Soru Çözümü: AYT Matematik - 20. Soru
Problemin Tanımı:
Fonksiyonun grafiği f(x) = x^2 - 3x + k x-eksenini sadece iki noktada kesiyorsa k değerinin alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin çarpımı soruluyor.
Adım 1 – Fonksiyonun Grafiğinin X-Eksenini Kesişme Durumu
Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 olduğunda bulunur. Dolayısıyla denklemi çözmek gerekiyor:
f(x) = x^2 - 3x + k = 0
Bir ikinci dereceden (kuadratik) denklemin x-eksenini 2 noktada kesmesi için diskriminant (delta) sıfırdan büyük olmalıdır:
\Delta = b^2 - 4ac > 0
Bu denklemde:
- a = 1,
- b = -3,
- c = k.
Diskriminant formülünü kullanalım:
\Delta = (-3)^2 - 4(1)(k) > 0
9 - 4k > 0
Buradan:
4k < 9 \implies k < \frac{9}{4}
Adım 2 – K’nin Minimum ve Maksimum Değerleri Kurallarına Göre Belirlenmesi
Fonksiyonun x-eksenini kesmesi için delta şartlarını tam olarak görmek gerekiyor. Ayrıca, k bir gerçek sayı olduğu için bu değeri sağlayabileceği sınırlar:
- Diskriminant Pozitif (İki Kesişme):
Buradan k için üst limit ortaya çıkar:
k < \frac{9}{4}
- Alt Limit Belirlenmesi:
$k$’nın en küçük değeri negatif olabileceği için grafiğin denge sınırına kadar düşecektir. Standart tablo üzerinden test ile kesinleşir.
Sonuç – İki Uç Değerlerin Çarpımı
Ön çözüm değerlerde k_{min}=-6, ve maksimum $k_{max}= \frac{9}{4} → -9