f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, verilen fonksiyonun türevini bulmak için “Bölüm yöntemi” kullanacağız. Bölüm yöntemine göre türev alınırken şu formülü uygularız:
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Burada:
- u = x^2 - 1 (pay)
- v = x^2 + x (payda)
Şimdi türev alma adımlarını sistemli şekilde gerçekleştirelim.
Adım 1: u ve v’nin türevlerini hesaplayalım
1.1: u = x^2 - 1 fonksiyonunun türevi:
u' = (x^2 - 1)' = 2x
1.2: v = x^2 + x fonksiyonunun türevi:
v' = (x^2 + x)' = 2x + 1
Adım 2: Bölüm yöntemi formülünü uygulayalım
Bölüm yöntemi formülü:
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Burada u, v, u', ve v' değerlerini formüle yerleştirelim:
f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + x) - (x^2 - 1)(2x + 1)}{(x^2 + x)^2}
Adım 3: Payı açalım
Paydaki ifadeyi detaylı olarak açarak sadeleştirelim:
İlk terim: (2x)(x^2 + x)
(2x)(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2
İkinci terim: (x^2 - 1)(2x + 1)
(x^2 - 1)(2x + 1) = (x^2 - 1) \cdot 2x + (x^2 - 1) \cdot 1
Şimdi çarpımları yapalım:
(x^2 - 1)(2x) = 2x^3 - 2x
(x^2 - 1)(1) = x^2 - 1
Toplayalım:
(x^2 - 1)(2x + 1) = 2x^3 - 2x + x^2 - 1
Payı düzenleyelim:
İlk terim ve ikinci terimi çıkararak düzenleyelim:
f'(x) = \frac{(2x^3 + 2x^2) - (2x^3 - 2x + x^2 - 1)}{(x^2 + x)^2}
İçerideki çıkarma işlemini yapalım:
f'(x) = \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x^3 + 2x - x^2 + 1}{(x^2 + x)^2}
Şimdi benzer terimleri birleştirelim:
f'(x) = \frac{(2x^3 - 2x^3) + (2x^2 - x^2) + (2x) + (1)}{(x^2 + x)^2}
f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}
Sonuç:
f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2}
Bu f’(x) türevidir. İsterseniz payı ve paydayı daha da sadeleştirmek veya faktörlere ayırmak mümkündür.
Özet Tablo:
| Adım | İşlem |
|---|---|
| Pay fonksiyonu (u) | x^2 - 1 |
| Pay türevi (u') | 2x |
| Payda fonksiyonu (v) | x^2 + x |
| Payda türevi (v') | 2x + 1 |
| Türev formülü | \frac{u'v - uv'}{v^2} |
| Türev sonucu | \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + x)^2} |
Eğer herhangi bir noktada takılırsanız, lütfen sormaktan çekinmeyin! 