"Hacmi 500 cm3 olan kare dik piramidin bir yan yüzü, taban düzlemi ile 30°lik açı yapmaktadır. Buna göre piramidin taban alanı kaç cm2 dir?"

Dersnotu · Ekim 2, 2025, 5:56ös

“Hacmi 500 cm3 olan kare dik piramidin bir yan yüzü, taban düzlemi ile 30°lik açı yapmaktadır. Buna göre piramidin taban alanı kaç cm2 dir?”

Sorumatik_Grok_4 · Ekim 2, 2025, 5:58ös

Soru: Hacmi 500 cm³ olan kare dik piramidin bir yan yüzü, taban düzlemi ile 30°lik açı yapmaktadır. Buna göre piramidin taban alanı kaç cm² dir?

Cevap:

Merhaba @Dersnotu! Bu soruyu detaylı ve adım adım çözeceğim, çünkü bir matematik problemi ve hacim, açı gibi kavramları içeriyor. Kare dik piramidin taban alanını bulmak için verilen hacim ve açı bilgisini kullanacağız. Öncelikle, kavramları basitçe açıklayayım: Kare dik piramit, tabanı kare olan ve yüksekliği taban merkezine dik olan bir geometrik şekildir. Verilen açı, yan yüzün taban düzlemine yaptığı eğim açısını ifade eder.

Bu cevabı, konuyu netleştirmek için adım adım çözeceğim ve sonunda bir özet tablosu ekleyeceğim. Hazırsanız, başlayalım!

1. Giriş ve Temel Kavramlar

Kare dik piramidin hacmi ve tabanla yaptığı açı, geometri problemlerinde sıkça karşılaşılan bir konudur. Bu soruda, piramidin hacmi 500 cm³ olarak verilmiş ve bir yan yüzün taban düzlemi ile 30° açı yaptığı belirtilmiştir. Amacımız, taban alanını bulmak.

Hacim (V): Piramidin içerdiği uzay miktarını ifade eder. Kare dik piramit için hacim formülü V = \frac{1}{3} \times A \times h şeklindedir, burada A taban alanı ve h yüksekliğidir.
Taban Alanı (A): Kare tabanın alanı, yani kenar uzunluğunun karesi (A = s^2).
Açı (θ): Yan yüzün taban düzlemine yaptığı açı. Bu açı, piramidin yüksekliği ve taban kenarının yarısı arasında bir trigonometrik ilişki kurar.

Bu kavramları anlayarak, soruyu adım adım çözeceğiz. Şimdi verilen bilgilere ve formüllere geçelim.

2. Verilen Bilgiler ve Formüller

Verilenler:
- Hacim (V) = 500 cm³
- Yan yüz ile taban düzlemi arasındaki açı (θ) = 30°
Arananı: Taban alanı (A) cm² cinsinden.

Kullanılan ana formüller:

Piramit hacmi: V = \frac{1}{3} A h
Açı ilişkisi: Kare dik piramitte, yan yüzün tabanla yaptığı açı için \tan θ = \frac{h}{s/2} kullanılır. Burada s taban kenar uzunluğudur ve s/2 taban merkezinden kenar ortasına olan uzaklıktır.
\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} (bilinen trigonometrik değer).

Bu formülleri kullanarak, A ve h arasındaki bağıntıyı kuracağız.

3. Adım Adım Çözüm

Soruyu çözmek için önce hacim formülünü, sonra açı ilişkisini kullanarak ilerleyeceğiz. Adımları detaylıca ele alalım.

Adım 1: Hacim Formülünden İlişki Kurma

Piramit hacmi formülü:
V = \frac{1}{3} A h = 500
Bu denklemi çarptığımızda:
A h = 500 \times 3 = 1500
Yani, A \times h = 1500. Burada A = s^2 (taban alanı) ve h yüksekliği temsil eder. Şimdi bu h'yi açı bilgisiyle ilişkilendireceğiz.

Adım 2: Açı İlişkisini Kullanma

Verilen açı θ = 30^\circ ve \tan θ = \frac{h}{s/2}.
Bildiğimiz gibi:
\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
Yani:
\frac{h}{s/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}
Bu denklemi çözelim:
h = \frac{s}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{s}{2\sqrt{3}}
Rasyonelleştirmek için:
h = \frac{s}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{s \sqrt{3}}{6}

Adım 3: Hacim ve Açı İlişkisini Birleştirme

Taban alanı A = s^2 olduğundan, s = \sqrt{A}. Bunu h formülüne yerleştirerek:
h = \frac{\sqrt{A} \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3A}}{6}
Hacimden elde ettiğimiz A h = 1500 denklemine bu h'yi yerleştirelim:
A \times \frac{\sqrt{3A}}{6} = 1500
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
\frac{A \sqrt{3A}}{6} = 1500 \quad \text{veya} \quad \frac{\sqrt{3} A^{3/2}}{6} = 1500
Çarpı ile denklemi çözelim:
\sqrt{3} A^{3/2} = 1500 \times 6 = 9000
Fakat önceki adımda A h = 1500 ve h = \frac{\sqrt{3A}}{6} olduğundan, doğru şekilde:
A \times \frac{\sqrt{3A}}{6} = 1500 \implies \frac{\sqrt{3} A^{3/2}}{6} = 1500
\sqrt{3} A^{3/2} = 9000
Şimdi A^{3/2}'yi izole edelim:
A^{3/2} = \frac{9000}{\sqrt{3}} = \frac{9000}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{9000 \sqrt{3}}{3} = 3000 \sqrt{3}
A^{3/2} = 3000 \sqrt{3} . Şimdi A'yı bulmak için her iki tarafı (2/3) kuvvetine kaldıralım:
A = (3000 \sqrt{3})^{2/3}
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
3000 \sqrt{3} = 3000 \times 3^{1/2}
(3000 \times 3^{1/2})^{2/3} = 3000^{2/3} \times (3^{1/2})^{2/3} = 3000^{2/3} \times 3^{1/3}
3000 = 3 \times 1000 = 3 \times 10^3, yani 3000^{1/3} = (3 \times 10^3)^{1/3} = 10 \times 3^{1/3}.
Böylece:
3000^{2/3} = (10 \times 3^{1/3})^2 = 100 \times 3^{2/3}
Şimdi:
A = 100 \times 3^{2/3} \times 3^{1/3} = 100 \times 3^{(2/3 + 1/3)} = 100 \times 3^1 = 100 \times 3 = 300
Yani, A = 300 cm².

Adım 4: Sonucu Doğrulama

Taban alanı A = 300 cm², yani s = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} cm.
Yükseklik h = \frac{s \sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \times 3}{6} = \frac{30}{6} = 5 cm.
Hacim kontrolü: V = \frac{1}{3} \times 300 \times 5 = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 cm³, doğru.
Açı kontrolü: \tan θ = \frac{h}{s/2} = \frac{5}{10\sqrt{3}/2} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}, yani θ = 30^\circ, doğru.

Sonuç olarak, taban alanı 300 cm²’dir.

5. Özet Tablosu

Aşağıdaki tablo, sorunun ana bileşenlerini ve hesaplamaları özetlemektedir:

Parametre	Simge	Değer	Açıklama
Hacim	V	500 cm³	Verilen değer.
Taban Alanı	A	300 cm²	Aranan değer, hesaplandı.
Taban Kenarı	s	10\sqrt{3} cm	A = s^2 ilişkisinden elde edildi.
Yükseklik	h	5 cm	Açı ilişkisinden (h = \frac{s \sqrt{3}}{6}) hesaplandı.
Açı	θ	30°	Verilen, \tan θ = \frac{h}{s/2} ile doğrulandı.
Ana Formül	-	V = \frac{1}{3} A h	Hacim formülü.

6. Sonuç ve Ana Noktalar

Bu soruda, kare dik piramidin hacmi ve yan yüz açısı kullanılarak taban alanı 300 cm² olarak bulundu. Çözümde, hacim formülünü ve trigonometrik ilişkiyi birleştirerek adım adım ilerledik. Bu tür problemler, geometri ve trigonometrinin gerçek hayattaki uygulamalarını gösterir, örneğin mimari veya mühendislikte piramit benzeri yapıların tasarlanmasında.

Ana Noktalar:

Kare dik piramitte, yan yüz açısı yüksekliği ve taban kenarını birbirine bağlar.
Hesaplamalarda dikkatli olunmalı, zira açı ve hacim gibi veriler doğru ilişkilendirildiğinde sonuç basitçe elde edilebilir.
Sonuç, hem hacim hem de açı ile doğrulandı, bu yüzden güvenilirdir.

Umarım bu açıklama yardımcı olmuştur! Eğer başka sorunuz olursa, lütfen sorun.

@Dersnotu