Sorunun çözümü:
Soruda, iki arkadaşın boylarıyla ilgili bir denklem verilmiş. Şimdi, verilen bilgilere göre soruyu çözmeye başlayalım:
Sorunun Özeti
Boy bilgileri:
- Şeval’in boyu: 5x - 94 cm
- İŞİL’in boyu: 3x + 18 cm
Şart:
Soruda, Şeval’in boyu bir doğal sayı olacak şekilde minimum boyu soruluyor.
1. Problemi anlamak:
- Doğal sayılar sıfır ve pozitif tam sayılardır (0, 1, 2, 3, \dots). Yani, 5x - 94 \geq 0 olmalıdır.
- Ayrıca: 5x değeri 94’ten büyük veya eşit olmalıdır.
2. İlk eşitlik üzerinde çözüm:
Buradan her iki tarafı 5’e böldüğümüzde:
3. x’in alabileceği minimum doğal sayı değeri:
x, doğal sayı olduğu için en küçük değer → x = 19 olur.
4. Şeval’in boyunu hesaplayalım (x = 19 için):
Şimdi, verilen formülde Şeval’in boyu yerine x = 19 koyalım:
Sonuç:
Şeval’in boyu en az 101 cm olacaktır.
Cevap:
A) 101
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| 5x - 94 \geq 0 çözümü | x \geq 18.8 | x’in en küçük değeri → x = 19 |
| Şeval'in boyu | 5x - 94 için x = 19 koyuldu | 101 cm |
| Doğru cevap | A) 101 | A şıkkı |
Bu soruda Şevval’in boyu (5x − 94) cm olarak veriliyor ve x bir doğal sayı olmak üzere, Şevval’in boyunun en az kaç santimetre olabileceği seçeneklerden soruluyor (A) 101, (B) 130, (C) 149, (D) 148.
Table of Contents
1. Problem İncelemesi
• Şevval’in boyu: 5x − 94 cm
• x bir doğal sayı: x ∈ {1,2,3,…}
• Aranan: 5x − 94 değerinin, verilen şıklardan hangisinin en küçük ve geçerli (x doğal sayı olduğunda) olduğunu bulmak.
2. Adım Adım Çözüm
-
İlk olarak, 5x − 94’ün sıfırdan büyük veya en azından pozitif bir değerde olması beklenir (fiziksel boy ölçümünde mantıklı olması için). Dolayısıyla 5x − 94 ≥ 0 ⇒ 5x ≥ 94 ⇒ x ≥ 18.8. Yani x asgari 19 olmalı ki boy pozitif çıksın.
-
Ancak sorun sadece 5x − 94’ün pozitif olması değil, aynı zamanda elde edilen sonucun şıklardan birine eşit olması isteniyor.
3. Seçeneklerin Kontrolü
Verilen her seçeneği (A) 101, (B) 130, (C) 149, (D) 148, şu denkliğe yerleştirelim:
5x − 94 = [seçenek]
(A) 101
5x − 94 = 101 → 5x = 101 + 94 → 5x = 195 → x = 195 ÷ 5 = 39.
• x = 39 bir doğal sayıdır. Dolayısıyla Şevval’in boyu 101 cm olabilir.
(B) 130
5x − 94 = 130 → 5x = 224 → x = 224 ÷ 5 = 44.8, doğal sayı değil.
(C) 149
5x − 94 = 149 → 5x = 243 → x = 243 ÷ 5 = 48.6, doğal sayı değil.
(D) 148
5x − 94 = 148 → 5x = 242 → x = 48.4, doğal sayı değil.
Bu hesaplardan görüldüğü gibi yalnızca 101 değeri, 5x − 94 biçiminde x doğal sayı iken elde edilebiliyor. Seçenekler arasındaki en az değer de zaten 101 olduğu için doğru cevap 101 cm’dir.
4. Özet Tablo
| Seçenek | Denklem | x Değeri | Doğal Sayı mı? | Uygun mu? |
|---|---|---|---|---|
| A) 101 | 5x − 94 = 101 → 5x = 195 | x = 39 | Evet | Geçerli |
| B) 130 | 5x − 94 = 130 → 5x = 224 | x = 44.8 | Hayır | Geçersiz |
| C) 149 | 5x − 94 = 149 → 5x = 243 | x = 48.6 | Hayır | Geçersiz |
| D) 148 | 5x − 94 = 148 → 5x = 242 | x = 48.4 | Hayır | Geçersiz |
5. Sonuç
Buna göre x bir doğal sayı olduğunda, Şevval’in boyu 5x − 94’e eşit olacak şekilde en az 101 cm olabilir. Dolayısıyla doğru cevap (A) 101 santimetredir.
Buna göre x bir doğal sayı olmak üzere Şevval’in boyu en az kaç santimetredir?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda elimizde iki kişinin boylarıyla ilgili ifadeler var:
- Şevval’in boyu: (5x – 94) cm
- Işıl’ın boyu: (3x + 18) cm
Burada x’in bir doğal sayı (yani 1, 2, 3, …) olduğu söylenmiş ve bizden “Şevval’in boyu en az kaç santimetredir?” sorusunun yanıtını bulmamız isteniyor. Seçeneklerde ise 101, 130, 149 ve 148 gibi değerler yer alıyor. Bu değerden hangisinin (5x – 94) ifadesi ile elde edilebileceğini, bir başka deyişle ifadenin hangi en küçük x değeriyle pozitif veya mantıklı bir boy uzunluğu verdiğini araştıracağız. Adım adım inceleyelim.
1. Genel Bakış
Bu tip problemlerde ilk yapılması gereken, ifadelerin (5x – 94) ve (3x + 18) fiziksel olarak geçerli bir “boy” değeri vermelerini sağlamaktır. Bir kişinin boyu negatif olamayacağı gibi, problemde x bir doğal sayı olduğu için x ≥ 1 olacaktır. Fakat tek koşul bu değildir; (5x – 94) ifadesinin de en az 0 (veya üzerinde) olması gerekir.
Aşağıda bu adımları detaylı şekilde açıklayacağız ve en küçük geçerli x değerini tespit edeceğiz. Daha sonra bu x değeri için (5x – 94) ifadesinin hesaplanmış hali, bize Şevval’in en az kaç santimetre olacağını gösterecek.
İçindekiler (Table of Contents)
- Problemin Temel Koşulları
- Adım Adım Çözüm
- Ek Durumlar: Işıl’ın Boyu Hakkında
- Ayrıntılı Hesaplama ve Karşılaştırma Tablosu
- Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Sonuç Değerlendirmesi
- Kısa Özet Tablo
- Genel Özet
1. Problemin Temel Koşulları
Elimizde iki ifade var:
- Şevval: 5x – 94
- Işıl: 3x + 18
Bu değerler santimetre cinsinden boyları temsil ediyor. Bir kişinin boyu doğal olarak sıfırdan büyük olmalı. Dolayısıyla:
- (5x – 94) > 0 (şayet Şevval’in boyu mutlaka pozitif olmalı)
- (3x + 18) > 0 (Işıl’ın boyu da mutlaka pozitif olmalı)
İkinci koşul (3x + 18 > 0) genellikle x ≥ 1 için zaten pozitif değerler veriyor, ancak yine de inceleyeceğiz. Problemde çoğunlukla asıl kısıt (5x – 94) > 0 oluyor, çünkü x yeterince büyük olmadığında Şevval’in boyu negatif veya aşırı küçük çıkabilir.
Ayrıca soruda “Buna göre x bir doğal sayı olmak üzere Şevval’in boyu en az kaç santimetredir?” diye soruluyor. Yani x’i olabilecek en küçük doğal sayıyla seçtiğimizde bile (5x – 94) ifadesi belirli seçeneklerden birine denk gelecek ve en küçük olumlu cevabı verecek. Bizden de bu en küçük değeri bulmamız isteniyor.
2. Adım Adım Çözüm
2.1. (5x – 94) ≥ 0 Koşulu
Şevval’in boyu negatif olmamalı. Bu yüzden:
x bir doğal sayı olduğuna göre, x ≥ 19 olarak düşünebiliriz. En az 19 olması gerekiyor ki 5x – 94 sıfır ya da pozitif olsun. x = 19 seçtiğimizde:
Bu da (5x – 94) ifadesinin 1 cm olduğunu gösterir. Elbette 1 cm insan boyu gerçekçi değildir, ama sadece matematiksel olarak pozitif çıktığı için buradan başlayabiliyoruz.
2.2. Seçeneklerin İncelenmesi
Soru, Şevval’in boyu (5x – 94) cm ifadesinin en az kaç santimetre olabileceğini ve bunun 4 seçeneğini veriyor:
A) 101, B) 130, C) 149, D) 148.
Demek ki çözümde 5x – 94, bu dört seçenekten birine eşit olabilir. Yani en küçük x değeriyle 5x – 94 hangi seçeneğe eşit geliyorsa, o cevabı seçeceğiz.
2.3. En Küçük Geçerli x Değerini Bulma
Başlangıçta x = 19, 20, 21, … diye sıralayarak 5x – 94’ü hesaplayabilir, bu değerin hangisinin “seçenekler” arasında olduğunu tespit edebiliriz. Ancak daha hızlı bir yöntem, doğrudan seçeneklerden geriye doğru düşünmektir:
- 5x – 94 = 101
- 5x – 94 = 130
- 5x – 94 = 149
- 5x – 94 = 148
Bu denklemleri x cinsinden çözüp, x’in doğal sayı olup olmadığına bakacağız.
-
5x – 94 = 101
5x = 101 + 94 = 195x = \frac{195}{5} = 39x = 39 bir doğal sayıdır. Buradan Şevval’in boyu 101 cm çıkar.
-
5x – 94 = 130
5x = 224x = \frac{224}{5} = 44.8Bu değer doğal sayı değildir (44.8).
-
5x – 94 = 149
5x = 243x = \frac{243}{5} = 48.6Bu da natural sayı değil.
-
5x – 94 = 148
5x = 242x = \frac{242}{5} = 48.4Bu da doğal sayı değil.
Görüyoruz ki sadece 101 cm seçeneği, 5x – 94 ifadesinin x = 39 için bir tam sayı sonucu veriyor. Ayrıca problem “en az kaç santimetredir?” diye sorduğundan, bu dört seçenek içinden 101 (A şıkkı) ilk kez ve tek uygun şekilde tam sayı değeri veriyor.
2.4. Seçeneklerden Hangisi Uygun?
Yukarıdaki bulgulardan anlaşılacağı üzere:
- 130, 149 veya 148 cm değerleri 5x – 94 için x doğal sayı olduğunda ortaya çıkmıyor.
- Sadece 101 cm değeri, x = 39 ile gayet düzgün, geçerli bir doğal sayı sonucu veriyor.
Dolayısıyla “Şevval’in boyu en az kaç santimetredir?” sorusunun cevabı 101 olmaktadır.
3. Ek Durumlar: Işıl’ın Boyu Hakkında
Eğer Işıl’ın boyu (3x + 18) = 3(39) + 18 = 117 + 18 = 135 cm olarak hesaplanır. Bu demek oluyor ki, bu problemde x = 39 olduğunda Şevval’in boyu 101 cm, Işıl’ın boyu 135 cm olarak çıkar. “Boyu en az kaçtır?” dediğimizde Şevval için 101 cm matematiksel olarak elde edilen ilk geçmiş değer oluyor.
Bazı sorularda ayrıca “Şevval daha uzundur” benzeri ek bir koşul bulunabilirdi. Burada o tarz bir koşulu göremiyoruz, dolayısıyla Şevval’in boyunun Işıl’dan kısa veya uzun olması fark etmeden, sadece “pozitif ve seçenekler arasındaki en küçük” değeri aramak yeterli.
4. Ayrıntılı Hesaplama ve Karşılaştırma Tablosu
Aşağıdaki tabloda x değerlerini artırarak (5x – 94) ifadesini ve hangi değere eşit olduğunu görebilirsiniz. Kısa bir sekme alarak 5x – 94’ün hangi aşamada 101, 130, 148 veya 149’a ulaştığını buluyoruz:
| x Değeri | 5x – 94 Hesabı | Seçenek Değerlerinden Biri mi? | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 19 | 5*19 - 94 = 95 - 94 = 1 | Hayır | 1 cm (Seçeneklerde yok, çok düşük) |
| 20 | 5*20 - 94 = 100 - 94 = 6 | Hayır | 6 cm |
| 25 | 5*25 - 94 = 125 - 94 = 31 | Hayır | … |
| 30 | 5*30 - 94 = 150 - 94 = 56 | Hayır | … |
| 35 | 5*35 - 94 = 175 - 94 = 81 | Hayır | … |
| 39 | 5*39 - 94 = 195 - 94 = 101 | Evet | 101 cm (A) Seçeneklerden biri, tam sayı |
| … | … | … | … |
Bu tabloyu daha da uzattığımızda, 130, 148 ve 149 sonuçlarına 5x – 94’ün hiçbir tam x değeriyle ulaşamadığı ortaya çıkmaktadır.
5. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Negatif veya Sıfır Boy: Bazen öğrenciler 5x – 94 ≥ 0 koşulunu göz ardı edip x = 1, 2, 3 gibi çok küçük değerleri deniyor. Oysa 5(1) - 94 = -89 cm gibi anlamsız sonuçlar ortaya çıklıyor.
- Kontrol Etmeden Seçenek İşaretleme: Doğrudan 130, 148 veya 149’u ilk bakışta boy olarak daha “mantıklı” diye işaretleyebilirler. Ancak problemde x sayısı için doğal sayı olmak şartı, ifadenin bu değere tam gelmesine izin vermiyor.
- Ek Koşulları Atlamak: Soruda “Şevval en az kaçtır?” diyor, bu ifadenin aslında “en küçük uyumlu değer” gerektirdiğini unutmamak gerekir. Bazı soru versiyonlarında “Şevval > Işıl” gibi ek koşullar olabilir. Bu problemde o koşul belirtilmemiş.
6. Sonuç Değerlendirmesi
- x en az 19 olmalı ki boy pozitif olsun.
- Fakat seçeneklerde 100’ün üstündeki değerler veriliyor. x’i ileri taşımak gerekiyor.
- 5x – 94 = 101 eşitliğinde x = 39 tam sayısına ulaşmamız, seçeneğin doğru cevap olduğunu gösteriyor.
- Diğer seçenekleri tek tek kontrol ettiğimizde 130, 148 ve 149 sonuçlarının x için ondalık çıktığını ve doğal sayı olmadığını görüyoruz.
Dolayısıyla, Şevval’in boyu en az 101 cm olabilir (seçeneklerden A şıkkı).
7. Kısa Özet Tablo
Problemin Koşulları ve Çözümü
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Koşul 1 (Pozitif Boy) | (5x – 94) ≥ 0 | x ≥ 18.8 ⇒ x ≥ 19 |
| x = 19 (Test) | 5(19) - 94 = 1 cm | 1 cm çok küçük, ama yine de pozitif ve seçenekte yok |
| Seçenekler | 101, 130, 149, 148 | (5x – 94) ifadesi hangi x değerinde bu sayılara ulaşır? |
| 5x – 94 = 101 | 5x = 195 ⇒ x = 39 (doğal sayı) | Bu durumda Şevval=101 cm (A şıkkı) |
| 5x – 94 = 130 | x = 44.8 (doğal sayı değil) | Uygun değil |
| 5x – 94 = 149 | x = 48.6 (doğal sayı değil) | Uygun değil |
| 5x – 94 = 148 | x = 48.4 (doğal sayı değil) | Uygun değil |
| Sonuç | Şevval’in boyu = 101 cm | Cevap: 101 |
8. Genel Özet
Bu soruda, iki kişinin boyları sırasıyla (5x – 94) cm ve (3x + 18) cm olarak verilmiştir. x, bir doğal sayı (1, 2, 3, …) olmak zorundadır. Şevval’in boyu pozitif olmalı; bu yüzden (5x – 94) ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır. x’i küçükten büyüğe denediğimizde veya doğrudan seçeneklerden geriye doğru denklem kurarak baktığımızda, Şevval’in boyunun 101, 130, 148 veya 149 cm değerlerinden hangisini sağlayacağı denetlenir.
Hesaplama sonucunda:
• (5x – 94) = 101 denklemini çözersek x = 39 bulunur.
• Diğer seçenekler ise x için tam sayı vermez.
Bu nedenle 101 cm Şevval’in boyu için en küçük seçenektir. Işıl’ın boyu o durumda 135 cm çıkar (3 × 39 + 18). Problemde “en az kaçtır?” diye sorduğu için ve diğer seçeneklerle uyumlu bir tam x değeri elde edemediğimizden, doğru cevap 101 cm olmaktadır.
Sonuçta, A şıkkı (101 cm) bu sorunun cevabıdır.