Soru İncelemesi ve Çözümü
Soru:
Bir matematik öğretmeni, yukarıda verilen grafikle karşılaştığında, bu grafiğin [a, b] aralığında belirtilen sıradağların denklemine yönelik tahmin yapıyor. Grafik seçeneklerden birinin denklemine uygun. Hangi denklem doğru olabilir?
Grafik Analizi:
-
Grafik Özellikleri:
- Bir polinom fonksiyonun grafiği verilmiştir.
- Grafik birkaç noktada kesişmeler ve dönüm noktaları içeriyor (tepe ve çukur noktaları).
- Polinomun derecesi tepe ve çukur noktalarının sayısıyla ilişkilidir.
-
Derece Belirleme:
- Tepe ve çukur noktalarına bakıldığında grubun 3. veya 4. derece polinomu bir fonksiyon olduğunu söylemek mümkündür (4 tepe/çukur noktası olasılık dahilinde).
Polinom Seçeneklerini İnceliyoruz:
A) y = x^3 + 2x^2 + 6x - 1
- Derecesi: 3 (Çünkü en büyük kuvvet x^3).
- Bu seçenek uygun olabilir, çünkü grafikte bir “küp polinom” geçiş mevcut.
B) y = x^2 + 6x + 4
- Derecesi: 2 (Bu sadece bir parabol grafiği açar).
- Grafik tepe ve çukurları içermediği için bu seçenek uymaz.
C) y = -\frac{2}{3} x^3 + x^2 - 2x + 5
- Derecesi: 3
- Ters yönde açılımı olan bir kübik polinom olabilir; ama grafiğin genel yapısına uygun değil.
D) y = x^3 + x^2 - 4x + 1
- Derecesi: 3
- Grafik ve sıralanan değerler düşünüldüğünde bu seçeneğin doğru olduğu sonucu çıkar. Bu denklem grafikteki [a, b] aralığını matematiksel olarak en iyi şekilde temsil ediyor.
E) y = 2x^3 + 4x - 1
- Derecesi: 3
- Pozitif bir kübik açılır ancak grafik yapısına tam oturmaz.
Doğru Seçenek:
D) y = x^3 + x^2 - 4x + 1
Bu seçenek grafik yapısına en iyi şekilde uyum sağlıyor.
Bu öğretmenin yazdığı denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap: D) y = x³ + x² – 4x + 1
Açıklama:
- Bir kübik (üçüncü dereceden) fonksiyonun grafiğinde, genellikle en çok iki adet yerel ekstrema (bir maksimum ve bir minimum) bulunur. Sorudaki eğri (iki tepe ve bir çukur şeklinde) tam da böyle bir tipik kübik fonksiyona işaret etmektedir.
- Seçeneklerdeki fonksiyonlardan (A), (C) ve (E) farklı katsayılara ve işaretlere sahip olup grafik şeklinin istenen biçimde (ilk tepe–çukur–ikinci tepe) olma ihtimali daha düşüktür. (B) seçeneği ise sadece ikinci dereceden olup bu şekilde iki zirve/tepe oluşturamaz.
- (D) seçeneğindekiy = x^3 + x^2 - 4x + 1fonksiyonunun türeviy' = 3x^2 + 2x - 4iki farklı gerçek köke sahiptir. Bu durum, grafiğin [a, b] aralığında bir yerel maksimum ve bir yerel minimum oluşturmasına olanak tanır; bu da soruda gösterilen dalgalı (dağ formundaki) şekle uyumludur.
Dolayısıyla denklem, (D) y = x³ + x² - 4x + 1 olarak seçilmelidir.
Bu soruyu çözerken en kritik nokta, verilen grafik üzerinde (en az) bir yerel maksimum ve bir yerel minimum (yani iki ayrı dönüm noktası) olmasıdır. Bir polinomun bu şekilde iki ayrı dönüm noktası verebilmesi için türevinin iki gerçek kökü olmalıdır. Aday fonksiyonların türevlerini inceleyince:
• A) y = x³ + 2x² + 6x – 1
Türevi: 3x² + 4x + 6.
Diskriminantı 4² – 4·3·6 = 16 – 72 = –56 < 0 olduğu için reel kökü yoktur; dolayısıyla tek dönüm noktası bile oluşmaz.
• B) y = x² + 6x + 4
Bu zaten ikinci dereceden (parabol) olduğundan ancak bir tane ekstremum noktası vardır. İki “tepe/çukur” yapamaz.
• C) y = –(2/3)x³ + x² – 2x + 5
Türevi: –2x² + 2x – 2 = –2(x² – x + 1).
x² – x + 1 in diskriminantı –3 < 0, reel kökü yoktur; yine iki ayrı ekstremum sağlamaz.
• D) y = x³ + x² – 4x + 1
Türevi: 3x² + 2x – 4.
Diskriminantı 2² – 4·3·(–4) = 4 + 48 = 52 > 0, yani türevin iki reel kökü vardır. Bu da fonksiyonun iki dönüm noktası (bir maksimum ve bir minimum) barındırabileceğini gösterir.
• E) y = 2x³ + 4x – 1
Türevi: 6x² + 4.
6x² + 4 = 0’ın reel çözümü yoktur; dolayısıyla dönüm noktası bulunmaz.
Bu analizde sadece D şıkkındaki fonksiyon (x³ + x² – 4x + 1) iki gerçek köklü türeve (yani bir maksimum ve bir minimuma) sahip olabilir. Grafikle örtüşen “iki tepe, bir çukur” benzeri dalgalı yapı da ancak bu fonksiyonda gerçekleşebilir.
Dolayısıyla doğru cevap D şıkkıdır.