Küre İçine Yerleştirilmiş Silindirin Yüksekliğini Bulma

LİSE
1
  1. Omerkezli kürenin yarıçapı 13 br’dir. Kürenin içine şekildeki gibi
    yarıçapı 5 br olan bir silindir yerleştirilmiştir. Silindirin yüksekliği
    kaç br dir?
    A) 18
    B) 24
    C) 27
    D) 36
    E) 48

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 59.1 KB

2

Küre İçine Yerleştirilmiş Silindirin Yüksekliğini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Bu tür sorularda kürenin merkezi (O), silindirin üst taban yarıçapı ve kürenin yüzeyi arasındaki ilişkiyi kurmak için Pisagor Teoremi kullanılır:

R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2

Burada:

  • R: Kürenin yarıçapı
  • r: Silindirin yarıçapı
  • h: Silindirin yüksekliği

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri Tanımlama
Soruda bize kürenin yarıçapı (R) 13 br ve silindirin yarıçapı (r) 5 br olarak verilmiştir. Silindir kürenin merkezine göre simetrik yerleştiği için kürenin merkezinden silindirin üst tabanına olan dik uzaklığa x diyelim. Bu durumda silindirin toplam yüksekliği h = 2x olacaktır.

Adım 2 — Dik Üçgeni Oluşturma ve Pisagor Teoremi
Kürenin merkezinden silindirin üst tabanındaki bir noktaya bir yarıçap çizersek, hipotenüsü 13 br, dik kenarlarından biri silindirin yarıçapı olan 5 br olan bir dik üçgen elde ederiz.

13^2 = 5^2 + x^2
169 = 25 + x^2
x^2 = 144
x = 12 \text{ br}

Adım 3 — Toplam Yüksekliği Hesaplama
Bulduğumuz x değeri, kürenin merkezinden silindirin sadece bir tabanına olan uzaklıktır. Silindir kürenin tam ortasında olduğu için:

h = 2 \times x
h = 2 \times 12 = 24 \text{ br}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Küre ve Silindir İlişkisi

  • Tanım: Bir küre içine en büyük hacimli veya tam sığacak şekilde bir cisim yerleştirildiğinde, cismin köşeleri veya dairesel sınırları kürenin yüzeyine değer.
  • Bu problemde: Silindirin alt ve üst taban çevreleri küre yüzeyine temas eder, bu da bize Pisagor bağıntısını kullanma imkanı verir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eksik Yükseklik Hesaplama

  • Yanlış: Pisagor sonucunda bulunan 12 değerini direkt cevap olarak işaretlemek.
  • Doğru: Bulunan değer merkeze olan uzaklıktır, silindirin tam yüksekliği için bu değer ikiyle çarpılmalıdır.
  • Neden Yanlış: Kürenin merkezi silindirin tam orta noktasında yer alır.

Bu soruda kullandığımız 5-12-13 özel dik üçgeni hakkında başka bir örnek çözmemi ister misin?