Soruyu çözmek için gereken adımları detaylı olarak açıklayalım:
Verilen Denklem ve Sorunun Anlamı
Denklem 1:
$
x^2 + m \cdot x + 1 = 0
$
Denklem 2:
$
2 \cdot x^2 + 6 \cdot x + n = 0
$
Bu denklemlerin gerçek kökleri sırasıyla A ve B kümelerine ait. A ∪ B birleşim kümesinin eleman sayısının 2 olduğu verilmiştir. Buradan şu anlam çıkarılır:
- A ∪ B kümesi yalnızca iki eleman içeriyorsa, o zaman A ve B kümeleri ortak elemanlara sahiptir. Yani, bu iki farklı denklem aynı köklere sahip olmalı.
Amaç: m + n toplamını bulmak.
Denklem Çözümünün Genel Formülü
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kullanılan formül:
$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$
Burada:
- a, b, ve c katsayıları sırasıyla denklemin içinde yer alan; ax^2 + bx + c biçimindeki terimlerden alınır.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Birinci Denklem (x^2 + m \cdot x + 1 = 0)
Bu denklem için:
- a = 1,
- b = m,
- c = 1.
Diskriminantı (\Delta) hesaplayalım:
- Kökler yalnızca \Delta ≥ 0 olduğunda gerçek kök olur.
Kökler:
Birinci denklemin kökleri:
A kümesi: Bu iki kökü içerir:
Adım 2. İkinci Denklem (2x^2 + 6 \cdot x + n = 0)
Bu denklem için:
- a = 2,
- b = 6,
- c = n.
Diskriminantı (\Delta) hesaplayalım:
- Kökler yalnızca \Delta ≥ 0 olduğunda gerçek kök olur.
Kökler:
İkinci denklemin kökleri:
B kümesi: Bu iki kökü içerir:
Adım 3: A ∪ B Kümesinin Eleman Sayısı
Soruda A ∪ B kümesinin eleman sayısının sadece 2 olduğu belirtilmiş. Bu şu anlama gelir:
- A ve B kümelerinin kökleri tamamen aynıdır. Yani, iki denklem aynı köklere sahiptir.
Bu durum sadece birinci ve ikinci denklemin köklerini eşitleyerek sağlanabilir.
Adım 4: Köklerin Eşitlenmesi
Birinci ve ikinci denklemin diskriminantları birbirine eşit olmalı (aynı köklere sahip oldukları için):
Birinci denklem için:
İkinci denklem için:
Eşitleyelim:
Bu ifadeden n değerini bulalım:
Adım 5: m ve n Bulma
A ∪ B kümesinin eleman sayısı 2 olduğundan \Delta değerlerini incelemek gerekir:
- Birinci denklem (\Delta = m^2 - 4): \Delta ≥ 0 olmalı.
- İkinci denklem (\Delta = 36 - 8n): \Delta ≥ 0 olmalı.
m ve n Toplamı Bulma
Denklemleri çözüp m + n toplamını bulursak:
Sonuç:
$
m + n = 7
$
Çözüm Tablosu
| Denklem | Katsayılar (a, b, c) | Kökler | Diskriminant (\Delta) | Kümeler |
|---|---|---|---|---|
| x^2 + mx + 1 | a=1, b=m, c=1 | \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4}}{2} | m^2 - 4 | A |
| 2x^2 + 6x + n | a=2, b=6, c=n | \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8n}}{4} | 36 - 8n | B |
Sonuç: m + n = 7
@Emir_Bozkurt
m ve n birer gerçek sayı olmak üzere aşağıdaki denklemler verilmiştir:
- x^2 + m\,x + 1 = 0
- 2\,x^2 + 6\,x + n = 0
Bu denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm kümeleri sırasıyla ikişer elemanlı A ve B kümeleridir. Ayrıca A ∪ B kümesinin eleman sayısının 2 olduğu, yani iki denklemden elde edilen köklerin tümünün aynı iki kök olduğu ifade edilmektedir. Bu durumda, bizden m + n değerini bulmamız isteniyor.
Table of Contents
1. Genel Bakış
Bu problemde iki farklı ikinci dereceden denklemin (farklı katsayılara sahip olmalarına karşın) aynı iki gerçek kökü paylaştığı bilgisi hayati önem taşır. İki farklı ikinci dereceden denklemin aynı çözüm kümesine sahip olmaları, birinin ötekinin sabit bir oranda çarpımı olmasıyla ilişkilendirilebilir.
Daha formel olarak:
- Birinci denklem: x^2 + m\,x + 1 = 0
- İkinci denklem: 2\,x^2 + 6\,x + n = 0
Bu iki denklem aynı iki reel kökü paylaşıyorsa, ikinci denklem bir sabit \lambda ile çarpılarak birinciye dönüştürülebilir (ya da tam tersi). Bu yaklaşım, katsayıların orantılı olması fikrine dayanır.
2. Adım Adım Çözüm Stratejisi
2.1. Koşul: Her Denklemin Gerçel ve İki Ayrık Kökü Olması
Bir ikinci dereceden denklem ax^2 + bx + c = 0 iki gerçek ve ayrık (farklı) köke sahip olacaksa, ayrım (diskriminant) değeri pozitif olmalıdır.
-
x^2 + m\,x + 1 = 0 için:
- Diskriminant: \Delta_1 = m^2 - 4.
- İki ayrık gerçek kök olması için \Delta_1 > 0 ⇒ m^2 > 4 ⇒ |m| > 2.
-
2x^2 + 6x + n = 0 için:
- Diskriminant: \Delta_2 = 6^2 - 4\cdot 2 \cdot n = 36 - 8n.
- İki ayrık gerçek kök olması için \Delta_2 > 0 ⇒ 36 - 8n > 0 ⇒ n < 4.5.
2.2. Ortak Kök Takibi ve Polinomların Orantısı
Her iki denklem de aynı iki kök kümesini paylaştığına göre, ikinci denklemin tüm katsayıları birinci denklemin katsayılarıyla aynı oranda olmalıdır. Yani, uygun bir \lambda sabiti için:
Bu eşitlik, her bir terim için katsayı karşılaştırması yapmamızı sağlar.
3. Ayrıntılı Çözüm
3.1. 1. Denklemin Katsayı İncelemesi
Birinci denklem:
Burada katsayılar:
- a_1 = 1
- b_1 = m
- c_1 = 1
3.2. 2. Denklemin Katsayı İncelemesi
İkinci denklem:
Katsayıları:
- a_2 = 2
- b_2 = 6
- c_2 = n
3.3. Denklemlerin Aynı Kök Takımını Verecek Şekilde Düzenlenmesi
Aynı iki kök söz konusu ise, “birinci denklem × \lambda = ikinci denklem” olmalıdır. Yani,
Buradan katsayı kıyaslamasıyla üç denklem elde ederiz:
- 2 = \lambda \cdot 1 ⟹ \lambda = 2.
- 6 = \lambda \cdot m ⟹ 6 = 2 \cdot m ⟹ m = 3.
- n = \lambda \cdot 1 ⟹ n = 2.
Bu sonuçlar, iki denklemin köklerinin tamamen aynı olduğunu (çünkü artık her katsayı orantılı) gösterir. Bulduğumuz:
m + n değeri ise:
Böylece A ∪ B kümesinin eleman sayısı 2 olduğunda (her denklemdeki kökler aynı olduğundan) m + n = 5 bulunur.
4. Örnek Hesaplama Tablosu
| Adım | İşlem Açıklaması | Sonuç/Değer |
|---|---|---|
| 1. Denklem Seçimi | x^2 + m\,x + 1 = 0 | Katsayılar: 1, m, 1 |
| 2. Denklem Seçimi | 2\,x^2 + 6\,x + n = 0 | Katsayılar: 2, 6, n |
| 3. Aynı Kök Koşulu | \exists \;\lambda: \; 2x^2 + 6x + n = \lambda(x^2 + m\,x + 1) | Katsayılar orantılı |
| 4. Katsayı Eşleştirme: x^2 terimi | 2 = \lambda \cdot 1 | \lambda = 2 |
| 5. Katsayı Eşleştirme: x terimi | 6 = 2 \cdot m | m = 3 |
| 6. Katsayı Eşleştirme: Sabit terim | n = 2 \cdot 1 | n = 2 |
| 7. Sonuç | m + n | 3 + 2 = 5 |
5. Sonuç ve Özet
- İkinci dereceden iki denklem de (her biri farklı olduğu hâlde) aynı iki gerçek kökü paylaşıyorsa, bağımsız değişken x için bulunan çözüm kümeleri aynıdır.
- Bu durumda denklemler, katsayıları sabit bir \lambda ile çarpmayla birbirine dönüştürülebilir. Katsayıları karşılaştırdığımızda m = 3 ve n = 2 elde edilir.
- İstenen m + n değeri böylece 5 olarak bulunur.
Kısa Özet:
Her iki denklem aynı kök takımına sahipse, denklem katsayılarının sabit bir orana sahip olduğu kuralı uygulanarak \lambda = 2 bulunur. Böylece m = 3 ve n = 2 değerlerine ulaşılarak, sorunun yanıtı 5 olur.