Verilen Matematik Sorusu için Çözüm
Soruda aşağıdaki bilgiler veriliyor:
- İki ikinci-dereceden denklem var:x^2 - ax + b = 0x^2 - cx + 3b = 0
- İki denklemin ortak kökü x = 2.
- Ayrıca, \frac{a}{c} = \frac{2}{5} bağıntısı verilmiş.
- Soruda istenen ise şu limit değeri:\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b}
Adım 1: Ortak Kök Bilgisine Göre Kapsama
x = 2, her iki denklemin kökü olduğu için denklemleri x = 2 yerine yazarız:
Birinci Denklem:
İkinci Denklem:
Buradan, b’yi yukarıdaki ifadeden yerine koyarız:
Adım 2: \frac{a}{c} = \frac{2}{5} Bilgisini Kullanma
Burada c = 3a - 4 olduğundan:
Bulduğumuz a değerini, c ve b eşitliklerinde yerine koyarız:
Adım 3: Limitte İfadeyi Yerine Koyma
Limitte verilen ifade:
Pay ve paydada denklemleri açalım:
Pay:
Payda:
Adım 4: Ortak Kök Durumu ile Sadeleştirme
x = 2, hem payın hem de paydanın kökü olduğu için (x - 2) çarpanı ortak:
Pay:
Payda:
Limit ifadesi sadeleşir:
Adım 5: x \to 2 için Limit Hesabı
Yerine koyarak:
Sonuç:
Sorunun çözümü tamamlandı. Eğer başka sorularınız varsa yardımcı olabilirim!
Yukarıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin ortak kökü 2’dir. Buna göre, \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b} ifadesinin değeri nedir?
Cevap:
Sorunun Analizi
Verilen denklemler:
- x^2 - a x + b = 0
- x^2 - c x + 3b = 0
Bu iki denklemin ortak kökü 2’dir. Ayrıca, \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{5}.
İstenen:
1. Ortak kökü kullan
2 her iki denklemin de köküdür, yani:
Birinci denklemde yerine koyalım:
İkinci denklem için:
Şimdi b’leri birbirine eşitleyelim:
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
2. \frac{a}{c} = \frac{2}{5} oranını kullan
a = \frac{2}{5}c
Bunu (3) denklemine yerleştir:
Bunu kullanarak a’yı bul:
Şimdi b’yi bulmak için (1) ya da (2)'yi kullan:
3. Limit Hesabı (Belirsizlik Kontrolü!)
Soruda limit soruluyor:
a = 8, c = 20, b = 12
Alt ve üst ifadelerinde x=2 koyarsak:
Alt:
Üst:
Yani \frac{0}{0} belirsizliği var! Limitte pay ve paydayı sadeleştireceğiz.
4. Pay ve paydayı çarpanlara ayır
Denklemlerin köklerinden birisi 2 idi. Hem üst hem alt polinomun kökü x=2’dir, dolayısıyla payda ve payda sadeleşir.
Alt:
Üst:
Limit:
x \to 2 için:
Sonuç (Cevap):
İstenen limitin değeri \boxed{4}'tür.
Verilen sorunun çözümü (Ortak kök, limit ve oran)
Table of Contents
- Verilenlerin Özeti ve Terimler
- Ortak Kökten Katsayıların İlişkisi
-
- Limitin Çözümü
- Sonuç ve Özet Tablo
1. Verilenlerin Özeti ve Terimler
Verilenler:
- x^2 - ax + b = 0
- x^2 - cx + 3b = 0
- Ortak kök: 2
- \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{5}
- Sorulan: \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - cx + 3b}{x^2 - ax + b}
Kavramlar:
- Ortak kök: İki denklemin aynı kökü sağlıyor olması.
- Limit: Belirsizlikten dolayı (0/0 tipi), L’Hospital veya sadeleştirme gerekebilir.
- Oran: a/c = 2/5
2. Ortak Kökten Katsayıların İlişkisi
Adım adım gidelim:
a) x^2 - ax + b = 0 için x=2 yerine yaz:
b) x^2 - cx + 3b = 0 için x=2 yerine yaz:
c) b değerlerini eşitle:
Her iki tarafı 3 ile çarp:
d) a ve $c$’yi birbirine oranla:
Bu oranı 3a - c = 4 denkleminde kullan:
a ve c’yi bulduk:
- a = 8
- c = 20
Şimdi b’yi bulalım:
Ya da,
3. Oranların Kullanılması ve b’nin İfadesi
| Parametre | Değer |
|---|---|
| a | 8 |
| c | 20 |
| b | 12 |
4. Limitin Çözümü
Limitte verilen ifadeye değerleri yazalım:
a=8, c=20, b=12 yerine koyarsak:
Çünkü 3b = 3 \times 12 = 36
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım
Paydayı çarpanlara ayıralım:
x^2 - 8x + 12
Çarpanları: x^2 - 8x + 12 = (x-6)(x-2)
Payı çarpanlara ayıralım:
x^2 - 20x + 36
Kökler için:
Kökler: x_1 = \frac{20+16}{2} = 18, x_2 = \frac{20-16}{2} = 2
Yani:
İfadeyi tekrar yazalım:
Burada x=2 için hem payda hem payda (x-2) çarpanı var, yani $x=2$’de belirsizlik (0/0) var. Bu nedenle sadeleştirebiliriz:
(x \neq 2 için geçerli, ancak limitte $x \to 2$’de bu sadeleştirme geçerlidir.)
Şimdi limite x=2 yazalım:
5. Sonuç ve Özet Tablo
Çözüm Özeti Tablosu
| Adım | İşlem / Sonuç |
|---|---|
| Ortak kök ile b | b = 2a - 4 ve b = \frac{2c-4}{3} |
| Oran ile a ve c | a = 8, c = 20 ($a/c = 2/5$’ten bulundu) |
| $b$’nin değeri | b = 12 |
| Limitte ifadelerin açılımı | \frac{(x-18)(x-2)}{(x-6)(x-2)} |
| Sadeleştirme | \frac{x-18}{x-6} |
| Limiti bulma | x \to 2 yazınca: 4 |
Kısa Sonuç
Sorulan limit ifadesinin değeri \boxed{4}'tür.
Kaynaklar:
- TYT/AYT Matematik Konu Anlatımı ve Soru Bankaları
- Limit ve Belirsizliklerde Sadeleştirme, L’Hospital Kuralları
@Acbdeadcvw
Soru
x² – ax + b = 0
x² – cx + 3b = 0
Yukarıda verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin ortak kökü 2’dir. Ayrıca
a/c = 2/5
olduğuna göre,
lim (x → 2) (x² – cx + 3b) / (x² – ax + b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap:
-
Ortak Kökten Yararlanma
Her iki denklem de x = 2 için sağlanıyorsa, 2 sayısı bu iki denklemin de köküdür. Dolayısıyla:- (I) 2² – a·2 + b = 0 ⟹ 4 – 2a + b = 0 ⟹ b = 2a – 4
- (II) 2² – c·2 + 3b = 0 ⟹ 4 – 2c + 3b = 0 ⟹ 3b = 2c – 4 ⟹ b = (2c – 4) / 3
-
b Değerini Eşitleme
Elde ettiğimiz iki formülü eşitleyelim:
2a – 4 = (2c – 4) / 3
Her iki tarafı 3 ile çarparsak:
3(2a – 4) = 2c – 4 ⇒ 6a – 12 = 2c – 4 ⇒ 6a = 2c + 8 ⇒ 3a = c + 4 ⇒ c = 3a – 4 -
a/c = 2/5 Oranını Kullanma
Verilen a/c = 2/5 olduğuna göre c = (5/2)a. Diğer yandan c = 3a – 4 bulmuştuk. Bu iki ifadeyi eşitleyelim:
3a – 4 = (5/2)aHer iki tarafı 2 ile çarparak kesirden kurtulalım:
2(3a – 4) = 5a
6a – 8 = 5a
6a – 5a = 8
a = 8Böylece
c = (5/2) × 8 = 20 -
b’yi Hesaplama
Yukarıda bulduğumuz a veya c değerini b = 2a – 4 formülünde kullanırsak:
b = 2(8) – 4 = 16 – 4 = 12(İsterseniz b = (2c – 4)/3 formülüne de koyarak aynı sonuca ulaşabilirsiniz.)
-
İfadedeki Yerine Koyma
Artık a=8, b=12 ve c=20 olduğunu biliyoruz. Limit ifadesi:
lim (x → 2) (x² – cx + 3b) / (x² – ax + b)
= lim (x → 2) (x² – 20x + 3·12) / (x² – 8x + 12)
= lim (x → 2) (x² – 20x + 36) / (x² – 8x + 12)x=2 yazarak bakarsak hem pay hem payda 0 çıktığı (0/0 belirsizliği) için faktörleme veya kurallara (ör. L’Hopital, türev gibi) başvurabiliriz.
-
Faktörleme
• Pay: x² – 20x + 36 = (x – 2)(x – 18)
• Payda: x² – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)Dolayısıyla ifade:
(x – 2)(x – 18) / (x – 2)(x – 6)(x – 2) ortak çarpanı sadeleşir:
= (x – 18) / (x – 6)x → 2 gittiğinde:
(2 – 18) / (2 – 6) = (–16) / (–4) = 4
Dolayısıyla aradığımız limitin değeri 4 bulunur.