F(x) = (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) Fonksiyonunun Grafiği

LİSE
1

SHUYGULAMA SORU 1
f(x) = (x-2) • (x-3) (x-4)
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 150 KB

2

f(x) = (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) Fonksiyonunun Grafiği

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / YÖNTEM:] Polinom fonksiyonların grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktalar (kökler), y eksenini kestiği nokta ve fonksiyonun uç değer (sonsuzdaki) davranışı incelenir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — x Eksenini Kestiği Noktaları (Kökleri) Bulma
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x) = 0 denklemi çözülür.

(x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) = 0

Buradan kökler: x_1 = 2, x_2 = 3 ve x_3 = 4 olarak bulunur. Grafik bu noktalarda x eksenini kesecektir.

Adım 2 — y Eksenini Kestiği Noktayı Bulma
x = 0 yazılarak fonksiyonun y eksenini hangi değerde kestiği hesaplanır.

f(0) = (0-2) \cdot (0-3) \cdot (0-4)
f(0) = (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24

Grafik y eksenini (0, -24) noktasında keser.

Adım 3 — Fonksiyonun Derecesini ve Baş Katsayısını Belirleme
Fonksiyon çarpıldığında f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24 şeklindedir.

  • Derece: 3 (Tek sayıdır).
  • Baş Katsayı: 1 (Pozitiftir).
    Bu durum, x \to \infty iken f(x) \to \infty ve x \to -\infty iken f(x) \to -\infty olacağı anlamına gelir.

Adım 4 — Grafiğin Taslağını Oluşturma

  1. Sol alttan (-\infty) başlayarak yukarı çıkın.
  2. x = 2 noktasında ekseni kesin ve yukarı çıkın.
  3. 2 ile 3 arasında bir yerel maksimum yaparak aşağı dönün.
  4. x = 3 noktasında ekseni kesin ve aşağı inin.
  5. 3 ile 4 arasında bir yerel minimum yaparak tekrar yukarı dönün.
  6. x = 4 noktasında ekseni kesin ve sonsuza (\infty) doğru devam edin.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] Grafik x eksenini 2, 3 ve 4 noktalarında kesen, y eksenini -24 noktasında kesen ve sağ yukarı doğru uzanan bir “S” benzeri (kubik) eğridir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Fonksiyonun Kökleri

  • [Tanım:] Fonksiyonu sıfır yapan x değerleridir.
  • [Bu problemde:] Çarpanlara ayrılmış halde verildiği için her parantezi sıfıra eşitleyerek 2, 3, 4 noktalarını bulduk.

2. Uç Davranış (End Behavior)

  • [Tanım:] Çok büyük veya çok küçük x değerleri için grafiğin yönüdür.
  • [Bu problemde:] Derece tek ve baş katsayı pozitif olduğu için grafik üçüncü bölgeden başlar, birinci bölgede biter.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Teğet Geçme Hatası

  • [Yanlış:] Grafiği x ekseninde 2 noktasında teğet (değip dönen) çizmek.
  • [Doğru:] Kökler tek katlı (x-2 üssü 1) olduğu için grafik ekseni delip geçmelidir.
  • [Neden Yanlış:] Çift katlı köklerde (örneğin (x-2)^2 olsaydı) teğet çizilirdi.

Bu tür polinom grafiklerinde türev alarak yerel ekstremum noktalarını da bulmamı ister misin?