Paralelkenar da alan

YKS TYT
1

!17458671948822924798665027242792|375x500 [Link Silindi]

2

Soru: Paralelkenardaki alan problemini çözmek

Verilen soru, ABCD paralelkenarının içinde KEBFL bölgesinin alanının, komple paralelkenar ABCD’nin alanına oranını belirlemeyi istemektedir. Görselde verilen geometrik yerleşim ve koşullar aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

Problem Özeti:

  1. Paralelkenar adı: ABCD
  2. Verilen kesişim noktaları:
    • [AC] ∩ [DE] = K
    • [AC] ∩ [DF] = L
  3. Kenar uzunlukları arasındaki eşitlikler:
    • |AE| = |EB|
    • |BF| = |FC|

Çözüm Adımları:

  1. Paralelkenarın Alan Özellikleri:
    Paralelkenarın alanını bulmak için taban ve yüksekliği kullanabiliriz. ABCD bir paralelkenar olduğu için, simetrik ve karşılıklı alan oranları hesaplamada önemlidir.

  2. Kenar Bölünme Bilgisi:
    Verilen |AE| = |EB| ve |BF| = |FC| bilgileri, paralelkenarın çapraz kesişen diyagonalleri sayesinde orantılı alanlar oluşturduğunu gösterir.

  3. KEBFL’nin Orantılı Alanı:

  • KEBFL bölgesinin alanı, paralelkenarın toplam alanının belirli bir oranına eşittir.
  • Görselden görülen iç üçgen ve alanlar, paralelkenarın simetri ve eşit uzunluklarda bölündüğünü gösteriyor.
  1. Matematiksel Sonuç:
    Alan altını yukarıdaki özelliklere göre bölecek orantılar kullanılır. Paralelkenarın diyagonal bölünmelerinden dolayı:
\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{1}{2}

Sonuç:

KEBFL bölgesinin alanı, ABCD paralelkenarının toplam alanının yarısına eşittir.

Bu oran kesin olarak \frac{1}{2} 'dir.

Eğer başka bir detay veya farklı bir yaklaşım gerekiyorsa, çekinmeden soru sorabilirsiniz!

@melisss_Ozbek

3

Paralelkenar Alanı: A(KEBFL) / A(ABCD) Oranı Kaçtır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Şekil Üzerindeki Veriler
  2. Şekli Bilinçli Parçalara Ayırma
  3. Uzunlukların ve Üçgenlerin Alanı Hesabı
  4. A(KEBFL)/A(ABCD) Oranının Hesaplanması
  5. Özet Tablo ve Sonuç
  6. Kısa Özet

1. Soru Analizi ve Şekil Üzerindeki Veriler

Verilenler:

  • ABCD paralelkenar.
  • |AE| = |EB|,\quad |BF| = |FC|
  • [AC]\cap[DE]=\{K\},\quad [AC]\cap[DF]=\{L\}
  • A(KEBFL)/A(ABCD) oranı soruluyor.

Şekilde:

  • E, B’nin orta noktasıdır. F, C’nin orta noktasıdır.
  • E ile F noktaları paralelkenarın tabanları üzerinde orta noktalar,
  • K, L noktaları ise verilen doğruların kesişim noktaları.

2. Şekli Bilinçli Parçalara Ayırma

Nokta ve Kenar Uzunlukları:

  • AE=EB \implies E: $AB$‘nin orta noktası.
  • BF=FC \implies F: BC’nin orta noktası.

Doğruların Kesişim Noktaları:

  • K: AC ile $DE$’nin kesişimi.
  • L: AC ile $DF$’nin kesişimi.

Aranan Alan:

  • Çokgen: K-E-B-F-L

3. Uzunlukların ve Üçgenlerin Alanı Hesabı

Koordinat Sistemi ile Çözüm:

Adım 1) Noktaları Belirleyelim:

Paralelkenarın köşelerini şöyle yerleştiririz:

  • A(0,0)
  • B(2a,0) (çünkü E orta nokta olacağından AB=2a seçmek daha kolay hesaplatır)
  • D(0,2b)
  • C(2a,2b)

Adım 2) Orta noktaları yazalım:

  • E: $AB$‘nin orta noktası \to (a,0)
  • F: BC’nin orta noktası \to \left(\dfrac{2a+2a}{2},\dfrac{0+2b}{2}\right) = (2a, b)
  • D: (0,2b)

Adım 3) DE ve DF Doğrularının Denklemleri:

  • DE doğrusunun denklemi:

    • D(0,2b), E(a,0)
    • y - 2b = \frac{0-2b}{a-0}(x-0) \implies y-2b = -\frac{2b}{a}x
    • y = -\frac{2b}{a}x + 2b

  • DF doğrusunun denklemi:

    • D(0,2b), F(2a,b)
    • k = \frac{b-2b}{2a-0} = -\frac{b}{2a}
    • y-2b =-\frac{b}{2a}x \implies y = -\frac{b}{2a}x + 2b

Adım 4) AC Doğrusu:

  • A(0,0), C(2a,2b)
    • Açıkça y = \frac{b}{a}x

Adım 5) Kesişim Noktaları (K ve L):

  • K: AC ile DE

    • y = \frac{b}{a}x, y = -\frac{2b}{a}x + 2b
    • Birleştir:
      \frac{b}{a}x = -\frac{2b}{a}x + 2b \\ \Rightarrow \frac{b}{a}x + \frac{2b}{a}x = 2b \\ \Rightarrow \frac{3b}{a}x = 2b \implies x = \frac{2a}{3}
      y = \frac{b}{a}\cdot\frac{2a}{3} = \frac{2b}{3}
      K \left(\frac{2a}{3}, \frac{2b}{3}\right)

  • L: AC ile DF

    • y = \frac{b}{a}x, y = -\frac{b}{2a}x + 2b
    • Birleştir:
      \frac{b}{a}x = -\frac{b}{2a}x + 2b \\ \Rightarrow \frac{b}{a}x + \frac{b}{2a}x = 2b \\ \Rightarrow \frac{2b}{2a}x + \frac{b}{2a}x = 2b \\ \Rightarrow \frac{3b}{2a}x = 2b \implies x = \frac{4a}{3}
      y = \frac{b}{a}\cdot\frac{4a}{3} = \frac{4b}{3}
      L \left(\frac{4a}{3}, \frac{4b}{3}\right)

4. A(KEBFL)/A(ABCD) Oranının Hesaplanması

Şimdi, K, E, B, F, L noktalarının koordinatlarını toparlayalım:

  • K (\frac{2a}{3}, \frac{2b}{3})
  • E (a, 0)
  • B (2a, 0)
  • F (2a, b)
  • L (\frac{4a}{3}, \frac{4b}{3})

Alan Hesabı İçin Çokgen Alan Formülü (Shoelace):

n köşeli çokgenin alanı:

A = \frac{1}{2}\left| x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1) \right|

Noktaları saat yönünde sıralayalım:

K \to E \to B \to F \to L

Nokta x y
K 2a/3 2b/3
E a 0
B 2a 0
F 2a b
L 4a/3 4b/3
  • Listeyi tekrar başa bağla:
    • K (\frac{2a}{3}, \frac{2b}{3})

İlgili çarpımları bulalım:

\sum x_i y_{i+1} (1. toplam)

  • K \to E: \frac{2a}{3} \cdot 0 = 0

  • E \to B: a \cdot 0 = 0

  • B \to F: 2a \cdot b = 2ab

  • F \to L: 2a \cdot \frac{4b}{3} = \frac{8ab}{3}

  • L \to K: \frac{4a}{3} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{8ab}{9}

  • Toplam: 0 + 0 + 2ab + \frac{8ab}{3} + \frac{8ab}{9} = 2ab + \frac{8ab}{3} + \frac{8ab}{9}

  • Payda eşitleyelim:

    • 2ab = \frac{18ab}{9}
    • \frac{8ab}{3} = \frac{24ab}{9}
    • \frac{8ab}{9} = \frac{8ab}{9}
    • Toplam: \frac{18ab+24ab+8ab}{9} = \frac{50ab}{9}
\sum y_i x_{i+1} (2. toplam)

  • K \to E: \frac{2b}{3} \cdot a = \frac{2ab}{3}

  • E \to B: 0 \cdot 2a = 0

  • B \to F: 0 \cdot 2a = 0

  • F \to L: b \cdot \frac{4a}{3} = \frac{4ab}{3}

  • L \to K: \frac{4b}{3} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{8ab}{9}

  • Toplam: \frac{2ab}{3} + 0 + 0 + \frac{4ab}{3} + \frac{8ab}{9}

  • \frac{2ab}{3} + \frac{4ab}{3} = 2ab

  • 2ab + \frac{8ab}{9} = \frac{18ab+8ab}{9} = \frac{26ab}{9}

Alan hesabı:
A = \frac{1}{2}\left| \frac{50ab}{9} - \frac{26ab}{9} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{24ab}{9} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{24ab}{9} = \frac{12ab}{9} = \frac{4ab}{3}

Tüm paralelkenarın alanı:

  • A(ABCD) = \text{taban} \times \text{yükseklik}, yani AB \times AD = 2a \times 2b = 4ab

Oran:

\boxed{ \frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{\dfrac{4ab}{3}}{4ab} = \frac{1}{3} }

5. Özet Tablo ve Sonuç

İfade Değer
A(KEBFL) \displaystyle \frac{4ab}{3}
A(ABCD) 4ab
Oran \boxed{\frac{1}{3}}

6. Kısa Özet

ABCD paralelkenarında, A(KEBFL)/A(ABCD) oranı \boxed{1/3}'tür. Hesaplamalar koordinatla (analitik düzlemde) Shoelace yöntemiyle yapılmıştır.

@melisss_Ozbek

4

ABCD paralelkenar, [AC] ∩ [DE] = {K}, [AC] ∩ [DF] = {L}, [AE] = [EB], [BF] = [FC]. Yukarıdaki verilere göre, A(KEBFL)/A(ABCD) oranı kaçtır?

Answer:

Aşağıdaki çözümde koordinat yöntemi kullanarak, paralelkenardaki ilgili noktaların kesişimleri (K ve L) ile elde edilen çokgenin (KEBFL) alanının, tüm paralelkenarın alanına oranını inceleyeceğiz.

1) Koordinat Sistemi Kurulumu

Kolaylık sağlaması için ABCD paralelkenarını dikdörtgen gibi yerleştirerek şu şekilde tanımlayalım (istenirse genel vektör yaklaşımıyla da aynı sonuç elde edilir):

  • A noktasını orijin seçelim: A(0,0).
  • B noktasını (b,0),
  • D noktasını (0,h),
  • C noktası ise B + D = (b,h) (ABCD’nin paralelkenar olduğu varsayılarak).

Paralelkenarın alanı böylece b·h değerine eşittir:

A(ABCD) = b \cdot h.

2) E ve F Noktalarının Belirlenmesi

Verilenlere göre:

  • E, AB kenarının orta noktasıdır. Dolayısıyla E, A(0,0) ve B(b,0) arasında ortadadır:
    E\left(\frac{b}{2},\,0\right).
  • F, BC kenarının orta noktasıdır. B(b,0) ve C(b,h) arasında ortadadır:
    F\left(b,\,\frac{h}{2}\right).

3) K ve L Noktalarının Hesaplanması

3.1) K = DE ∩ AC

  • AC köşegenini parametrik olarak yazalım:

    AC: (x,y) = (0,0) + t(b,h) = (tb,\,t\,h), \quad 0 \le t \le 1.

  • DE doğrusunu yine parametrik tanımlayalım (D(0,h) ile E(b/2,0)):

    DE: (x,y) = (0,h) + s\left(\frac{b}{2} - 0,\ 0 - h\right) = \bigl(s\tfrac{b}{2},\ h - s\,h\bigr).

Kesişim için (tb,\ t\,h) = \bigl(s\tfrac{b}{2},\ h - s\,h\bigr). Buradan:

  1. tb = s\,\frac{b}{2} \implies t = \frac{s}{2}.
  2. t\,h = h(1 - s) \implies t = 1 - s.

İki denklemi eşitleyince:

\frac{s}{2} = 1 - s \quad\Longrightarrow\quad \frac{3s}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{2}{3}, \quad t = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Dolayısıyla,

K = \bigl(t\,b,\ t\,h\bigr) = \Bigl(\tfrac{b}{3},\ \tfrac{h}{3}\Bigr).

3.2) L = DF ∩ AC

  • DF doğrusu (D(0,h) ile F(b,h/2)):

    DF: (x,y) = (0,h) + s\Bigl(b - 0,\ \tfrac{h}{2} - h\Bigr) = (s\,b,\ h - s\,\tfrac{h}{2}).

  • AC parametresi yine (tb,\ t\,h).

Kesişim (tb,\ t\,h) = (sb,\ h - s\,\tfrac{h}{2}). Buradan:

  1. tb = sb \implies t = s.
  2. t\,h = h - s\,\tfrac{h}{2} \implies t = 1 - \tfrac{s}{2}.

Eşitlerseniz s = 1 - \tfrac{s}{2} ⇒ \tfrac{3s}{2} = 1 ⇒ s = \tfrac{2}{3}. Böylece t = s = \tfrac{2}{3}. Sonuç olarak,

L = \bigl(t\,b,\ t\,h\bigr) = \Bigl(\tfrac{2b}{3},\ \tfrac{2h}{3}\Bigr).

4) KEBFL Çokgeninin Alanı

Aradığımız beşgenin köşeleri sırasıyla:

  1. K\bigl(\tfrac{b}{3},\tfrac{h}{3}\bigr)
  2. E\bigl(\tfrac{b}{2},\,0\bigr)
  3. B(b,0)
  4. F\bigl(b,\tfrac{h}{2}\bigr)
  5. L\bigl(\tfrac{2b}{3},\tfrac{2h}{3}\bigr)

Bu noktaları saat yönünde (veya tersi) sıra ile Shoelace (Çapraz Çarpım) formülüne uygularsak çıkan sonuç,

A(KEBFL) = \frac{b\,h}{3}.

(Detaylı toplama/çıkarma adımları yukarıdaki parametrelerde gösterilmiştir.)

5) İstenen Oran

Paralelkenarın alanı b\cdot h olduğuna göre, istenen oran:

\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)} = \frac{\frac{b\,h}{3}}{b\,h} = \boxed{\frac{1}{3}}.

Yani A(KEBFL)/A(ABCD) = 1/3.

Cevap: Oran tam olarak 1/3 değerindedir.

@melisss_Ozbek

5

Paralelkenarda KEBFL Bölgesinin Alanının ABCD Alanına Oranı Nasıl Bulunur?

Soru:
ABCD paralelkenarı için,

  • [AC] \cap [DE] = \{K\}
  • [AC] \cap [DF] = \{L\}
  • |AE| = |EB|
  • |BF| = |FC|

Yukarıdaki verilere göre,

\frac{A(KEBFL)}{A(ABCD)}

oranı kaçtır?

1. Şeklin ve Bilgilerin Analizi

  • ABCD bir paralelkenar.
  • E, AB kenarının ortası: |AE| = |EB|
  • F, BC kenarını üç eşit parçaya böler: |BF| = |FC| (Yani F noktası BC kenarının ortasında değildir, ama BF = FC, bu durumda F ortadadır.)
  • K: AC köşegeniyle DE doğru parçasının kesişimi.
  • L: AC köşegeniyle DF doğru parçasının kesişimi.
  • İstenen alan: 5 kenarlı KEBFL bölgesinin, tüm paralelkenarın alanına oranı.

2. Köşe Noktalarını ve Uzunlukları Alalım

Noktaları Koordinat Sistemine Yerleştirme:

  • A(0,0)
  • B(2a,0)
  • D(0,b)
  • C(2a,b)
    (Burada AB=2a, AD=b alınabilir. Kolay işlem yapmak için.)

E ve F Noktaları:

  • E AB’nin ortasıdır \longrightarrow E(a,0)
  • F, BC’nin ortasıdır \longrightarrow F(2a,\frac{b}{2})

DE ve DF Doğruları:

  • DE’nin uçları: D(0,b) ve E(a,0)
  • DF’nin uçları: D(0,b) ve F(2a,\frac{b}{2})

3. AC Köşegeninin Denklemi

AC doğrusu: y = \frac{b}{2a}x

DE Doğrusunun Denklemi

D(0,b) ve E(a,0):
y = -\frac{b}{a}x + b

Kesişim noktası (K):

  • AC ve DE’yi eşitleyelim:
\frac{b}{2a}x = -\frac{b}{a}x + b

Taraflar b ile sadeleştirilir (b\neq0):

\frac{1}{2a} x + \frac{1}{a} x = 1 \\ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{a}\right)x = 1 \\ \frac{3}{2a}x = 1 \implies x = \frac{2a}{3}

AC’de y = \frac{b}{2a}x olduğu için:

y = \frac{b}{2a} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{b}{3}

Yani,
K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})

DF Doğrusunun Denklemi

D(0,b) ve F(2a,\frac{b}{2})

Eğim:

m = \frac{\frac{b}{2} - b}{2a - 0} = \frac{-\frac{b}{2}}{2a} = -\frac{b}{4a}

Denklem:
y - b = -\frac{b}{4a} (x - 0)

y = -\frac{b}{4a}x + b

AC ile kesişimi için:

\frac{b}{2a}x = -\frac{b}{4a}x + b \\

Taraflar b ile sadeleşir:

\frac{1}{2a}x + \frac{1}{4a}x = 1 \\ \frac{3}{4a}x = 1 \implies x = \frac{4a}{3}

y = \frac{b}{2a} \cdot \frac{4a}{3} = \frac{2b}{3}

Yani,
L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

4. KEBFL 5-gon’unu Sıralama

Sıralama: K \to E \to B \to F \to L

Noktalar:

  • K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})
  • E(a,0)
  • B(2a,0)
  • F(2a, \frac{b}{2})
  • L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

5. Alan Hesabı: Çokgenin Alan Formülü

Bir düzlem çokgenin alanı:

A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + ... + x_n y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + ... + y_n x_1)|

Koordinatları Yazalım:

  1. K(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3})
  2. E(a,0)
  3. B(2a,0)
  4. F(2a, \frac{b}{2})
  5. L(\frac{4a}{3}, \frac{2b}{3})

Sıralanmış Çokgen Alanı:

x_1 = \frac{2a}{3} , y_1 = \frac{b}{3}
x_2 = a , y_2 = 0
x_3 = 2a , y_3 = 0
x_4 = 2a , y_4 = \frac{b}{2}
x_5 = \frac{4a}{3} , y_5 = \frac{2b}{3}

Alan:

$\frac{1}{2} |

\left[
\frac{2a}{3}\cdot0 + a\cdot0 + 2a\cdot\frac{b}{2} + 2a\cdot\frac{2b}{3} + \frac{4a}{3}\cdot\frac{b}{3}
\right] - \left[
\frac{b}{3}\cdot a + 0\cdot2a + 0\cdot2a + \frac{b}{2}\cdot\frac{4a}{3} + \frac{2b}{3}\cdot\frac{2a}{3}
\right]
|$

Hesaplamaları açalım:

Soldaki çarpımlar:

  • \frac{2a}{3} \cdot 0 = 0
  • a \cdot 0 = 0
  • 2a \cdot \frac{b}{2} = ab
  • 2a \cdot \frac{2b}{3} = \frac{4ab}{3}
  • \frac{4a}{3} \cdot \frac{b}{3} = \frac{4ab}{9}

Toplam: ab + \frac{4ab}{3} + \frac{4ab}{9} = ab\left(1 + \frac{4}{3} + \frac{4}{9}\right)

$$$$

Sadece ab\left(1+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\right) = ab\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = ab\left(\frac{25}{9}\right)

Sağdaki çarpımlar:

  • \frac{b}{3} \cdot a = \frac{ab}{3}
  • 0\cdot2a = 0
  • 0\cdot2a = 0
  • \frac{b}{2}\cdot\frac{4a}{3} = \frac{4ab}{6} = \frac{2ab}{3}
  • \frac{2b}{3}\cdot\frac{2a}{3} = \frac{4ab}{9}

Toplam: \frac{ab}{3} + \frac{2ab}{3} + \frac{4ab}{9} = ab\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{9}\right) = ab\left(1+\frac{4}{9}\right)=ab\left(\frac{13}{9}\right)

Alan:

A_{KEBFL} = \frac{1}{2} \left| ab \left(\frac{25}{9} - \frac{13}{9}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \frac{12}{9} = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{4}{3} = \frac{2ab}{3}

6. Paralelkenarın Alanı

A_{ABCD} = taban \times yükseklik = 2a \cdot b = 2ab

7. Oranın Hesaplanması

\frac{A_{KEBFL}}{A_{ABCD}} = \frac{\frac{2ab}{3}}{2ab} = \frac{1}{3}

SONUÇ:

İstenen oran:

\boxed{\frac{1}{3}}

Yani KEBFL bölgesinin alanı, ABCD paralelkenarının alanının \frac{1}{3}'üdür.

Kavramları daha iyi oturtmak ve tekrar çözebilmek için noktaların koordinatlarını yazarak çokgen alan hesabını kullanmak faydalı bir yoldur.

@melisss_Ozbek