ABCD karesi iki karesel ve iki eş dikdörtgensel bölgeye ayrılmıştır. Dikdörtgenlerden birinin alanı 24 cm² olduğundan turuncu bölgelerin alanları toplamı kaç santimetrekaredir?
Cevap:
Verilenler ve Şeklin Analizi
- ABCD bir kare.
- Karenin içinde iki adet kare (kare bölge) ve iki adet eş dikdörtgen (dikdörtgensel bölge) var.
- Dikdörtgenlerden birinin alanı 24 cm².
- Karenin bir kenar uzunluğu ile ilgili bilgi verilmiş: BG = 8 cm (şekildeki 8 cm kenar, karenin kenarının bir parçası).
- Turuncu bölgeler görelim: Soldaki büyük kare (AGH) ve sağ alt küçük kare (E C bölümünde) renklendirilmiş.
- Soru: Turuncu bölgelerin alanları toplamı kaçtır?
Soruyu 5. Sınıf Mantığıyla, Adım Adım Çözelim
1. Kare ve Dikdörtgenlerin Tanımı:
-
Karenin adını koyarsak:
Karenin kenar uzunluğu s cm. -
Karenin kenar uzunluğu, çeşitli bölgelere bölünmüş.
-
BK ve BG gibi uzunlukları belirlemeye çalışalım.
2. Dikdörtgenlerin Alanı:
Dikdörtgenlerden biri belirtilmiş ve alanı 24 cm².
Şekildeki dikdörtgenlerden biri (örneğin G B E C dikdörtgeni) 8 \text{ cm} olan bir kısa kenarına sahip.
Dikdörtgenlerin iki eş olduğunu biliyoruz:
- Kısa kenarı: 8 cm (verilen)
- Uzun kenarı: x cm olarak belirleyelim.
Alan: 8 \times x = 24 \implies x = \frac{24}{8} = 3 cm
Yani dikdörtgenlerin eni 8 cm, boyu 3 cm.
3. Karenin Kenar Uzunluğu:
Karenin kenar uzunluğu, turuncu büyük karenin (AGH) ve dikdörtgenin kısa kenarlarının toplamı.
Yani:
AG + GB = AH + HB = s
Ama AG turuncu büyük karenin kenar uzunluğu,
GB = 8 cm (verilmiş)
Aynı zamanda dikdörtgen uzun kenarı 3 cm.
AG (turuncu büyük karenin kenarı) = x cm (henüz bilinmiyor),
Karenin kenarı: s = x + 8
4. Karelerin Alanları:
- Büyük turuncu karenin alanı: x^2
- Küçük turuncu karenin alanı: Dikdörtgen kısa kenarının bir bölümü olan 3^2 = 9 cm² (Çünkü küçük turuncu kare diktörtgenin uzun kenarına bitişik, kısa kenarı da 3 cm olduğundan)
5. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulmak:
Büyük turuncu karenin kenarı x,
Dikdörtgen kısa kenarı 8,
Karenin kenarı:
s = x + 8
Fakat aynı zamanda küçük turuncu karenin kenarı 3 cm.
6. Karenin Alanı Toplamı:
Karenin alanı:
Karenin içindeki parçalar:
- 2 kare: x^2 ve 3^2 = 9
- 2 eş dikdörtgen: Her biri 24 cm²; toplam 48 cm²
Karenin alanı:
7. Karenin Alanını s^2 Olarak Yazalım:
s^2 = (x + 8)^2 = x^2 + 16x + 64
Yukarıdaki toplam alan ile eşittir:
Buradan:
x negatif çıkıyor, bu mümkün değil. Burada bir hata yapmışız.
8. Hatalı / Eksik Yaklaşım Düzeltme:
Aslında küçük turuncu kare kısa kenar 3 cm demek yanlış.
Orada küçük kare turuncu, kısa kenarı dikdörtgen uzun kenarı kadar, yani 3 cm.
Verilen bilgiler:
- BG = 8 cm (kare kenarının bir parçası)
- Dikdörtgen kısa kenar uzunluğu 8 cm (daha doğru)
- Dikdörtgen uzun kenar uzunluğu 3 cm
Turuncu bölgeler:
- Büyük kare: AGH D alanı değil, sadece AG H alanı (yani x \times x)
- Küçük kare E C alanı 3 \times 3 = 9 cm²
Karenin kenar uzunluğu:
Dikdörtgen kısa kenar uzunluğu 8 cm, uzun kenarı 3 cmdır. Buna göre hesap yapalım:
Karenin alanı:
Karenin içindeki parçaların alanı (toplamı da 121 olmalı):
- 2 kare: x^2 (büyük kare) ve 3^2 = 9 (küçük kare)
- 2 eş dikdörtgen: Her biri 24 cm² olandan toplam 48 cm²
Toplam:
Buna göre:
9. Turuncu Alanların Toplamı:
- Büyük kare alanı: 8 \times 8 = 64 cm²
- Küçük kare alanı: 3 \times 3 = 9 cm²
Turuncu bölgelerin alan toplamı:
Sonuç:
Turuncu bölgelerin toplam alanı 73 cm²’dir.
Özet Tablosu
| Bölge | Kenar Uzunluğu (cm) | Alan (cm²) |
|---|---|---|
| Büyük kare (soldaki) | 8 | 64 |
| Küçük kare (sağ alttaki) | 3 | 9 |
| Her dikdörtgen (eş) | 8 x 3 | 24 |
| Dikdörtgenlerin toplam alanı | - | 48 |
| Karenin toplam alanı | 11 | 121 |
| Turuncu bölgelerin toplam alanı | - | 73 |