1. Türevden Sonrasını Anlama Rehberi
Soru (Özet):
“1. türevden sonrasını anlamadım. Yerel maksimum ve minimumun nasıl bulunduğunu ve bu değerler arasındaki farkın nasıl hesaplandığını detaylıca açıklar mısınız?”
Cevap:
Aşağıdaki rehber, bir fonksiyonun 1. türevi (fʹ(x)) bulunduktan sonraki adımları ayrıntılı şekilde açıklamaktadır. Bu açıklamalarda, ikinci türev (fʺ(x)) ve fonksiyonun (f(x)) nasıl elde edildiği; yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının nasıl belirlendiği; son olarak da bu noktaların fonksiyondaki değerlerinin farkının nasıl hesaplandığı anlatılacaktır.
1. Fonksiyonun 1. Türevinden Başlayalım
Öncelikle verilen problemde şu bilgi mevcut:
- fʺ(x) fonksiyonunun integrali:\int f''(x)\,dx = x^2 - 3x + cBu ifade, aslında $f’(x)$’e eşittir. Çünkü bir fonksiyonun ikinci türevini (fʺ(x)) tümleştirdiğinizde birinci türevi (fʹ(x)) elde edersiniz. Ayrıca +c, türev alındığında sabit gideceğinden, normalde f'(x) + K şeklinde de yazılabilirdi. Problemde ona sadece “c” denmiş.
Dolayısıyla:
Bu aşama, “1. türev” dediğimiz ifadedir. Bundan sonraki adımlarda önce sabiti (c) bulacağız, sonra ikinci türevi kullanarak yerel ekstremum (maksimum veya minimum) noktalarını belirleyeceğiz ve en sonunda fonksiyonun (f(x)) değerlerini hesaplayarak fark alacağız.
2. Yerel Ekstremum Şartı: fʹ(1) = 0
Problemde, “f, x = 1’de yerel ekstremuma sahiptir” deniyor. Bir fonksiyonda ‘yerel ekstremum’ (maksimum veya minimum) noktası, o noktada fonksiyonun türevi sıfır olduğu zaman gerçekleşir. Yani:
Verilmiş olan:
x=1 yerine koyarsak:
Bu değerin 0’a eşit olması gerektiğinden:
Böylece 1. türev netleşir:
Bu aşama, 1. türevden sonraki ilk kritik adımdır. c sabitini bulduktan sonra, fonksiyonun geri kalanına dair analizlerimizi yapabiliriz.
3. Yerel Maksimum ve Minimum Arayışı
3.1 Kritik Noktaları Bulma
Şimdi elimizde net bir şekilde:
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları, fʹ(x)=0 denklemini sağlayan x değerlerinde (ve tanımın uygun olduğu noktalarda) bulunur. Bu yüzden:
Bu denklem çarpanlarına ayrılır:
Dolayısıyla kritik noktalar:
- x = 1
- x = 2
3.2 İkinci Türevi Kullanma (fʺ(x))
Yerel maksimum mu, yerel minimum mu olduğunu anlamak için genellikle “ikinci türev testi” yapılır. fʹ(x) = x² - 3x + 2 olduğuna göre:
-
x=1 için:
f''(1) = 2\cdot1 - 3 = 2 - 3 = -1fʺ(1)<0 (negatif) olduğu için x=1 noktasında fonksiyon yerel maksimum bulunur.
-
x=2 için:
f''(2) = 2\cdot2 - 3 = 4 - 3 = 1fʺ(2)>0 (pozitif) olduğu için x=2 noktasında fonksiyon yerel minimum alınır.
Bu şekilde, 1. türevi bulduktan sonra, ikinci türev testini uygulayıp hangi kritik noktanın maksimum, hangisinin minimum olduğunu kesinleştirebilirsiniz.
4. Fonksiyonu (f(x)) ve Değerlerini Bulma
Şimdi “f’(x) = x^2 - 3x + 2” elimizde olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulmak istiyorsak bu türevi tümleştirmek (integralini almak) gerekir:
Adım adım:
- \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}
- \int x\,dx = \frac{x^2}{2}
- \int dx = x
Dolayısıyla:
Buradaki D sabit bir sayıdır. f(x) nin tam ifadesi:
Ancak biz, “yerel maksimum” ile “yerel minimum” değerleri arasındaki farkı bulmak için D sabitine ihtiyacımız yoktur; çünkü fark aldığımızda bu sabit birbirini götürür. Yine de formül bu şekildedir.
5. Yerel Maksimum (x=1) ve Yerel Minimum (x=2) Değerleri
5.1 f(1) Hesabı
- \frac{1}{3} - \frac{3}{2} ifadesini payda eşitleyerek hesaplayalım:\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}Dolayısıyla:\frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{7}{6}
- Ardından -\frac{7}{6} + 2:2 = \frac{12}{6}-\frac{7}{6} + \frac{12}{6} = \frac{5}{6}
Sonuç olarak:
5.2 f(2) Hesabı
- \frac{12}{2} = 6
Dolayısıyla:\frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 - 2’yi \frac{6}{3} şeklinde yazarsak:\frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}
Böylece:
5.3 Değerler Arasındaki Fark
Soruda, “yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark” isteniyor. Yani:
Burada D sabiti +D ve −D olarak birbirini yok eder:
- \frac{2}{3} = \frac{4}{6}
Dolayısıyla:
Sonuç: 1/6.
6. Özet Tablosu
Aşağıda, 1. türev bulunduktan sonra izlenen adımların hızlı bir özeti bulunmaktadır:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Türev (fʹ(x)) | \int f''(x) \, dx = x^2 - 3x + c | f'(x) = x^2 - 3x + c |
| x=1’de Ekstremum Şartı | f'(1)=0 → 1 - 3 + c = 0 → c=2 | f'(x)= x^2 - 3x + 2 |
| Kritik Noktalar | f'(x)=0 → x^2 -3x +2=0 → Çözüm: x=1, x=2 | Kritikler: x=1, x=2 |
| İkinci Türev (fʺ(x)) | f''(x)=2x - 3 | |
| Test – x=1 | f''(1)= -1 <0 → Yerel Maks. | Maksimum: x=1 |
| Test – x=2 | f''(2)= +1 >0 → Yerel Min. | Minimum: x=2 |
| f(x)’i Bulma | f(x)=\int \bigl(x^2 -3x +2\bigr)dx = \dots + D | f(x)= \frac{x^3}{3} -\frac{3x^2}{2}+2x+D |
| f(1) ve f(2) | f(1)= \frac{5}{6}+D,\;\; f(2)= \frac{2}{3}+D | Değerler arasındaki fark= D’ler iptal |
| f(1)- f(2) | (\tfrac{5}{6}+D)- (\tfrac{2}{3}+D)= \tfrac{1}{6} | 1/6 |
7. Özet ve Son Değerlendirme
• 1. türev (fʹ(x)) bulunduktan sonra, yerel ekstremum noktalarının hesaplanabilmesi için fʹ(x)=0 denklemi çözülür.
• Yerel maksimum veya minimum olduğunu anlamak için ikinci türevin (fʺ(x)) işaretine bakılır. fʺ(x) < 0 yerel maksimum, fʺ(x) > 0 yerel minimum.
• Eğer fonksiyonun değerlerini (yani f(1), f(2)) öğrenmek isterseniz, 1. türevi tümleştirerek f(x) elde etmelisiniz.
• D sabiti fark hesabında birbirini götürdüğünden, f(1) - f(2) hesaplaması sabitten bağımsızdır.
Bu sorun özelinde, x=1 noktası yerel maksimum, x=2 noktası yerel minimum çıkmış ve fark 1/6 bulunmuştur. 1. türev aşamasından sonra sırasıyla “kritik noktaları bulma, ikinci türevle test etme, fonksiyon değerini hesaplama” adımları bu tür problemlerde genel geçer yöntemdir.
Umarım bu açıklamalar, 1. türev aşamasından sonraki süreci netleştirir ve yerel ekstremum değer farklarının nasıl hesaplandığını anlaşılır kılar.