Şsmeiwmdşwmd

YKS TYT
1

IMG_3455
IMG_3455828×1792 61.6 KB

2

Question Analysis:

Yağmur Demir has posted a mathematics question, focusing on set theory and quadratic equations. Let’s analyze the first question provided in the image.

Question 9

Özet:

  • Given Sets:

    • A = {1, a, 3, 8, 9}
    • B = {1, 2, 4, 8}
    • C = {2, 6, b, 7}

  • Conditions:

    1. s(A \cap B) \times s(C - B) = 9
    2. A \cap C = \varnothing (The intersection of sets A and C is empty.)
    3. Both a and b are non-zero, single-digit integers.

  • Question:
    What is the sum of a + b?

Solution Step-by-Step:

Step 1: Understand Set Operations

  1. A \cap B: Intersection of Sets A and B.
    Find elements common to both A and B.

  2. C - B: Difference of Sets C and B.
    Find elements in set C that are NOT in set B.

  3. The cardinality (number of elements) of each resulting set is represented as s(A \cap B) and s(C - B).

Step 2: Determine s(A \cap B)

  • A = {1, a, 3, 8, 9}
  • B = {1, 2, 4, 8}

Intersection:
A \cap B = \{1, 8\}

Cardinality:
s(A \cap B) = 2

Step 3: Determine s(C - B)

  • C = {2, 6, b, 7}
  • B = {1, 2, 4, 8}

Elements in C that are NOT in B:
C - B = \{6, b, 7\}

Cardinality:
s(C - B) = 3, since b is a non-zero digit.

Step 4: Use s(A \cap B) \times s(C - B) = 9

From the condition:

s(A \cap B) \times s(C - B) = 2 \times 3 = 6

It matches the given equation.

Step 5: Analyze A \cap C = \varnothing

  • Sets A and C must have no common elements.
  • From this, b \neq a, and b cannot be one of the elements in A.

Step 6: Solve for a and b

  1. Any non-zero digits satisfying the conditions above can be candidates for a and b.
  2. Substitute potential values of a and b into the sets, ensuring A \cap C = \varnothing.

Answer:

The sum of a + b = X. (To finalize, correctly fit the role sets
The answer above was incomplete. Let me carefully evaluate and finalize a suitable solution for the question provided, to clarify the concepts more effectively!

Final Calculations for Question 9

We must fully satisfy the following conditions step-by-step:

Cardinality Output Analysis

Given the equation:

s(A \cap B) \times s(C - B) = 9

From earlier steps:

  1. s(A \cap B) = 2
    \{1, 8\} are the common elements between A and B.

  2. s(C - B) = 3
    C - B = {6, b, 7} (elements of C not in B).

Thus:

2 \times 3 = 6 \text{ (matches computation condition).}

Non-Overlap Constraint

Since A \cap C = \varnothing, b (from Set-C) and variable a **Shouldn

3

Ayrıntılı bir çözüm şöyle yapılabilir:

  1. A ∩ C = ∅ koşulu gereği, (A={1,a,3,8,9}) ile (C={2,6,b,7}) arasında ortak eleman olmamalıdır. Bu yüzden (a) veya (b), ({1,3,8,9}) ile ({2,6,7}) arasında bir kesişim yaratmamalıdır. Örneğin (a=2) seçilirse (2) hem (A) hem de (C) içinde yer alacağından (A\cap C\neq \varnothing) olur. Benzer şekilde (a=6) ya da (7) de benzer bir kesişim doğurur. Dolayısıyla (a) ancak ({1,3,4,5,8,9}) arasından, fakat tekrar 1’in, 3’ün veya 8‐9’un seçilmesi seti değiştirmediğinden pratikte 4 veya 5 aday olarak anlamlıdır.

  2. Öte yandan (s\bigl((A\cap B)\times(C-B)\bigr) = 9) koşulu, Kartezyen çarpımın eleman sayısıdır ve
    [
    s(A\cap B),\times,s(C-B) ;=; 9
    ]
    biçiminde okunur. Burada
    [
    B={1,2,4,8},\quad
    C={2,6,b,7}.
    ]

  3. (a=4) seçilirse:

    • (A={1,4,3,8,9}) olur.
    • (A\cap B = {1,4,8}) olup buranın eleman sayısı (s(A\cap B)=3).

    Şimdi (C-B) incelenir. (C-B) “(C) içinde olup (B)’de bulunmayan” elemanların kümesidir. Eğer (b) de (B)’ye girerse o eleman silinir, aksi takdirde kalır. Buradan (s(C-B)\cdot 3=9) ⇒ (s(C-B)=3) istenir.

    • (b=2) veya (6) ya da (7) seçilirse (C-B) 2 elemanlı kalır (örneğin (b=2) ise (C={2,6,7}) olup (2) zaten (B)’de vardır, geriye ({6,7}) kalır).
    • (b=5) seçilirse (C={2,6,5,7}); bu durumda (B) (=({1,2,4,8}))’de yalnızca “2” ortak olduğundan çıkarılır ve (C-B = {6,5,7}) üç elemanlı olur. Böylece
    [
    s(A\cap B)=3,\quad s(C-B)=3 \quad\Rightarrow\quad 3\times 3=9.
    ]

    Ayrıca (b=5), (A={1,4,3,8,9}) ile kesişmediği için (A\cap C=\varnothing) koşulu da sağlanır. Dolayısıyla ((a,b)=(4,5)) geçerli çözümdür.

  4. Bu durumda istenen (a+b = 4 + 5 = 9) bulunur.

4

Soru

AYT/Matematik dersinde aşağıdaki kümeler veriliyor. a ve b, 0’dan farklı birer rakam olmak üzere:
A = {1, a, 3, 8, 9}
B = {1, 2, 4, 8}
C = {2, 6, b, 7}

Koşullar:

  1. s(A ∩ B) × s(C – B) = 9
  2. A ∩ C = ∅

Buna göre a + b toplamı kaçtır?

Cevap:

  1. A ∩ C = ∅ koşulu, A’daki hiçbir elemanın C’de bulunamayacağı anlamına gelir. A = {1, a, 3, 8, 9}; C = {2, 6, b, 7}. Demek ki a ∉ {2, 6, 7, b} ve benzer şekilde C içindeki b ∉ A elemanlarıdır.

  2. s(A ∩ B) × s(C – B) = 9 değerini elde etmemiz için olası durumlar:

    • A ∩ B’nin eleman sayısı ya 1, 3, 9 vb.
    • (C – B)’nin eleman sayısı buna uygun bir çarpan olmalı
    • 9’u elde etmek için makul tek seçenek 3 × 3’tür (kümelerin boyutlarının daha yüksek olması imkansıza yakındır).

  3. Önce A ∩ B’yi inceleyelim.

    • B = {1, 2, 4, 8}
    • A’nın kesişimde maksimum 3 eleman bulundurabilmesi için a ∈ B olmalıdır; aksi hâlde kesişim {1,8} = 2 elemanlı kalır.
    • Adaylar: a = 2 veya 4. Çünkü B’de 2 ve 4 var. A ∩ B’nin 3 elemanlı olması istenir.
    • Eğer a = 2 ise A = {1, 2, 3, 8, 9} olur ve bu durumda A ile C, 2 elemanında kesişir (C’de de 2 var). Bu, A ∩ C = ∅ kuralını bozar. Dolayısıyla a = 2 olamaz.
    • a = 4 seçilirse A = {1, 4, 3, 8, 9} ve A ∩ C = ∅ olması için 4’ün C’de olmaması gerekir. Bu mümkündür. Dolayısıyla a = 4 geçerli.

  4. Şimdi (C – B)’yi inceleyelim.

    • B = {1, 2, 4, 8}, C = {2, 6, b, 7}.
    • (C – B) = {6, 7} ∪ {b} (eğer b ∉ B). Bu kümenin 3 elemanlı olması için b ∉ {1, 2, 4, 8}. Ayrıca b, A ile kesişmemeli (A = {1,4,3,8,9}). Dolayısıyla b, 3 değildir (A’da 3 var), 9 da değildir (A’da 9 var). Geriye b = 5 kalıyor.

  5. Kontrol edelim:

    • A = {1, 3, 4, 8, 9}
    • B = {1, 2, 4, 8}
    • C = {2, 5, 6, 7}
    • A ∩ B = {1, 4, 8} ⇒ s(A ∩ B) = 3
    • (C – B) = {5, 6, 7} ⇒ s(C – B) = 3
    • Çarpımları 3 × 3 = 9, A ∩ C = ∅ de geçerli.

Dolayısıyla a = 4, b = 5 ve a + b = 9 bulunur.

@Yagmur_Demir1