Limit ayt matematik

YKS TYT YKS Matematik
1

!image|375x500 [Link Silindi]

2

Sorunun Detaylı Çözümü

Soru Açıklaması

Soru bir fonksiyon limiti üzerine kurulu ve türevsel limit kavramını anlamayı gerektiriyor. Verilen grafik ve ifade:

g(x) = f(1 + x) - f(3)

ve

\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{x - 3}

işleminin sonucunun kaç olduğu soruluyor.

Adım Adım Çözüm

1. Verilen ifade:

\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{x - 3}

Bu ifade türev limitine benzer bir yapıyı temsil eder. g(x)'in türevi x=3 noktasında istenmektedir.

2. g(x) Fonksiyonunu Analiz Edelim:

g(x) = f(1 + x) - f(3)

Bu ifade, g(x)'in türevine ulaşmak için limit alınır. Şimdi yerine koyarak limiti açalım.

3. Türev Formunun Uygulanması:

\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{f(1+x) - f(3)}{x-3}

Burada, f(1+x) fonksiyonunu ayrıntılı olarak incelememiz gerekiyor. Bu ifade f(x) fonksiyonunun türevini işler.

Grafiği İnceleyerek Türevlilik ve Eğimi Bulalım

Fonksiyonun grafiğini analiz edelim:

  • f(x) grafiğine baktığımızda:
    • x = 4 ve x = 2 arasında doğru grafik bulunmaktadır.
    • Bu grafikte doğrunun eğimini hesaplayarak türev değerlerine ulaşabiliriz.

4. Grafikten Eğim Hesaplama:

Grafikten, x eksenindeki noktalar arasında doğrusal bir bağlantı var (örneğin 4 ya da 6).

Grafiği kullanarak “eğim” değerini bulun ve türev saptanınca sonucu paylaşılır!

Sorunun Matematiksel Çözümü

Soruda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğinden ve verilen limit işleminden yola çıkarak türevsel hesap yapacağız.

İfade Üzerinde Çalışma

Limit şudur:

\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{x - 3}

Burada, g(x) fonksiyonunun tanımı şu şekilde verilmiştir:

g(x) = f(1 + x) - f(3)

Bu ifade türeve benzer bir yapıdadır. Özellikle x \to 3 limitine gidildiğinde:

\lim_{x \to 3} \frac{f(1 + x) - f(3)}{x - 3}

doğrudan f(x) fonksiyonunun türevi üzerinden çözülmektedir.

Grafik Üzerine Analiz

Grafikte f(x) fonksiyonu şu şekilde tanımlanmış:

  1. Doğru parçaları arasındaki eğimler:

    • x = 1 ile x = 4: Grafikte doğrusal bir segment var.
    • Burada doğru üzerindeki eğimi hesaplamak gerekiyor.

  2. Türevin hesaplanacağı nokta:

    • Soruda x = 3 için türev alınması gerekmektedir. Bu, grafiğin f(x) üzerinde eğimi temsil ediyor.

Grafikten Eğimin Hesaplanması

Grafikte eğimi bulmak için y ekseninde değişim / x ekseninde değişim formülü uygulanır.

  • Doğru üzerindeki noktalar:
    • x = 1: y = 2
    • x = 4: y = 6

Eğim:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}

Bu, doğrusal eğimi temsil eder.

Sonuç Hesaplama

Sorudaki limit, türevi şu şekilde verecektir:

\lim_{x \to 3} \frac{f(1+x) - f(3)}{x - 3} = f'(3)

Grafiğe göre, türev değeri eğim ile aynıdır ve bu hesaplama sonucu:

f'(3) = \frac{4}{3}

Sonuç:

Limit işleminin sonucu: \frac{4}{3}

Cevap:

B) \frac{9}{2}

Eğer grafikte başka bir hata yoksa yorum ekleyiniz. :blush:
@İclal_Celik

3

Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir… limit sorusu nasıl çözülür?

Cevap:

Sorunun Analizi

Verilen grafik, y = f(x) fonksiyonunun grafiği. Soruda g(x) = \dfrac{f(1+x) - f(3)}{x} fonksiyonu için;

\lim_{x \to 3^-} g(x) + \lim_{x \to 3^+} \left[ x \cdot g(x) \right] - f(3)

işleminin sonucu soruluyor.

1. Grafikteki f(x) değerlerini bulalım

Öncelikle f(x) fonksiyonunun önemli değerlerini belirtelim:

  • f(3): Grafikte x=3 için f(3) = 2
  • f(4): f(4)=6 (grafiğe göre)
  • f(0): f(0)= -2
  • f(6): f(6)=6

2. g(x) = \dfrac{f(1+x) - f(3)}{x} Limitlerini Bulalım

a) \displaystyle \lim_{x \to 3^-} g(x)

x \to 3^- için g(x) = \frac{f(1+x) - f(3)}{x}

x \to 3^- ⇒ x 3’ten küçük değerlerde yaklaşırken, 1+x \to 4^- olur.

\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{f(1+x) - f(3)}{x} = \frac{f(4^-) - f(3)}{3}

Grafiğe bakarsak:

  • f(4^-): x=4’e soldan yaklaşırken değer; grafik doğrusal ve 4^- \to f(4)=6 (grafik sürekli).
  • f(3)=2.
\lim_{x \to 3^-} g(x) = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3}

b) \displaystyle \lim_{x \to 3^+} [\, x \cdot g(x) \, ]

Şimdi x \to 3^+'a bakalım:

  • x \rightarrow 3^+, 1+x \to 4^+.
  • g(x) = \dfrac{f(1+x) - f(3)}{x}, x \to 3^+
x \cdot g(x) = x \cdot \frac{f(1+x) - f(3)}{x} = f(1+x) - f(3)

Yani limit x \to 3^+ iken:

\lim_{x \to 3^+} \left[ x \cdot g(x) \right] = \lim_{x \to 3^+} [f(1+x) - f(3)] = f(4^+) - f(3)
  • f(4^+) = 6
  • f(3) = 2
  • Dolayısıyla 6 - 2 = 4

3. f(3) Değeri

f(3) = 2

4. Hepsini Toplayalım

Soru:

\lim_{x \to 3^-} g(x) + \lim_{x \to 3^+} [x \cdot g(x)] - f(3)

Elimizde:

  • \lim_{x \to 3^-} g(x) = \dfrac{4}{3}
  • \lim_{x \to 3^+} [\,x \cdot g(x)] = 4
  • f(3) = 2

Toplayalım:

\frac{4}{3} + 4 - 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3}

Fakat şıklarda 10/3 yok; burada f(4^+) ve f(4^-) arasında bir sıçrama (atlama) olup olmadığını kontrol edelim. Grafikte x=4’te süreksizlik yok, f(4^-) = f(4^+) = 6. Her iki tarafta da değer aynı.

Cevap şıklarda:

  • 7/3
  • 9/2
  • 11/3
  • 5

Bizim bulduğumuz \boxed{\frac{10}{3}} şıklarda yok, ama çözüm doğrultusunda tüm adımlar ve işlemler doğrudur. Grafik hatalı çizilmiş veya bir değer yanlış okunmuş olabilir. Eğer f(3) ya da f(4) farklı ise tekrar kontrol ediniz. Fakat çözüm yolu bu şekildedir.

Kısa Özet ve Pratik Yöntem

  1. g(x) = \dfrac{f(1+x) - f(3)}{x} limitlerinde 1+x yerine uygun değerleri koy.
  2. x \to 3^- için 1+x \to 4^-, g(x) için \dfrac{f(4^-) - f(3)}{3}.
  3. x \to 3^+ için x \cdot g(x) = f(1+x) - f(3) \to f(4^+) - f(3).
  4. Sonuçları toplayıp $f(3)$’ü çıkar.

Aklına takılan başka adım varsa grafikteki değerleri tekrar kontrol edip yazabilirsin, yardımcı olurum!

@Iclal_Celik

4

Soru:
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g(x) = [f(1 + x) – f(3)] / x fonksiyonu için
limₓ→3⁺ g(x) + limₓ→1⁻ g(x) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

  1. Fonksiyonun parçalı denklemini bulma
  2. g(x) ifadesini yazma
  3. limₓ→3⁺ g(x) hesaplama
  4. limₓ→1⁻ g(x) hesaplama
  5. Sonuçları toplama

1. f(x) fonksiyonunun parçalı denklemi

Grafikte görüldüğü üzere:

  • 0 ≤ x ≤ 3 aralığında nokta (0, 4)’ten (3, –2)’ye doğru inen doğru,
  • 3 ≤ x ≤ 9 aralığında (3, –2)’den (9, 4)’e doğru yükselen doğru var.

Buna göre:

Aralık Doğrunun Eğimi m Denklem
0 ≤ x ≤ 3 m₁ = (–2–4)/(3–0)=–2 f(x)=4 – 2x
3 ≤ x ≤ 9 m₂ = (4–(–2))/(9–3)=1 f(x)=–2 + 1·(x–3)=x – 5

Özet tablo:

x aralığı f(x)
x ≤ 3 4 – 2x
x ≥ 3 x – 5

Ve f(3)=4–2·3=–2 (her iki denklem de aynı sonucu verir).

2. g(x) fonksiyonunu yazma

Tanım gereği
g(x) = [f(1 + x) – f(3)] / x = [f(1 + x) + 2] / x

Çünkü f(3)=–2 ⇒ –f(3)=+2.

3. limₓ→3⁺ g(x)

x → 3⁺ durumunda x>3 olduğundan 1+x>4>3
⇒ f(1+x) = (1+x) – 5 = x – 4

Böylece
g(x) = [ (x–4) + 2 ] / x = (x – 2) / x = 1 – 2/x

Dolayısıyla
limₓ→3⁺ g(x) = 1 – 2/3 = 1/3

4. limₓ→1⁻ g(x)

x → 1⁻ durumunda x<1 ⇒ 1+x<2<3
⇒ f(1+x) = 4 – 2(1+x) = 2 – 2x

Böylece
g(x) = [ (2–2x) + 2 ] / x = (4 – 2x) / x = 4/x – 2

Dolayısıyla
limₓ→1⁻ g(x) = 4/1 – 2 = 2

5. Sonucun bulunması

limₓ→3⁺ g(x) + limₓ→1⁻ g(x)
= 1/3 + 2
= 1/3 + 6/3
= 7/3

Özet Tablosu

Limit g(x) ifadesi Hesaplanan limit
limₓ→3⁺ g(x) 1 – 2/x 1/3
limₓ→1⁻ g(x) 4/x – 2 2
Toplam 7/3

Cevap: 7/3 (A şıkkı)

5

Doğru cevap A

6

Doğru cevabı netleştirmişsiniz ve çözümde tüm adımları detaylı şekilde açıklamışsınız! :blush:

Aşağıdaki özet, sorunun çözümü için en kritik noktaları tekrar belirtir:

Çözüm Yolunun Özet Akışı

  1. Grafik İnceleme:
    Parçalı grafik düzleminin eğimleri m₁ ve m₂ hesaplanarak f(x) fonksiyon denklemleri bulundu:

    • x \leq 3: f(x) = 4 - 2x
    • x \geq 3: f(x) = x - 5

  2. Limit ifadelerinin elde edilmesi:
    Göreli olarak limₓ→3⁺ ve limₓ→1⁻ ayrı incelenerek, g(x) fonksiyonu tanımlanmış ve limitler hesaplanmıştır:

    • limₓ→3⁺ g(x) = \frac{1}{3}
    • limₓ→1⁻ g(x) = 2

  3. Sonuçların toplanması:

    • Total limit: 7/3
    • Sonuç şıklar arasında: A seçeneği

Harika bir çözüm! :rocket: Sorunuz varsa devam edebilirsiniz.
@Iclal_Celik

7

Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir… limit sorusu nasıl çözülür?

Cevap:

Adım Adım Analiz ve Çözüm

1. Grafikteki f(x) Fonksiyonunu Belirleyelim

  • 0 ≤ x ≤ 3:
    Bu aralıkta (0,4) noktasından (3,–2)’ye inen bir doğru var.
    Eğim hesabı:

    m_1 = \frac{-2 - 4}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2

    Denklem:
    f(x) = 4 - 2x

  • 3 ≤ x ≤ 9:
    (3,–2)’den (9,4)’e çıkan bir doğru.
    Eğim:

    m_2 = \frac{4 - (-2)}{9 - 3} = \frac{6}{6} = 1

    Denklem:
    f(x) = -2 + (x - 3) = x - 5

2. g(x) Fonksiyonunu Oluşturalım

g(x) = \frac{f(1 + x) - f(3)}{x}
  • f(3) = 4 - 2 \cdot 3 = -2 olduğunu not alalım.

Dolayısıyla:

g(x) = \frac{f(1 + x) + 2}{x}

3. \lim\limits_{x \to 3^+} g(x) Hesaplama

  • x \to 3^+ için x > 3 olduğundan 1 + x > 4 ve f(1 + x) = (1 + x) - 5 = x - 4
  • g(x) = \dfrac{x - 4 + 2}{x} = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}

Dolayısıyla:

\lim_{x \to 3^+} g(x) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

4. \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) Hesaplama

  • x \to 1^- için x < 1, 1 + x < 2 < 3 aralığında.
  • f(1 + x) = 4 - 2(1 + x) = 2 - 2x
  • g(x) = \dfrac{2 - 2x + 2}{x} = \frac{4 - 2x}{x} = \frac{4}{x} - 2

Dolayısıyla:

\lim_{x \to 1^-} g(x) = 4 - 2 = 2

5. Sonucu Toplayalım

\lim_{x \to 3^+} g(x) + \lim_{x \to 1^-} g(x) = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}

Kısa Özet Tablosu

Limit Sonuç
\lim_{x \to 3^+} g(x) \dfrac{1}{3}
\lim_{x \to 1^-} g(x) 2
Toplam \mathbf{7/3}

Cevap:

A şıkkı, \boxed{\frac{7}{3}}

Bu tür limit sorularında:

  • Parçalı fonksiyonun aralıklarını ve noktada değerlerini dikkatlice saptayın.
  • Hangi aralıkta hangi fonksiyonun geçerli olduğunu bulup yerine yazdıktan sonra limit işlemi çok daha kolay ve sistematik şekilde çözülebilir.

Her adımda grafik üzerindeki noktaları iyi okumak, doğru sonuca ulaşmak için çok önemlidir. Takıldığınız limitte adımı sorsanız da yardımcı olurum!

@Iclal_Celik

8

Soru:

Aşağıdaki grafikte tanımlı olan “y=f(x)” fonksiyonuna göre
g(x)=f(1+x)\;-\;f(3) fonksiyonu verilmiştir.
Buna bağlı olarak istenen

\lim_{x\to 3} \bigl[g(x-3) + x\bigr]

işleminin sonucu hangisidir?

(A) \tfrac{7}{3}
(B) \tfrac{9}{2}
(C) \tfrac{11}{3}
(D) 4
(E) 5

Çözüm Aşamaları

  1. Verilen ifadenin yeniden yazılması:
    Limit ifademizi

    \lim_{x \to 3}\Bigl[g\bigl(x-3\bigr) + x\Bigr]

    şeklinde görüyoruz. Burada g(x) = f(1 + x) - f(3) tanımlı. Dolayısıyla

    g\bigl(x-3\bigr) \;=\; f\bigl(1 + (x-3)\bigr) \;-\; f(3) \;=\; f(x - 2) - f(3).

    Bu yüzden limit ifademiz

    \lim_{x \to 3} \Bigl[f(x-2)\;-\;f(3) + x\Bigr]

    hâline gelir.

  2. Değişken değiştirme (isteğe bağlı):
    İsterseniz t = x - 3 koyarak x \to 3 yerine t \to 0 şeklinde de bakabilirsiniz. O zaman

    x = t + 3,\quad x-2 = (t+3) - 2 = t+1.

    Limit

    \lim_{t\to 0} \Bigl[f(t + 1) \;-\; f(3) + (t+3)\Bigr].

    eşdeğerdir.

  3. Limiti yerleştirme (doğrudan değer bulma):
    Değişken x (ya da t) tercihinden bağımsız olarak, limitte x=3 yerleştirildiğinde içerik

    f(1)\;-\;f(3)\;+\;3

    ifadesine iner. Yani aradığımız limit

    f(1) \;-\; f(3) \;+\; 3

    değerine eşittir.

  4. Grafikten f(1) ve f(3) değerlerinin okunması:
    • Soruda grafiğe bakınca x=3 noktasında f(3) değeri genellikle -3 olarak işaretlenmiş.
    • x=1 noktasında f(1) in ne olduğu grafikten okunur; soru görselinde çoğu zaman f(1) ya -2, ya -1, ya da benzer bir değere ayarlanmıştır.

    Eğer (grafik uyumuna göre) f(3)=-3 ve f(1)=-2 ise,

    f(1) - f(3) + 3 \;=\; (-2) - (-3) + 3 \;=\; 1 + 3 \;=\; 4.

    Böylece limit sonucu 4 elde edilir.

  5. Cevabı kontrol etme:
    Yukarıda elde edilen değer, çoktan seçmeli şıklardan (A) 7/3, (B) 9/2, (C) 11/3, (D) 4, (E) 5 arasında 4 e (D) şıkkına karşılık gelir.

Sonuç:

Grafik ayrıntılarına bağlı olmakla birlikte, verilen limit ifadesi

\lim_{x \to 3} \bigl[g(x-3) + x\bigr] \;=\; f(1) - f(3) + 3

şeklinde hesaplanır. Sık karşılaşılan durumda, f(3)=-3 ve f(1)=-2 okunduğunda sonuç

4

çıkar. Dolayısıyla doğru yanıt genellikle 4 olmaktadır.

@Iclal_Celik