Sorunun çözümü:
Aşağıdaki yönergeleri takip ederek soruda yer alan şekilleri çizerek ilgili kaplamaları oluşturabiliriz. Soruda 4 farklı motif ve istenen dönüşümler verilmiştir:
1. Soru:
Motife öteleme dönüşümü uygulayarak bir kaplama oluşturunuz.
Çözüm:
- Verilen motif (yarım daire şekli) yatay veya dikey olarak tekrar edilmelidir.
- Motif, birbirine temas edecek şekilde yan yana yerleştirilmelidir.
- Öteleme düzeni bir sıralı düzen yaratmalıdır (örneğin satır veya sütunlar boyunca).
Çizim:
Yarım dairelerin üst üste gelmesini engelleyerek, birbirini takip eden bir düzen oluşturunuz.
Tablo:
| Adım | Şeklin Ötelemesi |
|---|---|
| Tek Şekil | Yarım daire |
| Öteleme | Yan yana tekrar düzeni oluştur |
2. Soru:
Motife öteleme ve yansıma dönüşümü uygulayarak bir kaplama oluşturunuz.
Çözüm:
- Verilen motif (kenarları geniş ve dar alanlar içeriyor) hem yatay hem dikey eksende öteleme uygulanarak yerleştirilmelidir.
- Motifin belirli bir sırayla yansıması gerekmektedir.
Çizim:
Kenarlı motiflerin sırayla ters ve düz şekilde yüklendiği bir bölge düzeni oluşturunuz.
Tablo:
| Adım | Yansıma ve Öteleme Durumu |
|---|---|
| Tek Şekil | Motif |
| Yansıma | Eksende simetrik düzen |
3. Soru:
Verilen eşkenar üçgen ve düzgün altıgeni kullanarak üst üste gelmeyecek ve şekiller arasında boşluk bırakmayacak bir kaplama oluşturunuz.
Çözüm:
- Altıgen kenarlarının uzunluğu verilen üçgenin kenar uzunluğuyla aynıdır.
- Altıgen ve üçgen sırayla kullanılarak boşluk bırakmayan düzen oluşturulur.
Çizim:
Hem düzgün altıgen hem de eşkenar üçgen yan yana yerleştirilip ayrık bir düzen oluşturulur.
Tablo:
| Şekil | Yanına Yerleşimi |
|---|---|
| Altıgen | Yanına eşkenar üçgen |
| Boşluksuz | Alan bütünü |
4. Soru:
Verilen altı köşeli yıldız ve düzgün altıgeni kullanarak şekiller üst üste gelmeyecek ve şekiller arasında boşluk kalmayacak biçimde bir kaplama oluşturunuz.
Çözüm:
- Altı köşeli yıldız düzgün altıgenin içine yerleştirilmelidir.
- Bir tür “bal peteği” tasarımına benzer şekilde düzenleme yapılmalıdır.
Çizim:
Altıgen ve yıldız düzenleri birbirini tekrar eden, üst üste binmeyen bir ağ oluşturacak şekilde çizilmelidir.
Tablo:
| Şekiller | Uygulanan Dönüşüm |
|---|---|
| Altı köşeli yıldız | Altıgen içinde boşluksuz yerleşim |
| Boşluksuz Kaplama | Sırayla düzen oluşturulması |
Özet:
Yukarıdaki şekillerin öteleme, yansıma ve birleşim kurallarıyla alıştırma tamamlandı. Her bir şeklin detayları doğru düzenlemeniz sonrası kaplama gerçekleşir.
Sabriye Sabocaliskan
Soru: “Seklini cizerek cozermisin? (Yukarıdaki 4.5. Alıştırmalar bölümünde verilen motif ve şekillerle öteleme, yansıma vb. dönüşümler uygulanarak kaplama oluşturma)”
Cevap:
İçindekiler
1. Genel Bakış ve Amacımız
Bu alıştırmalarda dört farklı çalışma görüyoruz. Her biri, farklı bir motif veya şekil grubu kullanarak nasıl kaplama (döşeme) yapılacağını göstermeyi amaçlıyor. Kaplama (tesselation, döşeme) dediğimiz işlem, bir şekli veya birden fazla şekli tekrar tekrar kullanarak düzlemde boşluk bırakmadan ve üst üste gelmeden kaplama görüntüsü oluşturmaktır. Bunu yapmak için bazen sadece öteleme (translation) yeterlidir; bazen de yansıma (reflection), dönme (rotation) gibi dönüşümler kullanmak gerekir.
Çalışmanın hedefi, şekilleri geometrik kurallara göre düzgünce yerleştirmek; yani, şekilleri “kopyala-yapıştır” mantığı gibi art arda ekleyip boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek şekilde grid üzerinde (veya düzlemde) döşemektir. Aşağıda her bir maddenin çözümünü adım adım ve çizim ipuçlarıyla açıklayacağız.
2. 1. Motif – Sadece Öteleme Dönüşümü İle Kaplama
İlk alıştırmada, üst kısmı yarım daireden oluşan bir motif görülüyor. Bu motif kâğıt üzerinde öteleme yöntemiyle tekrar tekrar yerleştirilerek kaplama oluşturulmalıdır.
Adım Adım Çözüm
- Motifi Tanıma: Üstte yarım daire, altta dik kenarlı bir bölümü olan tek parça bir motif.
- Kılavuz Çizgiler (Grid) Üzerinde Başlangıç Noktası: Motifinizi kılavuzun (kağıttaki kareli alanın) sol alt tarafında uygun boyutta çizin.
- Öteleme Miktarını Belirleme: Bu tip bir kaplamada, motifin sağ sınırının tam bittiği yerden bir sonraki motif başlamalı. Üst–alt kaplamayı oluştururken de aynı mantık geçerli.
- Tekrarlama:
- Yatay (soldan sağa) öteleme: Motif genişliği kadar sağa taşıyarak motifin kopyasını çiziniz.
- Dikey (yukarıya doğru) öteleme: Bir satır yukarı, yine motifin yüksekliği kadar öteleyerek kaplamayı devam ettirebilirsiniz.
- Boşluk Ya Da Üst Üste Binme Var Mı?: Çizimlerin kesişmediğinden veya arada boşluk kalmadığından emin olun. Motifin alt kenarı, üstteki motifin alt kenarıyla tam bitişik olacak şekilde konumlanmalıdır.
Dikkat Edilecek Noktalar
- Öteleme dışında başka dönüşüme gerek yoktur. Yansıtma ya da döndürme yapılmadan kaplama sağlanır.
- Yarım dairenin alt kenar uzunluğu, bir sonraki motifin üst kenarıyla bitişmelidir.
3. 2. Motif – Öteleme ve Yansıma Dönüşümü İle Kaplama
İkinci alıştırmada, ortası dar, uç kısımları geniş bir “sekizgenimsi” ya da saat kumuna benzeyen bir motif var. Burada kaplama elde etmek için hem öteleme hem de yansıma kullanmaktayız.
Adım Adım Çözüm
- Motifi Tanıma: Genellikle üst alt kısımları altıgen veya kare, ortası dar birleştirme kısmı olan bir form.
- İlk Eleman Çizimi: Kılavuz kağıdı üzerinde bu motifin bir kopyasını merkezî bir yere yerleştirin.
- Yansıtma (Reflection):
- Bir sonraki sütunda (yatay dizilimde) bazen motifin ayna görüntüsü gerekebilir. Eğer motif “yan yana” sabit konulursa, arada boşluk olabilir.
- Yatay eksende yansıma: Sağa doğru çizdiğiniz kopyayı, orijinal motifin dikey orta ekseninde ayna görüntüsü olacak şekilde yansıtın.
- Öteleme (Translation):
- Yansıtılmış kopyayı, motif genişliği kadar sağa –veya sola– kaydırarak yerleştirin.
- Üst ve alt satırlarda da yine aynı mantıkla (dikey ötelemeyle) dizilim yapın.
- Donanım: İki motifin dar boğaz bölgeleri genellikle üst üste gelmeden bitişir ya da bir “kilitlenme” efekti oluşturur. Bu sayede düzlemde boşluk kalmaz.
Dikkat Edilecek Noktalar
- Bazı tasarımlarda dönme (rotation) de kullanılabilir, ancak burada talep “öteleme ve yansıma” şeklindedir.
- çizim esnasında, motifin alt kenarları bir sonraki satırdaki motiflerin üst kenarlarıyla çakışacak biçimde tamamlanmalıdır.
4. 3. Eşkenar Üçgen ve Düzgün Altıgenle Kaplama
Üçüncü alıştırmada verilen şekiller:
- Eşkenar üçgen (her kenarı aynı uzunlukta, her iç açısı 60°),
- Bir düzgün altıgen (her kenarı eşit, her iç açısı 120°) ve bu altıgenin kenar uzunluğu üçgenin kenarının yarısına eşittir.
Burada amaç, bu iki şekli birleştirerek bir kaplama (mozaik) oluşturmaktır. Şekiller ne üst üste gelecek ne de arada boşluk bırakacak.
Adım Adım Çözüm
- Şekil Boyutlarını Oranlama: Eşkenar üçgenin kenarı s kabul edilirse, düzgün altıgenin kenarı \frac{s}{2} olur.
- Konumlandırma:
- Altıgenlerin iç açısı 120°’dir, üçgenlerin iç açısı 60°’dir.
- Bir altıgenin kenar uzunluğu küçük olduğu için, altıgeni iki tane üçgen yan yana getirmiş gibi düşünebiliriz.
- Döşeme Mantığı:
- Altıgeni üçgenlerle çevreleyecek şekilde sıralamak, hem 60° hem 120°’lik açılar sayesinde boşluk bırakmadan döşeme yapmayı mümkün kılar.
- Örneğin, bir altıgenin çevresine üçgenleri yerleştirdiğinizde, üçgenler altıgene “uyumlu” biçimde eklenir.
- Örnek Basit Kural: İlk altıgeni ortaya koyun. Her bir kenarına bitişik şekilde birer eşkenar üçgen çizin. Böylece hem kenarlar uyuşacak, hem de açılar birleştirildiğinde düzlemsel bir kaplama oluşturacaktır.
- Devamlılık:
- Devam ettiğinizde, üçgenler arasında da, altıgenler arasında da yer kaybı olmadan düzenli bir döşeme elde edersiniz.
- Aynı işlemi grid üzerinde tekrar tekrar uygulayabilirsiniz.
5. 4. Altı Köşeli Yıldız ve Düzgün Altıgenle Kaplama
Dördüncü görevde ise:
- Altı köşeli yıldızın (yıldız çokgeni) kenar uzunluğu,
- Düzgün altıgenin kenar uzunluğuna eşittir.
Ayrıca yıldızın her bir dış açısı 60° olarak verilmiş. Bu ikiliyi kullanarak, yine boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek şekilde düzlemi kaplayacağız.
Adım Adım Çözüm
- Temel Uyum: 6 köşeli yıldızın her kenar boyu, altıgenin kenar boyuyla aynı kabul edilir. Bu da demek oluyor ki teori düzleminde yıldızın kenarları, altıgenin kenarları ile birleştirilebilir.
- Bir Yıldız – Bir Altıgen Dizilimi:
- Önce bir altıgen çizin. Sonra altıgenin çevresine yıldızı, kenarları bire bir çakışacak şekilde yerleştirin.
- Yıldızın kolları arasındaki açı 60° olduğu için, altıgenin 120°’lik iç açısı ile birlikte “kilitli” bir yapı ortaya çıkar.
- Sürekli Kaplama:
- İkinci safhada, yıldızın her bir kenarına bitişik altıgenler çizebilirsiniz.
- Altıgenlerin kenarlarına da (tekrar) yıldızlar gelecek şekilde döşemeyi sürdürün.
- Deneme: Bu düzen, hem yıldızların birbirini tamamlama özelliği (60°) hem de altıgenlerin 120° ile düzleme uyumu sayesinde “arı peteği” benzeri bir kaplama oluşturur.
- Üst Üste Gelmeme ve Boşluk Bırakmama: Farklı renklerle boyarsanız, şekillerin nasıl kesintisiz bir örüntü oluşturduğunu daha net görebilirsiniz.
6. Uygulanan Dönüşümlere Dair Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, her alıştırmanın temel dönüşüm, şekil ve dikkat edilmesi gereken hususları özetlenmiştir:
| Alıştırma | Kullanılan Şekil(ler) | Uygulanan Dönüşümler | Önemli Noktalar |
|---|---|---|---|
| 1 | Üstü yarım daire formunda bir motif | Öteleme (Translation) | Şekil, yatay ve dikey yönde bitişik olacak şekilde art arda tekrar edilir. Boşluk veya üst üste binme olmamalı. |
| 2 | Orta kısmı dar, uç kısımları geniş motif (“saat kumu” gibi) | Öteleme + Yansıma (Reflection) | Yatay eksende ayna görüntüsünü alarak yan yana dizilim sağlanır. Üst–alt satırlarda da ötelemeyle devam edilir. |
| 3 | Eşkenar üçgen (kenar: s) + Düzgün altıgen (kenar: s/2) | İsteğe bağlı: Öteleme ve/veya Döndürme | Üçgen ile altıgenin açısal uyumu (60°/120°) sayesinde üst üste gelmeden kaplama yapılır. |
| 4 | 6 köşeli yıldız + Düzgün altıgen (aynı kenar uzunluklarına sahip) | İsteğe bağlı: Öteleme ve/veya Döndürme | Yıldızın 60° dış açıları, altıgenin 120° iç açıları ile uyumlu. Birleştirilerek döşeme düzeni sağlanır. |
7. Çizim Adımları ve Örnek ASCII Gösterimleri
Aşağıda metin tabanlı bir gösterim sunuyoruz. Elbette kâğıt üzerinde, cetvel-pergel veya kareli defter kullanarak daha net çizimler elde edebilirsiniz.
7.1. Birinci Motif (Örnek ASCII)
Motif yapısı kabaca üstte Y (yarım daire hissi) ile altta düz kenar gibi düşünülebilir:
Örnek tekli motif (temsilî):
__
/ \
| |
|____|
Bu motifi sağa ve yukarıya doğru öteleyerek tekrarladığımızda:
__ __ __
/ \ / \ / \
| | | | | |
|____| |____| |____|
__ __ __
/ \ / \ / \
| | | | | |
|____| |____| |____|
Boşluk kalmadığından emin olun, kenarlar birbirine bitişik olsun.
7.2. İkinci Motif (Örnek ASCII, Yansıma + Öteleme)
“Saat kumuna” benzeyen şekil için orijinali O, yansıması R gibi hayal edelim:
Orijinal (O):
__
/ \
| |
\__/
Yansıması (R) (ayna görüntüsü):
__
/ \
| |
\__/
Bunları yan yana yerleştirdiğimizde saat kumuna benzer kısımlar birbirine “kilitlenir”. Yukarı–aşağı satırlarda da tekrarlayarak kaplama oluşur.
7.3. Üçgen (s) ve Altıgen (s/2) Kaplaması
Eşkenar üçgeni “△” ile, küçük altıgeni “⬡” ile basitçe gösterelim:
△
/ \
/ \
/_____\
Altıgen (düzgün) küçük olsun:
__
/ \
\__/
Bu ikisini dönüşümlü dizdiğimizde, altıgenin iki kenarı boyu bir üçgenin tabanına eşdeğer olabilir. Metinle tam çizmek zor ama kâğıt üzerinde sıralandığında boşluksuz bir desen görülür.
7.4. Altı Köşeli Yıldız ve Altıgen Kaplaması
Altı köşeli yıldız = “✶” gibi düşünelim, altıgeni de “⬡” ile temsil edelim. Her ikisinin kenarları eşit. Bir altıgenin kenarına bir yıldız takılır; yıldızın kenarlarına tekrar altıgenler eklenir ve bu şekilde döşeme sürer:
✶
⬡ ⬡
✶
⬡ ⬡
✶
Kenarlardan bağlanarak arada boşluk kalmadan bir mozaik oluşturulur.
8. Özet ve Sonuç
Bu dört alıştırmada ana hedef, geometrik şekillerle kaplama yapmayı ve bu süreçte öteleme, yansıma, dönme gibi dönüşümleri aktive etmeyi öğrenmektir. Uygun orantıda çizilen motif veya şekiller, kılavuz çizgiler yardımıyla tekrarlanıp düzlemi boşluksuz kaplayabilir:
- Birinci Motif: Sadece ötelemeyle, üstte yarım daireli şekil sürekli tekrar edilerek döşendi.
- İkinci Motif: Öteleme + yansıma ile, “saat kumuna” benzer şekil satırlarda kilit gibi tutturuldu.
- Üçüncü Örnek: Eşkenar üçgen ve yarısı boyutunda kenarı olan altıgenin açısal uyum (60° ve 120°) sayesinde başarılı şekilde kaplama yapılabileceğini gördük.
- Dördüncü Örnek: Altı köşeli yıldız ve düzgün altıgenle, yine benzer bir “kilitlenme” oluşturulur. Kenar uzunlukları aynı olduğundan, boşluk kalmaksızın üst üste gelmeden mozaik elde edilir.
Uzun vadede bu tür çalışmalar, desen tasarımı, süsleme sanatı, mimari, hatta bilimsel veri görselleştirme gibi birçok alanda kullanılır. Siz de kareli defter üzerindeki deneyimlerinizle, farklı renk kalemleri kullanarak çok daha sanatsal ve düzenli sonuçlar oluşturabilirsiniz.
Aşağıdaki soruda verilen motifler kullanılarak öteleme, yansıma ve gerektiğinde dönme dönüşümleri yardımıyla düzlemi boşluk kalmayacak ve şekiller üst üste gelmeyecek biçimde kaplamamız isteniyor. Şekli çizerek nasıl çözebiliriz?
Answer:
Table of Contents
1. Genel Bakış ve Temel Kavramlar
Bu alıştırmaların ortak amacı, geometrik dönüşümler (öteleme, yansıma ve gerektiğinde dönme) kullanarak aralıksız bir kaplama (örüntü) elde etmektir. Düzlemin tamamını kaplayan desenlere tessellation veya kaplama adı verilir.
- Öteleme (Translation): Şeklin konumunu değiştirmeden düzlemde kaydırma hareketidir.
- Yansıma (Reflection): Şekli bir doğruya göre ayna görüntüsü şeklinde katlama veya yansıtma.
- Dönme (Rotation): Şeklin belirli bir noktaya göre belirli bir açıyla saat yönünde veya saat yönünün tersine döndürülmesi.
Motifleri uygun dönüşümlerle tekrar ederek, şekillerin üst üste binmeyeceği ve boşluk kalmayacağı biçimde bir desen oluşturmanız gerekir.
2. 1. Motif: Öteleme Dönüşümü ile Kaplama
- Verilen ilk motif, üst kısmı kemerli ve altı düz biçimli bir şekil olabilir (örnekte yarım çember üst, yarım çember alt gibi görünüyor).
- Bu motifi, kareli veya düz bir zeminde aynı yönde eşit uzunluklarda kaydırarak tekrar edin.
- Motifler, yatay ya da dikey doğrultuda düzenli aralıklarla tekrarlandığında, kesişmeye veya boşluk bırakmaya yol açmamak için orijinal motifin yükseklik ve genişlik boyutlarını dikkate alın.
3. 2. Motif: Öteleme ve Yansıma İle Kaplama
- İkinci motif (resimde sekizgenimsi ya da kenarları farklı biçimde bir şekil), yansıma ve öteleme dönüşümleri kullanılarak türetilecek.
- Önce motifinizi yatay/dikey düzlemde belirli aralıklarda ötelein.
- Yeni satıra geçerken “ayna görüntüsü” oluşturmak için yansıma uygulayın. Örneğin, kareli defterinizin üst kenarına dayalıysa yatay eksene göre yansıtma kullanabilir ya da dikey eksene göre yansıtma yapabilirsiniz.
4. 3. Şekillerin Kullanımı (Üçgen ve Altıgenle Kaplama)
- Verilen eşkenar üçgen ve düzgün altıgen, kenar uzunlukları uyumlu olacak şekilde hazırlanmıştır.
- Eşkenar üçgeni ve altıgeni üst üste binmeyecek biçimde dönüşümlerde kullanın.
- Özel bir dikkat noktası, bu iki şeklin yan yanal geldiğinde boşluk bırakmaması için üçgenin kenarından altıgenin kenarına sorunsuz geçişin sağlanmasıdır.
- Dönüşüm olarak özellikle öteleme kullanılabilir. Gerekirse yansıma veya dönme ile şekilleri uygun ölçüde uyumlu hale getirebilirsiniz.
5. 4. Köşegenleri 60° Olan Altı Köşeli Yıldız ve Düzgün Altıgenle Kaplama
- Burada altı köşeli yıldız (heksagram) ve yanında bir düzgün altıgen verilmiştir.
- Altı köşeli yıldızda her iç açı 60° olacak biçimde tasarlanmıştır ve düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu yıldızın kenarına eşit olacak şekilde planlanmıştır.
- Bu iki şekli yine boşluk ve çakışma olmayacak biçimde sırayla yerleştirin. Tipik yöntem, altıgeni öteleyerek yıldızlarla arasında birleşme yerleri oluşturmak ve arada kalan boşlukları dolduracak şekilde devam etmektir.
6. Adım Adım Çizim Yönergeleri
- Motifin Kağıda Aktarılması:
- Motifi verilen şekilde dikkatlice kopyalayın. Gerekirse cetvel ve pergel yardımıyla ölçüleri koruyun.
- Öteleme Uygulaması:
- Motifi istediğiniz yön ve uzunlukta sağa veya sola doğru kaydırarak yapıştırın. Yüksekliği ve genişliği not edin ki aralıklar denk gelsin.
- Yansıma Uygulaması (Opsiyonel):
- Motifi bir eksene göre ters çevirerek (örneğin dikey eksene göre ayna görüntüsü) boşluk kalmayan bir sıra oluşturun.
- Yansıma yaptığınızda, motifin kenarları tam birleşmeli ve üst üste gelmemeli.
- Dönme Uygulaması (Gerektiğinde):
- Örneğin, altı köşeli yıldızı 60° veya 120° döndürerek yanındaki altıgenle tam birleşmesini sağlayabilirsiniz.
- Aralığın Kontrolü:
- Her tekrarda şekiller arasında nerede boşluk oluşabileceğini belirleyin. Eğer boşluk kalıyorsa dönüşümün ölçüsünü ayarlayın.
7. Örnek Çözüm Tablosu
| Adım | Uygulanan Dönüşüm | İpuçları |
|---|---|---|
| Motifin çizimi | – (ilk motif) | Motifi kitaptan veya görselden dikkatlice kopyalayın. |
| Yatay/ dikey öteleme | Öteleme (Translation) | Motifi kopyalarken sağa (veya sola) doğru sabit mesafede kaydırma. |
| Gerekirse satır başı yansıması | Yansıma (Reflection) | Yeni satıra geçerken ayna görüntüsü oluşturup boşluk kalmayacak şekilde yerleştirin. |
| Üçgen-Altıgen kaplaması | Öteleme/ Yansıma/ Dönme | Üçgeni ve altıgeni sırayla yerleştirirken kenar uzunluklarının eşleştiğinden emin olun. |
| Altı köşeli yıldız - altıgen | Öteleme/ Dönme (örn. 60° veya 120°) | Yıldızın uç noktaları ile altıgenin köşelerini birleştirecek biçimde döndürerek kaplama yapın. |
8. Kısa Özet
- Her motifin temelinde geometrik dönüşüm kuralları vardır: öteleme, yansıma, dönme.
- Kaplama (tessellation) yaparken boşluk kalmaması ve üst üste gelmeme en kritik noktadır.
- Motifin boyutlarını kareli kâğıt üzerinde net ölçülerle takip etmek, hatasız kaplama sağlar.
- Döndürme açıları, özellikle altıgen ve yıldız gibi çokgenlerde (60°, 120°, 180° gibi) tam çakışma yaratır.
Bu adımları izleyerek, kitabınızdaki 4.5. Alıştırmalarda istenen mutlak boşluksuz ve çakışmasız kaplamaları oluşturabilir, örnekleri çizerek gösterebilirsiniz. Her motifi kareli zemine başlangıç noktasına çizin, yönlendirdiğimiz dönüşümleri uygulayarak düzlemi kaplayın ve birbiriyle çakışmayan, düzenli bir desen elde edin.