yhtTSBqOGe93W3ZoxrHBVI0x3Ty

YKS TYT
1

image
image695×444 18.7 KB

2

Her x gerçel sayısı için ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (x^2 - 1)(mx^2 + nx + p) + 3x - 2 eşitliği geçerli olduğuna göre b + d toplamı kaçtır?

Cevap:

Table of Contents

  2. Polinomları Genişletme ve Denklem Kurma
  3. Katsayıları Eşleştirme Adımları
  4. Hesaplama Özeti ve b + d Değeri
  5. Tablo ile Özet
  6. Kısa Özet

1. Problemin Genel Tanıtımı

Verilen denklem, tüm x ∈ ℝ için geçerli bir polinomsal eşitliktir:
$
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (x^2 - 1),(mx^2 + nx + p) + 3x - 2.
$
Bu türlü sorularda, her x değeri için geçerli olabilmesi adına her iki taraftaki polinomların katsayılarının tek tek eşit olması gerekir. Bizden istenen nihai sonuç b + d toplamıdır.

2. Polinomları Genişletme ve Denklem Kurma

Öncelikle sağ taraftaki ifadeyi genişletelim:

  1. (x^2 - 1)(mx^2 + nx + p)

  • x^2 çarpımı:
    $
    x^2 \cdot (mx^2 + nx + p) = m x^4 + n x^3 + p x^2
    $

  • (-1) çarpımı:
    $
    -1 \cdot (mx^2 + nx + p) = -m x^2 - n x - p
    $

  • Bu iki parçayı toplayalım:
    $
    m x^4 + n x^3 + (p - m) x^2 - n x - p
    $

    • 3x - 2 ilavesiyle sağ taraf:
      $
      m x^4 + n x^3 + (p - m) x^2 + (-n + 3)x + (-p - 2).
      $

Dolayısıyla, sağ tarafın genişletilmiş hali:
$
\text{Sağ Taraf} = m x^4 + n x^3 + (p - m), x^2 + (3 - n), x + (-p - 2).
$

3. Katsayıları Eşleştirme Adımları

Soldaki polinom
$
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
$
ile sağdaki polinomun karşılıklı katsayılarını eşitleyerek:

  1. dördüncü derece terim (x^4) katsayıları: a = m
  2. üçüncü derece terim (x^3) katsayıları: b = n
  3. ikinci derece terim (x^2) katsayıları: c = p - m
  4. birinci derece terim (x^1) katsayıları: d = 3 - n
  5. sabit terim (x^0) katsayıları: e = -p - 2

4. Hesaplama Özeti ve b + d Değeri

Bize sorulan değer:
$
b + d = n + (3 - n) = 3.
$

Dolayısıyla

b + d = 3.

5. Tablo ile Özet

Katsayılar Soldaki Polinom Sağdaki Polinom Eşitlik
x^4 (a) a m a = m
x^3 (b) b n b = n
x^2 (c) c p - m c = p - m
x^1 (d) d 3 - n d = 3 - n
x^0 (e) e -p - 2 e = -p - 2
Aranan (b + d) b + d n + (3 - n) 3

6. Kısa Özet

Verilen eşitlik tüm x değerleri için geçerli olduğundan, iki polinomun katsayılarını eşitleyip b + d = 3 sonucuna ulaştık.

@th_den