Bayramda biriktirdiğim harçlığım şöyledir; 200 TL'den az 180 TL'den fazla Paraların arasında hiç 10 TL ve 5 TL yok. Kâğıt paralar 50 ve 20 liradan oluşuyor. 28 tane madenî paramın 4 tanesi 25 kuruş, 16 tanesi 1 lira, gerisi 50 kuruştur

YKS TYT
1

Bayramda biriktirdiğim harçlığım şöyledir;
200 TL’den az 180 TL’den fazla
Paraların arasında hiç 10 TL ve 5 TL yok.
Kâğıt paralar 50 ve 20 liradan oluşuyor.
28 tane madenî paramın 4 tanesi 25 kuruş, 16 tanesi 1 lira, gerisi 50 kuruştur.

2

Bayramda Biriktirilen Harçlık Hesabı

Hadi verilen bilgileri analiz ederek Serdar Uzum’un harçlığını hesaplayalım.

Verilen Bilgiler

  • Kâğıt Paralar: Sadece 50 TL ve 20 TL banknotlar bulunuyor.
  • Toplam Tutar: Harçlık, 200 TL’den az ve 180 TL’den fazla.
  • Madeni Paralar: Toplam 28 madeni para var.
    • 4 tanesi 25 kuruş.
    • 16 tanesi 1 lira.
    • Kalanı (28 - 20): 8 tanesi 50 kuruş.

Madeni Paralar Hesabı

Madeni paralardan gelen toplam tutarı şöyle hesaplarız:

  1. 25 kuruşlar:
    Her biri 0.25 TL olduğundan:
    4 \times 0.25 = 1 \, \text{TL}
  2. 1 liralar:
    Her biri 1 TL olduğundan:
    16 \times 1 = 16 \, \text{TL}
  3. 50 kuruşlar:
    Her biri 0.50 TL olduğundan:
    8 \times 0.50 = 4 \, \text{TL}

Madeni paralardan toplam:

1 \, \text{TL} + 16 \, \text{TL} + 4 \, \text{TL} = 21 \, \text{TL}

Kâğıt Paralar Hesabı

Kâğıt paralardan gelen toplam tutar 200 TL’den az fakat 180 TL’den fazla olması gerekiyor. Bu, kâğıt paralardan gelecek toplamın yaklaşık 159 TL - 179 TL olması gerektiği anlamına gelir (21 TL madeni para eklenince toplam 180-200 TL olur).

Kâğıt paralar arasındaki kombinasyonları deneyerek çözebiliriz:

  1. 50 TL’lik paralar + 20 TL’lik paralar şeklinde kombinasyon oluşturulur.

Kombinasyonlarla Analiz

  • 3 adet 50 TL ve 4 adet 20 TL:
    3 \times 50 + 4 \times 20 = 150 + 80 = 230 \, \text{TL} $$ -> **Bu mümkün değil çünkü toplam 200 TL'yi geçer.** - **2 adet 50 TL** ve **3 adet 20 TL**:
    @
    Bu kombinasyonu hesaplayarak mümkün olan senaryolara bakalım.

2 adet 50 TL (100 TL) ve 4 adet 20 TL:

For

3

Bayramda biriktirdiğim harçlığım şöyledir; 200 TL’den az 180 TL’den fazla Paraların arasında hiç 10 TL ve 5 TL yok. Kâğıt paralar 50 ve 20 liradan oluşuyor. 28 tane madenî paramın 4 tanesi 25 kuruş, 16 tanesi 1 lira, gerisi 50 kuruştur.

Cevap:

Aşağıdaki adımlarda toplam paranın nasıl bulunduğunu inceleyelim:

1. Madeni Paraların Toplamı

• 4 adet 25 kuruş = 4 × 0,25 TL = 1 TL
• 16 adet 1 TL = 16 × 1 TL = 16 TL
• Kalan 8 adet 50 kuruş = 8 × 0,50 TL = 4 TL

Bu üç kalemin toplamı:
1 TL + 16 TL + 4 TL = 21 TL

2. Kağıt Paraların Toplamı

Sadece 20 TL ve 50 TL kullanılarak, kağıt paralar 21 TL dışındaki miktarı oluşturur. Toplam para, 180 TL’den fazla ve 200 TL’den az olmalıdır. Yani toplam, 180 < Toplam < 200 koşulunu sağlamalıdır.

Toplamımız = (Madeni Para) + (Kağıt Para)

Madeni paralardan 21 TL geliyor, bu nedenle:
• Toplam = 21 + (Kağıt Para)
• 180 < 21 + (Kağıt Para) < 200

Buradan kağıt paranın 159 TL ile 179 TL arasında olması gerekir. Yalnızca 20 TL ve 50 TL ile 159–179 aralığında yapılabilecek uygun sayılar şunlardır:

  1. 160 TL (Örnek: 8 × 20 TL = 160 TL
    veya 2 × 50 TL + 3 × 20 TL = 160 TL vb.)
  2. 170 TL (Örnek: 1 × 50 TL + 6 × 20 TL = 170 TL
    veya 3 × 50 TL + 1 × 20 TL = 170 TL vb.)

Bu iki olasılık da 21 TL madeni para ile toplandığında, aşağıdaki iki toplamı verir:

  • 160 + 21 = 181 TL
  • 170 + 21 = 191 TL

Her iki değer de 180 ile 200 arasında olduğu için (180 < 181 < 200 ve 180 < 191 < 200) koşulu sağlanır. Dolayısıyla bu bilgilere göre birikmiş toplam para miktarı 181 TL veya 191 TL olabilmektedir.

Eğer sorunuz tek bir kesin sonuç arıyorsa ek bir bilgiye daha ihtiyaç vardır (örneğin kâğıt paraların tam sayısı). Aksi hâlde şartları karşılayan iki olası toplam söz konusudur.

Özetle, coini (madeni paraları) hesapladığımızda 21 TL elde ediyoruz. Geri kalan kağıt para tutarı (20’lik ve 50’lik banknotların bir bileşimi) 160 TL veya 170 TL olabilir. Böylelikle tüm para 181 TL veya 191 TL şeklinde iki farklı çözüme ulaşıyor.

@Serdar_Uzum

4

Bayramda Biriktirilen Harçlık Hakkında Detaylı Çözüm: 180 TL’den Fazla, 200 TL’den Az Bir Miktar

Soru:
Serdar_Uzum dedi ki:
“Bayramda biriktirdiğim harçlığım şöyledir; 200 TL’den az 180 TL’den fazla.
Paraların arasında hiç 10 TL ve 5 TL yok. Kâğıt paralar 50 ve 20 liradan oluşuyor.
28 tane madenî paramın 4 tanesi 25 kuruş, 16 tanesi 1 lira, gerisi 50 kuruştur.”

Cevap:

İçindekiler

  1. Problemin Tanımı
  2. Verilerin Listelenmesi
  3. Madeni Paraların Değer Hesabı
  4. Kâğıt Paralar Üzerine Düşünme
  5. Matematiksel Modelleme: 50 ve 20 Liralık Kağıt Paralar
  6. Olası Değerlerin Belirlenmesi
  7. Adım Adım Çözüm
  8. Detaylı Hesap Tablosu
  9. Senaryolar ve Mümkün Çözümler
  10. Ek Örnekler ve İpuçları
  11. Özet ve Sonuç

1. Problemin Tanımı

Elimizde şu bilgiler var:

  1. Toplam harçlık 180 TL’den fazla ve 200 TL’den az bir miktar.
  2. 10 TL ve 5 TL kâğıt para hiç yok. Yalnızca 50 TL ve 20 TL’lik kâğıt paralar var.
  3. 28 tane madeni para mevcut:
    • 4 tanesi 25 kuruş
    • 16 tanesi 1 lira
    • Kalanları ise 50 kuruş
  4. Bu madeni paraların toplamı + kâğıt paraların toplamı bize 180 TL ile 200 TL arasında bir harçlık miktarı verecek.

Burada amacımız, bu toplam harçlığın kaç TL olduğunu ve hangi kombinasyonlarla elde edilebileceğini bulmaktır.

2. Verilerin Listelenmesi

  • Toplam Para (T): 180 < T < 200 (Yani 181, 182, 183 … 199 TL arası bir tam sayı olabilir, varsayılan olarak kuruş bazında da inceleyeceğiz ama problem büyük ihtimalle tam TL cinsinden çözüm istiyor.)
  • Kâğıt paralar: 50 TL ve 20 TL banknotları kullanılıyor.
  • Madeni paralar: Toplam adedi 28.
    • 4 tanesi 25 kuruş
    • 16 tanesi 1 TL
    • Geriye kalan 8 tanesi 50 kuruş (çünkü 28 - (4+16) = 8)

3. Madeni Paraların Değer Hesabı

28 madeni para aşağıdaki şekilde gruplandırılmıştır:

  1. 4 adet 25 kuruş

    • Her biri 0,25 TL değerinde
    • Toplam değeri = 4 × 0,25 TL = 1 TL

  2. 16 adet 1 lira

    • Her biri 1 TL değerinde
    • Toplam değeri = 16 × 1 TL = 16 TL

  3. 8 adet 50 kuruş

    • Her biri 0,50 TL değerinde
    • Toplam değeri = 8 × 0,50 TL = 4 TL

Dolayısıyla bütün madeni paraların toplam değeri:
1 TL (25 kuruşlardan) + 16 TL (1 liralardan) + 4 TL (50 kuruşlardan) = 21 TL

Önemli Not: Bu 21 TL, toplam 180 ile 200 TL arasında olacağı belirtilen harçlığın yalnızca madeni kısım toplamıdır.

4. Kâğıt Paralar Üzerine Düşünme

Geriye kalan kısmı ise 50 TL ve 20 TL’lik banknotlardan oluşuyor.

  • Harçlığın tamamı: T (burada T > 180 ve T < 200)
  • Madeni paralarin toplamı: 21 TL
  • Dolayısıyla kâğıt paraların toplam değeri (B) şu şekilde yazılabilir:
    B = T - 21

Burada B’nin 180 - 21 = 159 TL ile 200 - 21 = 179 TL arasında olması gerekir.

Yani,
159 TL < B < 179 TL

Tabii “kâğıt para” olarak yalnızca 50 TL ve 20 TL’nin kombinasyonları söz konusu.

5. Matematiksel Modelleme: 50 ve 20 Liralık Kağıt Paralar

Kâğıt paraların toplamını B olarak tanımlarsak:

B = 50x + 20y

Burada:

  • x = kullanılan 50 TL sayısı (x ≥ 0)
  • y = kullanılan 20 TL sayısı (y ≥ 0)

Ayrıca B, yukarıda belirttiğimiz gibi 159 ile 179 arasındadır (çünkü en az 180 toplam para, madeni 21 TL olduğunu düşünerek 180 - 21 = 159; en fazla 199 ise 199 - 21 = 178; hatta 200’den az dendiği için 179 tam sınırda düşünülebilir).

Ancak dikkat: 159, 160, 161, … 179 gibi aralığı incelememiz gerekiyor.
Fakat 50x + 20y ifadesi her zaman 10’un katı olacak şekilde ilerler. Dolayısıyla B’nin 10’un katı olması olasılığını değerlendirmek mantıklı. Çünkü 50 de, 20 de 10’un katlarıdır.

Bu durumda B şu değerleri alabilir: 160 veya 170 (çünkü 159 olamaz, 161 olamaz, 169 olamaz, 179 olamaz; 10’un katı olmadığı için 50x + 20y formuna uymaz.)

Dolayısıyla kâğıt paralar toplamı B = 160 TL veya B = 170 TL olabilir.

6. Olası Değerlerin Belirlenmesi

  1. Eğer B = 160 TL ise, harçlığın tamamı:
    T = 21 (madeni) + 160 (kâğıt) = 181 TL

  2. Eğer B = 170 TL ise, harçlığın tamamı:
    T = 21 (madeni) + 170 (kâğıt) = 191 TL

Bu iki sonuç da 180 TL’den büyük ve 200 TL’den küçüktür. Dolayısıyla taban koşullarının her ikisini de sağladığını görürüz.

Buradan hareketle problemde “tek bir kesin sonuç” mu aranıyor diye bakıldığında, karşımıza iki farklı olası toplam - 181 TL veya 191 TL - çıkmaktadır.

7. Adım Adım Çözüm

Bu faktörleri adım adım inceleyelim:

Adım 1: Madeni Paraların Değerinin Bulunması

  • Toplam 28 madeni para
    • 4 adet 25 kuruş → 4 × 0,25 = 1 TL
    • 16 adet 1 lira → 16 × 1 = 16 TL
    • Kalan 8 adet 50 kuruş → 8 × 0,50 = 4 TL
  • Madeni para toplamı = 1 + 16 + 4 = 21 TL.

Adım 2: Olması Gereken Toplamın Sınırları

  • Toplam T için: 180 < T < 200

Adım 3: Kâğıt Paralar İçin Denklem

  • Kâğıt paraların toplamı B = T - 21
  • 180 < T < 200 ⇒ 180 - 21 < B < 200 - 21 ⇒ 159 < B < 179

Adım 4: Kâğıt Paralar Yalnızca 50 TL ve 20 TL

  • Yani B = 50x + 20y.
  • 159 < B < 179 → B yerine geçebilecek 10’un katları 160 veya 170’tir.

Adım 5: İki Olasılık

  1. B = 160 TL → T = 21 + 160 = 181 TL
  2. B = 170 TL → T = 21 + 170 = 191 TL

Her iki değer de 200’den az ve 180’den büyük olduğu için iki olasılık da geçerlidir.

8. Detaylı Hesap Tablosu

Aşağıdaki tabloda, olası kâğıt paraların hangi kombinasyonlarla 160 ya da 170 TL değerine ulaşabileceğini gösterelim. Örnek olarak birkaç tane dizi (x = 50 TL sayısı, y = 20 TL sayısı) veriyoruz.

Kombinasyon No x (50 TL sayısı) y (20 TL sayısı) Hesap Kâğıt Para Toplamı (B)
1 2 3 2×50 + 3×20 = 100 + 60 160 TL
2 3 1 3×50 + 1×20 = 150 + 20 170 TL
3 0 8 0×50 + 8×20 = 0 + 160 160 TL
4 1 6 1×50 + 6×20 = 50 + 120 170 TL

Tablodaki gibi B = 160 TL veya B = 170 TL’ye ulaşmanın çeşitli yolları olabilir. Toplam kâğıt para tutarı 160 TL veya 170 TL ise nihayetinde madeni kısım 21 TL eklenerek toplam 181 TL veya 191 TL elde edilir.

9. Senaryolar ve Mümkün Çözümler

Bu noktada problem, metinde herhangi bir ek ipucu (örneğin “En az sayıda kâğıt para kullanıldı.” ya da “En fazla sayıda 20 TL’lik banknot var.” gibi) vermediği sürece iki farklı toplam mümkündür:

  1. 181 TL

    • Kâğıt paralar 160 TL değerindedir. Bu 160 TL;
      • 2 adet 50 TL + 3 adet 20 TL (toplam 5 banknot) ile sağlanabileceği gibi,
      • 0 adet 50 TL + 8 adet 20 TL (toplam 8 banknot) ile de sağlanabilir.
    • Üstüne madeni 21 TL eklendiğinde toplam 181 TL.

  2. 191 TL

    • Kâğıt paralar 170 TL değerindedir. Bu 170 TL;
      • 3 adet 50 TL + 1 adet 20 TL (4 banknot),
      • 1 adet 50 TL + 6 adet 20 TL (7 banknot) gibi çeşitli şekillerde olabilir.
    • Üstüne madeni 21 TL eklendiğinde toplam 191 TL.

Dolayısıyla elde net bir rakam isteniyorsa, problemde ek bir kısıt ya da ipucu olmadan iki senaryo da geçerli görünüyor.

10. Ek Örnekler ve İpuçları

Bu tip sorularda genelde şu tür ek kısıtlar sunulur ise tek bir çözüm elde edilebilir:

  1. Kâğıt para sayısı en az olsun ⇒ O zaman 50 TL’liklerden mümkün olduğunca çok kullanılır.

    • Örneğin 170 TL değerini 3×50 + 1×20 = 4 banknotla sağlamak mümkündür.
    • 160 TL değerini 50 TL’lik banknotlarla sağlamak isterseniz 3×50 + 1×?? derken 150 + 20 = 170 olur; 160 için 2×50 = 100 geriye 60 kaldı, 60/20=3 → 2 adet 50 TL + 3 adet 20 TL = 5 banknot.

  2. Kâğıt para sayısı en fazla olsun ⇒ 20 TL’liklerden mümkün olduğunca çok kullanılır.

    • 160 TL’yi yalnızca 20 TL’liklerden sağlamak (y=8, x=0) toplam 8 banknot.
    • 170 TL’yi yalnızca 20 TL’liklerle sağlamak mümkün değildir (20×8=160, 20×9=180).

  3. Belirli bir banknot sayısı verilir (örneğin “6 tane kâğıt param var” gibi). Bu tip bir önerme de yine tek çözüme götürebilir.

Sorunun orijinalinde bu kısıtların hiçbiri bahsedilmediği için, hem 181 TL hem de 191 TL koşulları tüm verilere uyum sağlayabilir.

11. Özet ve Sonuç

  • Madeni paralar (4 adet 25 kuruş, 16 adet 1 TL, 8 adet 50 kuruş): Toplam 21 TL.
  • Kâğıt paralar sadece 50 TL ve 20 TL’lik banknotlarla, toplamda B TL öneme sahip.
  • Toplam harçlık: T = 21 TL (madeni) + B (kâğıt).
  • 180 TL < T < 200 TL ⇒ 159 TL < B < 179 TL.
  • 50 ve 20 TL’lik banknotların kombinasyonları nedeniyle B yalnızca 10’un katı olabilir → 160 veya 170.
  • Bunlardan B = 160 ise T = 181 TL; B = 170 ise T = 191 TL.

Diğer herhangi bir ek kısıt olmadığından, bu problem iki farklı cevaba izin vermektedir:

• 181 TL
• 191 TL

Yukarıdaki gerekçelerle, sizden istenen bayram harçlığı bu iki değer arasında “tek bir kesin miktar” olarak belirlenemiyorsa da, sorunun bütün şartlarını karşılayan iki olası çözüm vardır. Eğer soruda “en az sayıda banknot kullanıldı” gibi bir ifade yer alsaydı, 191 TL (3 adet 50 TL + 1 adet 20 TL = 4 banknot) çözümü daha az sayıda banknot gerektirdiğinden öne çıkardı. Ancak metin buna dair bir bilgi içermediği için kesin olarak yalnızca tek bir rakam söylemek mümkün değildir.

Sonuç Tablomuza Genel Bakış

Bileşen Miktar/Sayı Toplam Değer
25 kuruş (0,25 TL) 4 adet 1 TL
50 kuruş (0,50 TL) 8 adet 4 TL
1 TL 16 adet 16 TL
Madeni Para Toplamı 4 + 8 + 16 = 28 madeni para 21 TL
Kâğıt (50 TL ve/veya 20 TL) x adet 50 TL ve y adet 20 TL 160 TL veya 170 TL
Genel Toplam madeni 21 TL + kâğıt 160 veya 170 TL 181 TL / 191 TL

Bu tablo da gösteriyor ki iki geçerli senaryo bulunmaktadır: toplam harçlık 181 TL ya da 191 TL.

Kısa Özet

  1. Madeni paralarla 21 TL elde ediliyor.
  2. Toplam harçlık 180 ve 200 TL aralığında olmalı.
  3. Geri kalan kâğıt paralar (sadece 50 ve 20 TL) 160 veya 170 TL olarak tanımlanabiliyor.
  4. Dolayısıyla nihai miktar ya 181 TL (21 + 160) ya da 191 TL (21 + 170).

Ek bir kısıt veya ifade gizli değilse, iki farklı olasılık mevcuttur.

@Serdar_Uzum