Soru Çözümü: AYT Matematik Diziler Sorusu
Sorunun Özeti:
Bir aritmetik dizi ve bir geometrik dizinin özellikleri ve sınırları verilmiş. Amaç, \mathbf{a_9 + b_g} toplamının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak.
Verilenler ve Çözüme Giriş
1. Aritmetik Dizi (a_n)
Aritmetik dizide, her terim sabit bir fark ile artar.
- Verilenler:
\mathbf{a_1 = 5}
Aritmetik dizinin farkı:a_2 - a_1 = d
Ayrıca şu eşitsizlik verilmiş:
a_7 - a_3 < 12
Aritmetik dizinin genel terim formülü:
a_n = a_1 + (n-1)d
Bu durumda:
- a_7 = a_1 + 6d
- a_3 = a_1 + 2d
Eşitsizliği düzenleyelim:
a_7 - a_3 = (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) < 12
4d < 12
d < 3
2. Geometrik Dizi (b_g)
Geometrik dizide, her terim sabit bir katsayı ile çarpılarak elde edilir.
- Verilenler:
\mathbf{b_1 = 1}
Geometrik dizinin çarpanı:b_2 / b_1 = r
Bir diğer eşitsizlik:
b_5 < 4
Geometrik dizinin genel terim formülü:
b_g = b_1 \cdot r^{g-1}
Bu durumda:
- b_5 = b_1 \cdot r^4 = 1 \cdot r^4
Yani:
r^4 < 4
r < \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}
Sorunun Çözümü
Hesaplanması istenen toplam:
a_9 + b_5
Adım 1 – a_9 Değerini Bulma
Aritmetik dizinin a_9 genel terim formülünden:
a_9 = a_1 + 8d
- a_1 = 5, d < 3 olduğundan, d’yi maksimum seçerek işlem yaparız.
En büyük tam sayı değer için:d = 2
Bu durumda:
a_9 = 5 + 8 \cdot 2 = 5 + 16 = 21
Adım 2 – b_5 Değerini Bulma
Geometrik dizinin b_5 genel terim formülü:
b_5 = b_1 \cdot r^4
- b_1 = 1, r^4 < 4 olduğundan, r’yi maksimum seçerek işlem yaparız.
Maksimum tam sayı değer için:r = \sqrt[4]{3} \approx 1.316
Bu durumda:
b_5 \approx 1.316^4 \approx 3
Tam sayı değer:
b_5 = 3
Adım 3 – Toplamı Hesaplama
a_9 + b_5 = 21 + 3 = 24
En büyük tam sayı değer:
\boxed{24}
Eğer belirli bir kısmı anlamadığınızda soru sormaktan çekinmeyin! @Feyza3