Çikmuş Sorular
18. Bir miktar kalem, bir grup Öğrenciye paylaştirila-
caktır. Bu kalemden 6 tane fazla veya 7 tane
eksik olsaydı kalemlerden hiç artmayacak biçim-
de eşit olarak paylaştırıilabilecekti.
Buna göre, 112’den fazla olduğu bilinen bu ka-
lemlerin sayısı en az kaç olabilir?
A) 115 B) 124
C) 126
D) 130
E) 137
(2012-YGS)
21. B
Bir miktar kalemin öğrenci grubuna paylaştırılması problemi
[KULLANILAN FORMÜL / MANTIK:]
Bu bir bölünebilme ve denklem kurma problemidir. Kalem sayısı K, öğrenci sayısı ise n olsun. Kalemlerin tam paylaştırılması demek, toplam kalem sayısının öğrenci sayısına tam bölünmesi demektir.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Değişkenlerin Tanımlanması
Kalem sayısı K ve öğrenci sayısı n olsun. Soruda verilen iki duruma göre denklemleri kuralım:
- K + 6 tane kalem olsaydı n kişiye tam bölünecekti. Yani K + 6 = n \times a (burada a bir tam sayıdır).
- K - 7 tane kalem olsaydı n kişiye tam bölünecekti. Yani K - 7 = n \times b (burada b bir tam sayıdır).
Adım 2 — Öğrenci Sayısının (n) Belirlenmesi
K + 6 ve K - 7 sayılarının her ikisi de n sayısının katıdır. Bu durumda bu iki sayı arasındaki fark da n sayısının bir katı olmalıdır:
(K + 6) - (K - 7) = 13
Fark 13 olduğuna göre, öğrenci sayısı n, 13 sayısının bir böleni olmalıdır. Öğrenci grubu bir “grup” olduğu için n > 1 olmalıdır. 13 asal bir sayı olduğu için bu durumda n = 13 olur.
Adım 3 — Kalem Sayısının Hesaplanması
Öğrenci sayısının 13 olduğunu bulduk. İlk denkleme geri dönersek:
K + 6 sayısı 13’ün bir katıdır (13k).
Buradan K = 13k - 6 sonucuna ulaşırız.
Adım 4 — En Küçük Değerin Bulunması
Soruda kalem sayısının 112’den fazla olduğu belirtilmiştir. K > 112 şartını sağlayan en küçük k tam sayısını bulalım:
13k - 6 > 112
13k > 118
118 / 13 \approx 9,07 olduğundan, k en az 10 olmalıdır.
k = 10 için:
K = 13 \times 10 - 6
K = 130 - 6 = 124
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 124 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Bölünebilme Kuralı
- [Tanım:] Bir sayının bir diğerine kalansız bölünmesi durumudur.
- [Bu problemde:] Kalem sayısına ekleme veya çıkarma yapıldığında öğrenci sayısına tam bölünmesi kullanılmıştır.
2. Katlar Arasındaki Fark
- [Tanım:] Aynı sayıya bölünen iki sayının farkı da o sayıya bölünür.
- [Bu problemde:] K+6 ve K-7 arasındaki 13 birimlik farkın, öğrenci sayısı olan n’e bölünmesi gerektiği fark edilmiştir.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Öğrenci sayısını yanlış bulmak
- [Yanlış:] 6 ve 7’yi toplayıp 13 bulmak yerine sadece birini kullanmak.
- [Doğru:] İki durum arasındaki farkın ortak böleni vermesi gerektiğini bilmek.
- [Neden yanlış:] Fark alınmadığında değişkenler (K) yok edilemez ve sonuca ulaşılamaz.
Bu çözümde öğrenci sayısının neden 13 olması gerektiğini tam olarak anladın mı, yoksa bölünebilme mantığını başka bir örnekle açıklamamı ister misin?