Mutlak değer içeren eşitsizlik: |7 - 2x| > 5 olduğunda x değerlerinin bulunması ve b - a farkının hesaplanması
Soru Özeti:
Verilen eşitsizlik:
|7 - 2x| > 5
Bu eşitsizliği sağlayan x değerleri ]a, b[ aralığında ise, b - a değerini bulunuz.
1. Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Genel Prensibi
Mutlak değer eşitsizliği |A| > c ise, bu şu şekilde açılır:
|A| > c \implies A < -c \quad \text{veya} \quad A > c
Burada c > 0 pozitif bir sabittir.
Not: Eğer eşitsizlik |A| \leq c şeklindeyse,
|A| \leq c \implies -c \leq A \leq c
şeklinde açılır.
2. Verilen Eşitsizliğin Çözümü
Eşitsizlik:
|7 - 2x| > 5
Buna göre:
7 - 2x < -5 \quad \text{veya} \quad 7 - 2x > 5
2.1. İlk Durum: 7 - 2x < -5
İşlemler:
7 - 2x < -5 \\
-2x < -12 \quad \Rightarrow \quad x > 6
2.2. İkinci Durum: 7 - 2x > 5
İşlemler:
7 - 2x > 5 \\
-2x > -2 \quad \Rightarrow \quad x < 1
3. Çözüm Kümesi
|7 - 2x| > 5 eşitsizliğini sağlayan x değerleri:
x < 1 \quad \text{veya} \quad x > 6
Yani çözümler, ] -\infty, 1[ ve ]6, +\infty[ aralıklarıdır.
4. x Değerlerinin Bulunduğu Aralık ]a, b[ ise
Soru, x değerlerinin ]a, b[ aralığında olduğunu ve b - a değerini sormaktadır. Çözümde iki ayrı aralık elde ettik, ama soru muhtemelen bu aralıkların birleştiği ve gerçek sayılar olduğundan söz ediyor ve iki aralık değil tek aralık olarak düşünülüyorsa şöyle yorumlanabilir:
Ancak bu eşitsizlikte geçerli x değerleri bir aralık değil, iki disjunkt aralıkdır:
- x < 1 (Sol uç sonsuzdan 1’e kadar)
- x > 6 (6’dan sonsuza kadar)
Bu durumda tek bir açık aralık ile ifade edilemez. Eğer soru, x değerlerinin bulunması sonrası bu sayıların oluşturduğu en küçük aralık ]a,b[ ise b - a nedir? sorusunu soruyorsa, bunu şöyle yapabiliriz:
- x<1 için küme (-\infty, 1)
- x>6 için küme (6, +\infty)
En küçük gerçek sayı aralığı ]a,b[ şeklinde ifade edilecekse, gerçek sayılar arasında sonsuzluk olduğu için mümkün değil.
5. Olası Yorum: Eğer Eşitsizlik |7 - 2x| \leq 5 Olsaydı
Bir benzetme için, eşitsizliği
|7 - 2x| \leq 5
olarak düşünürsek, çözüm şöyle olur:
-5 \leq 7 - 2x \leq 5
İşlemler:
Solundan:
-5 \leq 7 - 2x \implies -12 \leq -2x \implies 6 \geq x
Sağından:
7 - 2x \leq 5 \implies -2x \leq -2 \implies x \geq 1
Böylece:
1 \leq x \leq 6
Bu aralıkta a=1, b=6 olup
b-a = 6-1=5
6. Sonuç
| Durum | Çözüm Kümesi | b-a değeri |
|---|---|---|
| Eşitsizlik $ | 7 - 2x | > 5$ |
| Eşitsizlik $ | 7 - 2x | \leq 5$ |
Özet
- |7 - 2x| > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi x < 1 veya x > 6 şeklindedir, yani iki açık aralıktan oluşur.
- Eğer x değerleri tek bir aralık ile ifade edilirse, bu ancak eşitsizliğin tersinde (|7 - 2x| \leq 5) mümkündür ve bu durumda b-a=5 olur.
- Sorudaki amaca göre, doğru yanıt b - a = 5'tir.
İyi çalışmalar, sorunun çözümsel anlamı, mutlak değerli eşitsizliklerin temel çözüm yöntemleri ile yukarıdaki gibidir.