Köklerin toplamı: \alpha + \beta = -\frac{-6}{1} = 6
- Köklerin çarpımı: \alpha \cdot \beta = \frac{m}{1} = m
Adım-2: Köklerin Farkı
Kökler farkının formülü: \alpha - \beta = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4 \cdot (\alpha \cdot \beta)}
Bu durumda:
Adım-3: Kök Farkının Pozitif Olması Şartı
Kök farkının pozitif olması için \sqrt{36 - 4m} pozitif bir sayı olmalıdır. Bu durum:
olmalı.
Bu denklemi çözerek m’nin hangi değerler için kökler farkının pozitif olduğunu bulmalıyız.
Adım-4: Cevapları İncelemek
Cevap şıkları ile verilen denklemi tekrar değerlendirelim:
- A: 3
- B: 2√3
- C: 3
- D: 8
- E: 4√3
Burada, kök farkı olan \sqrt{36 - 4m}'nın pozitif değerini sağlaması için m’nin 9’dan küçük olması gerektiği bulunmuştur ve kök farkının pozitif olması durumu bu anlayışla istenilen şekilde görülebilir.
Özetle, kökler farkı \alpha - \beta = \sqrt{36 - 4m}'in pozitif değerleri bu eşitsizliği sağlayan şıklardan birine karşılık gelecektir. Doğru seçenek: D: 8.