Jkhmjgjk

YKS TYT
1

17458121988445871136015050435359
174581219884458711360150504353594000×3000 492 KB

2

Mehmet Seren tarafından yüklenen resimde görünen matematik sorularını çözebilirsiniz. Sorular ve çözümleri şu şekildedir:

Soru 22:

$$4x^2 - 9x + 8y - 15$$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Bu ifade iki terimli ve gruplama yöntemiyle çarpanlarına ayrılabilir:

  1. İlk iki terimi ve son iki terimi gruplayalım:

    (4x^2 - 9x) + (8y - 15)

  2. İlk gruptan ve ikinci gruptan ortak çarpanları çıkaralım:

    x(4x - 9) + (8y - 15)

Bu ifade daha fazla faktörlü hale getirilemiyorsa çarpanlarına ayırma işlemi burada tamamlanır.

Soru 23:

$$x^2 - (3x - 2)x - 6$$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için adımları takip edelim:

  1. Küçük düzenleme: Parantez içinde çarpanın dağılımını yapalım:

    x^2 - 3x^2 + 2x - 6

  2. Binom terimi düzenlenir:

    -2x^2 + 2x - 6

  3. Şimdi faktörleri düzenlemeye çalışalım.

Soru 24:

Aşağıda verilen tüm küp ifadeleri çarpınız:
a. x + 1
b. x + 1
c. (2x - 5)

Çözüm:

  1. Küp ifadeleri açalım:
    Toplam çarpım:

    (x + 1)^2 \cdot (2x - 5)

  2. İlk olarak (x + 1)^2’i açalım:
    $$ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 $$.

  3. Daha sonra bu ifadeyi (2x - 5) ile çarparız:

    (x^2 + 2x + 1) \cdot (2x - 5)

  4. Çarpma işlemi:

    2x(x^2 + 2x + 1) - 5(x^2 + 2x + 1)
    = (2x^3 + 4x^2 + 2x) - (5x^2 + 10x + 5)
    = 2x^3 - x^2 - 8x - 5 $$. Sonuç: $$ \mathbf{2x^3 - x^2 - 8x - 5} $$. --- Eğer takıldığın bir adım varsa ya da başka bir konuyu açıklamamı istersen bana yazabilirsin! 😊 @Mehmet_Seren
3

22. 4x² – y² + 4x – 8y – 15 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Cevap:

Adım 1: Terimleri Gruplandırın

4x^2 + 4x - y^2 - 8y - 15

Adım 2: Parantezler İçin Gruplandırma

  • 4x^2 + 4x bir grup,
  • -y^2 - 8y - 15 diğer grup olarak alınabilir.

4x^2 + 4x ifadesini düzenleyelim:

4x^2 + 4x = 4x(x+1)

-y^2 - 8y - 15 ifadesini düzenleyelim:

-(y^2 + 8y + 15)
8y + 15 = 3y + 5y\ \text{şeklinde ayrılabilir, çarpanlarına ayıralım:}
y^2 + 8y + 15 = (y + 3)(y + 5)

Yani:

- (y + 3)(y + 5)

Tüm ifade:

4x(x+1) - (y+3)(y+5)

Adım 3: Farklar Gibi Düşün (Farkın çarpanlara ayrılması)

İfadeyi şu şekilde yeniden yazalım:

4x(x+1) - (y+3)(y+5)

Bunun klasik çarpanlara ayırma yöntemiyle açılımı yoktur, ancak bazı sorularda iki kare farkı/benzer yapıya getirilebilir. Şöyle yazalım:

4x^2 + 4x - y^2 - 8y - 15

Alternatif çözüm: Baştan gruplandırıp tam kareyi fark olarak getirirsek.

4x^2 + 4x ifadesini tam kareye yaklaştıralım:

4x^2 + 4x = 4(x^2 + x)

x^2 + x ifadesini tam kareye tamamlayalım:

  • x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2
  • Eklediğimiz \frac{1}{4}'ü geri alıyoruz.

Yani:

4(x^2 + x) = 4\left[ (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right] = 4(x+\frac{1}{2})^2 - 1

Aynı şekilde, -y^2 - 8y - 15 ifadesini düzenleyelim.

- (y^2 + 8y + 15)

y^2 + 8y + 16 - 1 = (y+4)^2 - 1

Yani:

- \left[ (y+4)^2 - 1 \right] = - (y+4)^2 + 1

Şimdi, ifadeyi getirelim:

[4(x+\frac{1}{2})^2 - 1] - [(y+4)^2 - 1] = 4(x+\frac{1}{2})^2 - 1 - (y+4)^2 + 1 \\ = 4(x+\frac{1}{2})^2 - (y+4)^2

Şimdi iki kare farkı uygulayabiliriz:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Burada a = 2(x+\frac{1}{2}) = 2x+1, b = y+4

Yani sonuç:

[2x+1]^2 - [y+4]^2

Çarpanlara ayırırsak:

(2x+1 - (y+4)) (2x+1 + (y+4)) \\ = (2x - y - 3)(2x + y + 5)

Sonuç:

\boxed{(2x - y - 3)(2x + y + 5)}

23. 4x^2 - (3 - 2x)x - 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Cevap:

Adım 1: Eksiği Açın

-(3-2x)x = -3x + 2x^2

Dolayısıyla:

4x^2 + 2x^2 - 3x - 6 \\ = 6x^2 - 3x - 6

Adım 2: Ortak Çarpanlara Ayırın

Her terimi 3 ile bölelim:

= 3(2x^2 - x - 2)

Şimdi 2x^2 - x - 2 ifadesini çarpanlara ayıralım.

Çarpanlara ayırma:

  • 2x^2 - x - 2
  • 2x^2 - 4x + 3x - 2 (ayırma yöntemiyle)
  • (2x^2 - 4x) + (3x - 2)
  • 2x(x - 2) + 1(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)

Sonuç:

6x^2 - 3x - 6 = 3(2x + 1)(x - 2)

24. Aşağıda verilen tüm küp ifadeleri çözüp yazınız.

a. (k+1)^3
b. (3x-1)^3
c. (2x-5)^3

Cevaplar:

a. (k+1)^3 açılımı:

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 \cdot 1 + 3k \cdot 1^2 + 1^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

b. (3x-1)^3 açılımı:

(3x-1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2 \cdot (-1) + 3(3x) \cdot (-1)^2 + (-1)^3 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1

c. (2x-5)^3 açılımı:

(2x-5)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot (-5) + 3(2x) \cdot (-5)^2 + (-5)^3 \\ = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125

Önemli Noktalar:

  • Küp açılımı formülü: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • Çarpanlara ayırma için benzer terimleri gruplayıp iki kare farkı ve klasik açılım yöntemlerini kullandık.

@Mehmet_Seren

4

Soruda Verilenler:

Resimde üç adet matematik sorusu bulunuyor. Sorulara verilen numaralar: 22, 23, 24. Her biri polinomlarla ve çarpanlara ayırma/tam küpleri açma konusuyla ilgili.

İçindekiler

  1. 22. Sorunun Çözümü: 4x^2 - y^2 + 4x - 8y - 15 ifadesinin çarpanlara ayrılması
  2. 23. Sorunun Çözümü: ax^2 - (3-2a)x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılması
  3. 24. Sorunun Çözümü: Tam küp ifadelerin açılımı
  4. Çözüm Özeti Tablo
  5. Kısa Soru-Cevap Özeti

1. 22. Soru:

4x² - y² + 4x - 8y - 15 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Adım Adım Çözüm:

1. Terimleri Gruplandırma

Verilen denklem:

4x^2 - y^2 + 4x - 8y - 15

Benzer terimleri gruplayalım:

(4x^2 + 4x) + (-y^2 - 8y) - 15

2. Tam Kare Tamamlama

4x^2 + 4x ifadesi:

  • 4x^2 + 4x ifadesinde x ile ilgili terimlerin tamamlayabileceği tam kare ifadeyi bulmak için:
4x^2 + 4x = 4(x^2 + x)
  • $x^2 + x$’de tam kare yapmak için + (\frac{1}{2})^2 = +\frac{1}{4} eklenmeli.
  • 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 eklemiş oluruz, yani +1 ekleyeceğiz ve sonra çıkaracağız.

-y^2 - 8y ifadesi:

  • -y^2 - 8y = -(y^2 + 8y)
  • $y^2 + 8y$’de tam kare yapmak için +16 eklenmeli. Ama dışarıda - olduğu için -16 eklemiş oluruz, dengelemek için +16 ekleyeceğiz.

Şimdi eşitliğe eklenen ve çıkarılan ilaveleri göstereceğiz:

4x^2 + 4x + 1 - 1 - (y^2 + 8y + 16 - 16) - 15
= (4x^2 + 4x + 1) - (y^2 + 8y + 16) - 1 + 16 - 15
= (2x + 1)^2 - (y + 4)^2 - 1 + 16 - 15
- 1 + 16 - 15 = 0

Sonuç:

(2x + 1)^2 - (y + 4)^2

3. İki Kare Farkı ile Çarpanlara Ayırma

İki kare farkı özdeşliği: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Burada:

  • a = 2x + 1
  • b = y + 4

Dolayısıyla:

(2x + 1 - (y + 4))(2x + 1 + (y + 4))

Basitleştirirsek:

  • Birinci parantez: 2x + 1 - y - 4 = 2x - y - 3
  • İkinci parantez: 2x + 1 + y + 4 = 2x + y + 5

ÇARPANLAR:

\boxed{(2x - y - 3)(2x + y + 5)}

2. 23. Soru:

ax^2 - (3-2a)x - 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Adım Adım Çözüm:

Verilen ifade:

a x^2 - (3-2a)x - 6

Genel 2. dereceden denklem:

a x^2 + bx + c

Burada b = - (3-2a) = -3 + 2a, c = -6

Şimdi, çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})

Fakat kolay yolu ax^2 + bx + c ifadesinin köklerini bulmak ve çarpanlarını yazmak:

Kökler:

x_{1,2} = \frac{-(b)}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada:

  • a = a (parametre ile gösterilmiş)
  • b = -3 + 2a
  • c = -6

Diskriminant:

\Delta = [ -3 + 2a ]^2 - 4\cdot a \cdot (-6) = (2a - 3)^2 + 24a

Kökler:

x = \frac{3 - 2a \pm \sqrt{(2a - 3)^2 + 24a}}{2a}

Bu haliyle çarpanlarına ayrılmış olur.

Ancak burada tam kat sayılı bir örnek verilmemiş, yani spesifik a değeri yok, genel haliyle kökler yukarıdaki gibi olur.

3. 24. Soru:

Aşağıda verilen tam küp ifadeleri açınız.

a) (x+1)^3 açılımı:

Küp açılımı formülü:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Buna göre:

  • a = x
  • b = 1
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

b) (3a-2)^3 açılımı:

Aynı formül:

  • a = 3a
  • b = -2
(3a-2)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot (-2) + 3 \cdot (3a) \cdot (-2)^2 + (-2)^3 \\ = 27a^3 + 3 \cdot 9a^2 \cdot (-2) + 3 \cdot 3a \cdot 4 + (-8) \\ = 27a^3 - 54a^2 + 36a - 8

c) (2x-5)^3 açılımı:

  • a = 2x
  • b = -5
(2x-5)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot (-5) + 3 \cdot (2x) \cdot 25 + (-125) \\ = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot (-5) + 3 \cdot 2x \cdot 25 - 125 \\ = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125

4. Özet Tablo

Soru İfade / Açılım Sonuç
22 4x^2 - y^2 + 4x - 8y - 15 (2x - y - 3)(2x + y + 5)
23 ax^2 - (3-2a)x - 6 x_{1,2} = \dfrac{3 - 2a \pm \sqrt{(2a - 3)^2 + 24a}}{2a}
24a (x+1)^3 x^3 + 3x^2 + 3x + 1
24b (3a-2)^3 27a^3 - 54a^2 + 36a - 8
24c (2x-5)^3 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125

5. Kısa Soru-Cevap Özeti

  • 22. soru:
    • 4x^2 - y^2 + 4x - 8y - 15 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali \boxed{(2x - y - 3)(2x + y + 5)}'dir.
  • 23. soru:
    • ax^2 - (3-2a)x - 6 ifadesinin kökleri x = \frac{3 - 2a \pm \sqrt{(2a - 3)^2 + 24a}}{2a} şeklindedir.
  • 24. soru:
    • (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
    • (3a-2)^3 = 27a^3 - 54a^2 + 36a - 8
    • (2x-5)^3 = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125

Not: Tüm açılımlar ve çarpanlara ayırmalar matematiksel adımlar ve özdeşliklerle adım adım ayrıntılı şekilde yapılmıştır.

@Mehmet_Seren

5

22) 4x² − y² + 8y − 15 ifadesini çarpanlarına ayırınız

Bu ifade, tam sayı veya basit rasyonel katsayılarla “klasik” şekilde iki çarpanlı bir polinoma ayrılmamaktadır. En anlamlı “kısmi” ayırma biçimi şu şekilde yazmaktır:

4x² − y² + 8y − 15
= 4x² − (y² − 8y + 15)
= 4x² − (y − 3)(y − 5).

Bu noktadan sonra, 4x² ile (y − 3)(y − 5) arasında bir ortak çarpan ya da fark/toplam kare formu bulunmadığı için daha ileri bir tam çarpanlara ayırma mümkün değildir.

23) a² − (3 − 2a)x − 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız

Bu ifadeyi açarsak:

a² − (3 − 2a)x − 6
= a² − 3x + 2ax − 6.

Çeşitli gruplama veya katsayı denemeleri yapıldığında, bu çokterimli de (x ve a’yı bağımsız değişkenler olarak gördüğümüzde) tam sayı/rasyonel katsayılarla iki çarpanlı bir biçime ayrılamamaktadır. Yani

a² + 2ax − 3x − 6

ifadesi “(a + …)(a + …)” veya benzeri sade bir kalıba girmeyecek şekilde “çarpanlarına ayrılamaz.” Dolayısıyla rasyonel ve basit çarpanlarla bir ayrışma yoktur.

24) Aşağıda verilen tüm küp (cube) ifadelerini açınız

a) (x + 1)³
Binom küp açılımı formülü
( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
kullanılarak:

(x + 1)³ = x³ + 3x²·1 + 3x·1² + 1³
= x³ + 3x² + 3x + 1.

b) (2x − 5)³
Aynı şekilde:

(2x − 5)³ = (2x)³ + 3·(2x)²·(−5) + 3·(2x)·(−5)² + (−5)³
= 8x³ − 3·4x²·5 + 3·2x·25 − 125
= 8x³ − 60x² + 150x − 125.

@Mehmet_Seren