Görseldeki sorunun çözümü için aşağıdaki açıklamaları dikkate alabilirsiniz:
Verilen Soru:
Soruda, f fonksiyonunun tek ve g fonksiyonunun çift olduğu belirtilmiş. Ayrıca, f ve g fonksiyonları pozitif ve gerçek sayılar fonksiyonlarıdır. Eşitsizlik ifadeleri verilmiş ve hangilerinin doğru olduğu sorulmuştur.
Fonksiyonların Özellikleri:
-
Tek Fonksiyon (f):
- Tek bir fonksiyon için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.
- Tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
-
Çift Fonksiyon (g):
- Çift bir fonksiyon için g(-x) = g(x) eşitliği sağlanır.
- Çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.
Bu özellikler kullanılarak verilen eşitsizlikler analiz edilmelidir.
I. f(a) + g(a) > 0
- Burada f(a) ve g(a) değerlerinin toplamının pozitif olduğu belirtilmiş.
- f ve g fonksiyonlarının pozitif sayılar için tanımlı olduğu bilgisi verilmiş. Bu şart sağlanır.
Kesinlikle doğru bir ifade.
II. f(a) - g(a) > 0
- f(a) ve g(a) arasında çıktı farkına bakılır.
- Ancak burada
f(a)veg(a)arasında pozitiflik açısından net bir bilgi verilmemiştir. - Bu ifade her zaman doğru olmayabilir ve kesin doğru değildir.
Bu ifade doğru olmayabilir.
III. f(-a) < g(a)
- Tek olan f(x) için f(-a) = -f(a) eşitliği vardır.
- Çift olan g(x) için g(-a) = g(a) olduğundan, çift fonksiyonun pozitifliği korunur.
- Bu durumda -f(a) < g(a) sağlanabilir.
Kesinlikle doğru bir ifade.
Sonuç:
Verilen eşitsizliklerden doğru olanları incelediğimizde:
- I ve III kesinlikle doğrudur.
Doğru Şık: E) I ve III
Görseldeki sorunun doğru çözümü yukarıdaki şekilde sağlanmıştır. Eğer ek bir açıklama ister veya detay sormak istersen, bana yazabilirsin! 
Öncelikle sorudaki “negatif tarafta kalan grafiği x‐ekseni etrafında yansıtma” ifadesi, “x<0” bölgesi için g(x)=−f(x) olduğunu gösterir. Öte yandan g’nin çift olması (g(−x)=g(x)) ve f’nin tek olması (f(−x)=−f(x)) birlikte kullanıldığında, x>0 için
g(x)=g(−x)=−f(−x)=−[−f(x)]=f(x)
elde edilir. Dolayısıyla a>0 için g(a)=f(a) geçerlidir. Bu bilgiyle maddeleri inceleyelim:
• (I) f(a)+g(a)>0 demek, a>0 için 2f(a)>0 yani f(a)>0 anlamına gelir. Oysa tek bir fonksiyonun pozitif sayılarda her zaman pozitif olması garanti değildir. Dolayısıyla (I) kesinlikle doğru değildir.
• (II) f(a)·g(a)≥0 ifadesi, a>0 için f(a)·f(a)≥0 (yani f(a)²≥0) olduğundan daima doğrudur.
• (III) f(a)<g(a) demek, a>0 için f(a)<f(a) demektir ki bu mümkün değildir (iki taraf eşit).
Bu nedenle kesinlikle doğru olan tek ifade (II) olduğundan doğru cevap “Yalnız II” olur.
Soru: f fonksiyonu tek ve g fonksiyonu çift olduğuna göre, pozitif a gerçek sayısı için I. f(a) = g(a) > 0, II. f(a) = g(a) < 0, III. f(a) < g(a) ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevap:
Bu tip sorularda, “tek (odd) fonksiyon” ve “çift (even) fonksiyon” kavramlarına dayanarak f ve g’nin işaretleri veya büyüklükleri hakkında kesin hüküm vermek genellikle ek bilgiler gerektirir. Sadece “f tek, g çift” demek; f’in “f(-x) = -f(x)” ve g’nin “g(-x) = g(x)” koşullarını sağladığını gösterir, ancak f(a) ile g(a)’nın işaretlerini ya da büyüklük ilişkilerini doğrudan belirlemez. Soruda ayrıca “f fonksiyonunun x < 0 bölgesindeki grafiğini x-eksenine göre yansıtınca yine f’in x < 0 tarafı elde ediliyor” şeklinde bir ifade var; bu ifade tek fonksiyonun orjin (0,0) etrafındaki simetrisine tam olarak karşılık gelmediğinden (tek fonksiyonlar genelde orijine göre simetriktir, x-ekseni etrafındaki simetri farklı bir koşuldur) kafa karıştırabilmektedir.
Aşağıda temel prensipler ve olası durumlar özetlenmiştir:
-
Tek Fonksiyon (f) Özelliği:
- f tek ise f(-x) = -f(x) olup genellikle f(0) = 0’dır.
- Tek fonksiyonun işareti, -x → x geçişinde “pozitif ↔ negatif” şeklinde değişir. Ama “x>0’da kesin pozitif” gibi bir çıkarım yapmak mümkün değildir, çünkü örnek olarak f(x) = x³ pozitifken f(x) = -x³ negatif de olabilir (sadece “f(-x) = -f(x)” koşulu değişmez).
-
Çift Fonksiyon (g) Özelliği:
- g çift ise g(-x) = g(x).
- g’nin işareti, -x → x geçişinde değişmez. Fakat x>0 bölgesinde g(x)’in işareti artı mı eksi mi, sabit mi vb. yine fonksiyonun özel tanımına bağlıdır (örneğin g(x)=x² daima ≥ 0 iken g(x)=x²-4 hem pozitif hem negatif alabilir).
-
f(a) = g(a) Eşitliğinin Varlığı:
- Yalnızca tek/çift olmaktan yola çıkarak f(a) ile g(a)’nın her pozitif a için birbirine eşit olduğunu söylemek mümkün değildir. Genelde bir tek ve bir çift fonksiyonun tüm a>0 değerlerinde eşit olması çok özel (hatta çoğu zaman imkânsız) durumlara işaret eder.
-
İşaret ( > 0 veya < 0 ) ve Büyüklük ( <, > ) Karşılaştırmaları:
- f’in pozitif ya da negatif oluşu, g’nin pozitif ya da negatif oluşu veya f(a) < g(a) tipi bir karşılaştırma; tek/çiftlik dışında ayrıca “fonksiyonun grafiği nerededir, maksimum-minimum noktaları var mıdır, vb.” bilgilerine de ihtiyaç duyar. Sadece tek/çift bilgiyle “f(a) < g(a)” veya “f(a) = g(a) > 0” gibi bir yargı tüm a>0 için asla kesin çıkmaz.
Dolayısıyla soruda verilen “I. f(a)=g(a) > 0, II. f(a)=g(a) < 0, III. f(a)<g(a)” gibi ifadeler “kesinlikle doğrudur” sonucuna ulaşmak için yetersiz bilgi içeriyor. Tek ve çift fonksiyon tanımıyla, bu üç önermeden hiçbiri “her pozitif a değeri için mutlaka geçerlidir” diye sabitlenemez. Genellikle bu tür soruların çözümünde:
• Şekil veya grafik bilgisi,
• Ya da f ve g’nin tanımlarına dair ek koşullar (ör. belli bir bölgede pozitiflik, bir kesişme noktası gibi) verilmediği sürece,
hiçbir ifade “kesinlikle doğru” kabul edilemez.
Kısacası, salt “f tek, g çift ve verilen x-ekseni simetrisi” bilgileriyle I, II, III numaralı ifadelerden hangisinin geçerli olacağı net değildir. Çoğu durumda cevap, “hiçbiri kesinlikle doğru değildir” veya “verilen bilgiler yetersizdir” şeklinde çıkması muhtemeldir.