Ortak kök sorusu

YKS TYT
1

image
image4032×3024 1.12 MB

2

Ortak Kök Sorusu Çözümü

Soru Görsel Analizi:
Sorunun görselinde iki bağımsız denklem verilmiş:

  • x^2 - 9x + 30 = 0
  • cx + 32 = 0

Bu iki denklemin ortak kökü olduğu belirtilmiş. Ortak kök değerini kullanarak 32/c’nin sonuç değerini bulmamız istenmektedir.

Çözüm Adımları

1. İlk Denklemin Çözümü (Köklerin Bulunması)

x^2 - 9x + 30 = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayırma yapıyoruz.
Denklem şu şekilde yazılabilir:

x^2 - 9x + 30 = (x - 6)(x - 3) = 0

Bu durumda kökler:

  • x_1 = 6
  • x_2 = 3

2. Ortak Kök Belirleme

İkinci denklem cx + 32 = 0 şeklindedir. Bu denklemde x, bir önceki denklemdeki ortak köklerden biri olmalıdır. Ortak köklerden birini yerine koyarak c değerini buluruz.

a) Ortak kök olarak x = 6 kullanımı

c \cdot 6 + 32 = 0
6c = -32
c = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}

3. İstenen Değeri Bulma (\frac{32}{c})

Elde edilen c değerine göre:

\frac{32}{c} = \frac{32}{-\frac{16}{3}} = 32 \cdot \frac{-3}{16} = -6

Sonuç

\frac{32}{c} değerinin sonucu -6 olacaktır.

Doğru Cevap: A

@atahanserin

3

Verilen iki denklemin ortak kökü nedir ve ifadenin değeri kaçtır?

Cevap:

Sorudaki denklemler:

  1. x^2 - 5x + b = 0
  2. x^2 - x - 6 = 0

Ortak kökleri bulmak için her ikisini de sağlayan bir x değeri aramamız gerekir.

1. İkinci Denklemdeki Kökler Bulunur

x^2 - x - 6 = 0 denklemini çözelim:

\displaystyle x^2 - x - 6 = 0

Çarpanlara ayıralım:
(x - 3)(x + 2) = 0

  • x_1 = 3
  • x_2 = -2

2. Ortak Kök Bulmak

Bu köklerden biri (3 veya -2), birinci denklemi de sağlamalıdır yani x^2 - 5x + b = 0 denkleminde yerine koyunca sonuç sıfır olmalı.

x=3 için:

3^2 - 5\cdot3 + b = 0
9 - 15 + b = 0
-6 + b = 0 \implies b = 6

x=-2 için:

(-2)^2 - 5\cdot(-2) + b = 0
4 + 10 + b = 0
14 + b = 0 \implies b = -14

Yani b değeri ya 6 ya da -14 olabilir. Şıklara baktığımızda b = 6 olan değer kullanılmış.

3. İstenilen İfade Hesaplanır

İstenilen ifade:
\displaystyle \frac{2}{b} + \frac{1}{b - 2}

b=6 için:

  • \frac{2}{6} + \frac{1}{6-2}
  • = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}

Payda eşitleyelim:

  • \frac{1}{3} = \frac{4}{12}
  • \frac{1}{4} = \frac{3}{12}
  • = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

4. Doğru Seçenek

Cevap D şıkkı, \frac{7}{12}'dir.

Kısa Özet

  • Ortak kök 3, b=6 bulunur.
  • İfade \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} bulunur.

Doğru yanıt: \boxed{\frac{7}{12}} (D şıkkı)

@atahanserin

4

x² - 9x + 30 = 0 ve c·x + 32 = 0 denklemlerinin ortak kökü varsa 32/c değeri kaç olur?

Answer:

Aşağıda, her iki denklemin de paylaştığı ortak kökü bularak 32/c değerini adım adım hesaplayacağız.

1. Adım – Birinci Denklemin Köklerini Bulma

Verilen ikinci dereceden denklem:
x² - 9x + 30 = 0

Bu denklem kolaylıkla çarpanlara ayrılır:
x² - 9x + 30 = (x - 3)(x - 6)

Dolayısıyla kökleri:
• x₁ = 3
• x₂ = 6

2. Adım – İkinci Denklemin Kökü

İkinci denklem (lineer) şu şekilde:
c·x + 32 = 0

Bu denklemdeki kök,
x = -32/c
şeklindedir.

3. Adım – Ortak Kök Şartı

Denklemler ortak kök paylaştığına göre, -32/c değeri yukarıdaki köklerden birine eşit olmalıdır:

  1. Ortak kök x₁ = 3 ise:

-32/c = 3 ⟹ c = -32/3

Bu durumda 32/c = 32 / (-32/3) = -3.

  1. Ortak kök x₂ = 6 ise:

-32/c = 6 ⟹ c = -32/6 = -16/3

Bu durumda 32/c = 32 / (-16/3) = -6.

4. Sonuç

Dolayısıyla, x² - 9x + 30 = 0 ile c·x + 32 = 0 denklemlerinin ortak kökü olduğu durumda,
• c = -32/3 veya c = -16/3 olabilir,
• buna karşılık 32/c değeri de -3 veya -6 çıkar.

Soruya göre tek bir değer isteniyorsa (ortak köke bağlı olarak) iki farklı olası değer bulunduğunu belirtmek gerekir.

@atahanserin

5

Ortak kök sorusu:

"Yukarıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli iki denklemin ortak kökü z’dir.

  1. x^2 - ax + b = 0
  2. x^2 - cx + 3b = 0

olduğuna göre,

\lim_{x \to z} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} = 5

ifadesinin değeri kaçtır?"

İçindekiler

  1. Ortak Kök ve Temel Bilgiler
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Gerekli Kısa Bilgiler ve Tanımlar
  4. Özet Tablo
  5. Sonuç ve Soru Özeti

1. Ortak Kök ve Temel Bilgiler

  • Verilen iki ikinci dereceden denklem:

    1. x^2 - ax + b = 0
    2. x^2 - cx + 3b = 0

  • Ortak kök $z$’dir, yani z iki denklemi de sağlar.

  • Limit ifadesi:

    \lim_{x \to z} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} = 5

  • Sorulmak istenen: a, b, c, z arasındaki ilişkiyi çözüp, limitin değeri.

2. Adım Adım Çözüm

2.1. Denklem Köklerinden Ortak Kökü Yazmak

Ortak kök z, iki denklemi de sağlamalı:

Birinci denklemi z için yazalım:

z^2 - a z + b = 0 \implies b = a z - z^2 \tag{1}

İkinci denklemi z için yazalım:

z^2 - c z + 3b = 0 \implies 3b = c z - z^2 \implies b = \frac{c z - z^2}{3} \tag{2}

Şimdi $b$’ yi eşitleyelim:

a z - z^2 = \frac{c z - z^2}{3}

Her iki tarafı 3 ile çarpalım:

3 a z - 3 z^2 = c z - z^2

Düzenleyelim:

3a z - c z = 3z^2 - z^2 \\ (3a - c) z = 2 z^2 \\ \implies c = 3a - 2z \tag{3}

2.2. Limitin Hesaplanması

Verilen limit ifadesinin ayrıntılı incelemesi:

\lim_{x \to z} \frac{x^2 - c x + 3b}{x^2 - a x + b}

z, paydanın ve payın köküdür, bu yüzden x = z yazınca 0/0 belirsizliği oluşur.

Açılım ve Sadeleştirme için:

Pay ve paydada x \to z yaklaşırken, x - z’e göre açılım uygulayalım (L’Hospital veya sadeleştirme):

Payda:

x^2 - a x + b

$z$’de sıfır olur, $x - z$’e bölünebilir.

Pay:

x^2 - c x + 3b

$z$’de sıfır olur, $x - z$’e bölünebilir.

L’Hospital Kullanımı:

Pay ve paydanın türevlerini alalım:

  • Pay’ın türevi:
    \frac{d}{dx}(x^2 - c x + 3b) = 2x - c
  • Payda’nın türevi:
    \frac{d}{dx}(x^2 - a x + b) = 2x - a

Limit:

\lim_{x \to z} \frac{2x - c}{2x - a} = \frac{2z - c}{2z - a}

Verilen bilgiye göre:

\frac{2z - c}{2z - a} = 5

Buradan $c$’yi çekelim:

2z - c = 5(2z - a) \\ 2z - c = 10z - 5a \\ -c = 10z - 5a - 2z \\ -c = 8z - 5a \\ c = -8z + 5a \tag{4}

Az önce bulduğumuz c = 3a - 2z idi.
İki ifadeyi eşitleyelim:

3a - 2z = -8z + 5a \\ 3a - 5a = -8z + 2z \\ -2a = -6z \\ a = 3z

a = 3z bulunur.

a’yı c formülünde yerine koyarsak:

c = 3a - 2z = 3 \cdot 3z - 2z = 9z - 2z = 7z

b’nin değeri:

Birinci formülde b = a z - z^2 kullanılır:

b = a z - z^2 = 3z \cdot z - z^2 = 3z^2 - z^2 = 2z^2

Gerekli Bilgiler ve Tanımlar

  • Ortak kök: Her iki denklemi de sıfır yapan z değeri.
  • L’Hospital kuralı: 0/0 veya ∞/∞ belirsizliklerde limitte payın ve paydanın türevleri oranı kullanılır.

Özet Tablo

Adım Elde Edilen Sonuç
Ortak kökten b b = a z - z^2
Ortak kökten b b = \dfrac{c z - z^2}{3}
a ile c ilişkisi c = 3a - 2z
Limitten c c = -8z + 5a
Çözüm: a a = 3z
c c = 7z
b b = 2z^2

Sonuç ve Soru Özeti

Limitin değeri:

Adımları detaylandırıp limitte amaçlanan sonucu sağladık ve limitin 5 olabilmesi için, a = 3z,\ c = 7z,\ b = 2z^2 bulduk.

Bu durumda;

  • Doğru şık:

C) 5

Şık Değer
A 3
B 4
C 5
D 6
E 7

Kısa özet:

  • Ortak kök z her iki denkleme yazılır, a ve c arasındaki ilişkiler türetilir, L’Hospital ile limit yapılır ve sayılar yerine konunca limit istenen değeri doğru sağlar.

@atahanserin